§ 8. Разложение квадратного трехчлена
на множители

Глава IV. Разложение многочленов на множители.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Разложение квадратного трехчлена
на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен второй степени,
содержащий одну букву, например, д2 — 5д -f- 6; 2лг2 — 7л;+ 5 й т. д.
В частности, член, содержащий первую степень буквы, или свободный
член могут отсутствовать. Такого’рода выражения называются
неполными квадратными трехчленами, хотя на самом деле они состоят

107 Алгебра. Разложение квадратного трехчлена
на множители. Школьные примеры по математике.

только из двух слагаемых. Например, 2х2— 5 х и аг2-(-6 — неполные
трехчлены.
Для разложения квадратного трехчлена на множители можно
рекомендовать два способа, которые мы рассмотрим на решении одного
примера.
Пример. Разложить на множители х* -J- 2х — 15.
Решение .
Способ 1. Рассмотрим тождество
(х -}- а) {х -f — b) = х* (я + b)x -\-db,
которое легко проверяется. Действительно,
(лг -|- а) (х -|- Ь) = х 2 + ах -f* Ьх + аЪ — х 1 + (я -\-Ь)х -f- аЪ.
Из этого тождества следует, что если мы сумеем разложить
коэффициент при х на сумму двух слагаемых а и b так, чтобы произведение
ab этих слагаемых равнялось свободному’ члену, то нам
удастся найти разложение трехчлена на множители.
В нашем примере х * — \- 2 х— 15 в качестве таких слагаемых
можно взять 5 и —3. Тогда
х 2+ 2 л г— 15 = лг2+ 5 л г — Злг— 15 = лг(лг + 5) — 3 ( * — f 5) =
= {х —3) {х -|- 5).
Способ 2. В данном трехчлене .jc2-f- 2 х— 15 выделим полный
квадрат суммы посредством следующего рассуждения. Заметим, что
х* есть квадрат числа х . Примем х за первое слагаемое. Рассмотрим затем
следующий член 2х как удвоенное произведение первого слагаемого
х на второе. Очевидно, что за второе слагаемое s нужно принять 1.
Затем добавляем квадрат этого второго слагаемого и, чтобы равенство
не нарушилось, сразу его отнимаем. Получим
х 2 + 2 х— 15 = х *+ 2 х -1 + 1*— I2— 1б,= С*4-1)а— 16.
Дальнейшее ясно: 1 6 = 4 2, и следовательно,
(л г+ 1 )2— 16 = 0*4-1 + 4 )(д г + 1— 4) = (лг + 5) (* — 3).
Во втором способе, в отличие от первого, мы не прибегаем к
подбору. Мы собираем все члены, содержащие х, в выражение, имеющее
вид полного квадрата, и затем, если это возможно, пользуемся формулой
для разложения разности квадратов.
Пример. Разложить на множители jtr2 —J— 7лг — 6.
Решение .
х *+ 7* + 6 = * ’ + 2* 4 + | — | + 6 = ( . н 4 )2- | =
= = (ЛГ+ т + т ) ( * + Т — ■ | ) = ( ЛГ+ 6) (ЛГ+ 1)-
Если коэффициент при х 2 отличен от 1, следует предварительно
вынести его за скобку.

108 Алгебра. Разложение квадратного трехчлена
на множители. Школьные примеры по математике.

Решение .
2 ^ — б ^ + 2 = 2 ( ^ — | ^ + l ) = 2 ( ^ — 2 • { x + j 6 — 1 ) =
— ’ М — ( 4 ) * Н ( * — 4 + 4 ) ( * — Ь 4 ) —
= 2 ( х ~ т ) ( х ~ 2 ) = ( 2дг — 0 ~ 2 ) *
Второй способ, кроме этого, дает возможность выяснить вопрос о
том, разлагается квадратный трехчлен на множители или нет. Именно,
если число, остающееся после выделения полного квадрата суммы или
разности из квадратного трехчлена, не является квадратом со знаком
минус, то трехчлен не может быть разложен на множители.
Пример. Разложить на множители х * -\-2 х — 6,
Решение.
+ 2х — 6 = (лг —j-т Д)а — 7.
Этот трехчлен на множители не разлагается.
Пример. Разложить на множители лг3 -f- 4х -[- 5.
Решение .
х 2 —|— 4х —|— б (х —|— 2)2 —|— 1.
Разложение на множители тоже невозможно.
Оба приема разложения можно применять к трехчленам, содержащим,
кроме выбранной главной буквы, также и другие буквы.
Пример. Разложить на множители
х 2 -{- 2 (a -f- b)x — (За3 — 10ab -f- 3b2).
Решени е .
х * + 2 (а + Ь)х — (За3 — \0аЬ + ЪЬ2) =
= j c 2 + 2 (а + Ь)х + (а + b)2— (a + V)2 —(За2 — 10аЬ + 3 b2)=
^ ( х + a + b)2— (а3 + 2аЪ + V1 — f За3 — 1 ОаЬ + З*3) =
=? (лг -f; а -{- Ь)2 — (4а3 — 8 ab -f-4 Ь2) =
= (х + а + Ь)2— (2а — 2£)3 =
= (х —j- За — by (лг — а —|— ЪЬу.

Упражнения

Разложить на множители:
1. х* + 6х + Ь. 4. 4л:8 + 4лг —3.
2. л;8— 8л: + 15. 5. 2л:8 — л — 3.
3. л 2 — 8л — 9. 6. л 2 — 2(a + b )x + a* + 2ab — ЗЬ\

109 Алгебра. Разложение квадратного трехчлена
на множители. Школьные примеры по математике.

Околоadmin