§ 3. Равносильные неравенства

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Равносильные неравенства

Неравенством с одним неизвестным называется неравенство
вида
/ iW < Л ( * ) или / i ( . t f ) > / 2C*),
где f \{ x ) и / 2(дг) обозначают алгебраические выражения, содержащие
неизвестное х. В частном случае одно из этих выражений может не
содержать х. Например,
2* + 3 > . t f — f 1 (1)
есть неравенство с одним неизвестным. Неравенство
£ = £ > 0 (2)
также есть неравенство с одним неизвестным.
Опр е д е л ение . Решить неравенство с одним неизвестным —
это значит найти все значения неизвестного, при которых неравенство
справедливо. Значения неизвестного, при которых неравенство
справедливо, называются решениями неравенства.
15 Д» К. Фаддеев, И* С. Сокшяский

449 Равносильные неравенства. Кабинет Математики.

Например, лг = 1 есть решение неравенства (1), так как при л: = 1
это неравенство превращается в справедливое неравенство 5 ^>2;
7 не является решением неравенства (2), так как при дгг=з-7^
левая часть неравенства (2) принимает отрицательное значение — -2g-.
О п р е д е л ени е. Два неравенства называются равносильными,
если каждое решение первого из них является решением второго,
а каждое решение второго является решением первого.
Те о р ема 1. Если к каждой части неравенства прибавить
одно и то же число или один и тот же многочлен относительно
неизвестного, то полученное в результате этого неравенство
равносильно данному.
До к а з а т е л ь с т в о . Для упрощения изложения доказательство
проведем применительно к неравенству
а х —|— Ъ с х -j- d* (3)
Все сказанное по поводу этого неравенства может быть повторено
и по поводу любого другого неравенства.
Прибавим к каждой части неравенства какой-нибудь многочлен
относительно неизвестного, например тх* + п х р , получим неравенство
{ах -j— Ь) —|— (т х* -}- п х —|— р) {сх —|— d) -J- (т х 2 —j- п х —|— р)• (4)
Требуется доказать, что неравенства (3) и (4) равносильны. Пусть
х = х 0 есть решение неравенства (3), т. е.
ялг0 + £ ] > слг0-}-а£ (б)
— справедливое неравенство. К каждой части неравенства (б) прибавим
число тх%-{-пх0-{-р, получим (теорема 3 § 1) справедливое
неравенство
{ахо + Ь) + {тх%+ п х0 + /? )> {cxQ + d) + {тх\ + п х0+ р). (6)
Неравенство (6) означает, что x = x Q есть решение неравенства (4).
Итак, каждое решение неравенства (3) является решением неравенства
(4).
Пусть теперь х = х 0 есть решение неравенства (4), тогда справедливо
неравенство (6). На основании теоремы 3 § 1 справедливо
и неравенство (б). Неравенство (5) означает, что х = х 0 есть решение
неравенства (3).
Итак, каждое решение неравенства (4) является решением неравенства
(3).
При, доказательстве теоремы мы не пользовались никакими особенностями
многочлена тх*-j- п х 4 — Р* Существенно было только то,
что при любом значении х многочлен этот имеет определенное числовое
значение. Поэтому доказательство остается в силе и тогда,
когда к каждой части неравенства (3) прибавляется какой-нибудь

450 Равносильные неравенства. Кабинет Математики.

другой многочлен относительно х . В частности, доказательство
остается в силе, когда к каждой части неравенства (3) прибавляется
какое-нибудь число (многочлен нулевой степени относительно х).
Замечан и е . Если бы к каждой части неравенства прибавили
не многочлен относительно х , а какое-нибудь выражение, содержащее
неизвестное в знаменателе, полученное в результате этого неравенство
могло бы оказаться и неравносильным данному. Например, неравенство
2 х— 1^>0 имеет решение х = 3. Неравенство
2 х ~ 1 + > З ^ з »
при х — 3 не имеет смысла.
Следс твие . Любое слагаемое можно перенести из одной
части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.
Д о к а з а т е л ь с т в о опять проведем применительно к неравенству
a x -\-b ^> c x -\-d .
Предположим, что желательно слагаемое с х перенести из правой
части неравенства в левую. Прибавим к каждой части неравенства
по — сх, получим равносильное неравенство
ax-\~b — cx^>d.
Слагаемое с х с противоположным знаком перенесено.из правой части
неравенства в левую.
Те о р ема 2. Если обе части неравенства умножить на одно
и то же положительное число, то полученное в результате этого
неравенство равносильно данному.
Если обе части неравенства умножить на одно й то же отрицательное
число и при этом переменить знак неравенства на
знак противоположного смысла, то полученное в результате этого
неравенство равносильно данному.
До к а з а т е л ь с т в о . Доказательство и здесь проведем применительно
к неравенству (3)
a x — ^ b ^ c x — ^ d .
Умножим обе части этого неравенства на положительное число пи
получим
т (ах + Ь )> т (сх + <0* (7)
Пусть х = х 0 — решение неравенства (3), т. е.
aXo“f-b^> cXq “(-d (8)
— справедливое неравенство. Тогда на основании теоремы 4 § 1
справедливо и неравенство
m(a x0-j-b )^>m (c x0-t-d). (9)
Неравенство (9) означает, что х = х 0 есть решение неравенства (7).

451 Равносильные неравенства. Кабинет Математики.

Итак, каждое решение неравенства (3) является решением нера-
венства (7).
Пусть теперь х = х 0 есть решение неравенства (7), тогда спра*
ведливо неравенство (9). На основании теоремы 4 § 1 справедливо
и неравенство (8), и это означает, что х — х 0 есть решение нера*
венства (3).
Итак, каждое решение неравенства (7) является решением неравенства
(3).
Первая часть теоремы доказана. Точно так же доказывается и
вторая часть теоремы относительно умножения обеих частей неравенства
на одно и то же отрицательное число.
За мечание. При умножении обеих частей неравенства на буквенное
выражение надо иметь в виду, что при разных значениях
входящих в него букв это выражение может быть и положительным,
и отрицательным, и равным нулю.

452 Равносильные неравенства. Кабинет Математики.

Околоadmin