дома » Алгебра в школе » Разложение на простые множители

Разложение на простые множители

14 Разложение на простые множители.

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

litres728_90

Пусть K — коммутативная область. Говорят, что элемент b € K делится на a € K, если существует такой элемент
c € K, что b = ac, в этом случае пишут a \ b. Если a \ b и b \ a, то a и b называются ассоциированными элементами.
Кольцо K распадается на классы ассоциированных элементов.
Элемент р € K называется простым (или неприводимым), если р необратим и его нельзя представить в виде р = ab,
где a, b — необратимые элементы. В поле каждый ненулевой элемент обратим, и в нем нет простых элементов.
Говорят, что коммутативная область K — кольцо с разложением на простые множители, если любой элемент a =
0 из K можно представить в виде (*): a = UPi.. .рг, где и — обратимый элемент, а Pi,… ,Pr — простые элементы
(не обязательно попарно различные). Если из существования другого такого разложения a = vqi …qs следует,
что r = s и при надлежащей перенумерации элементов Pi и qi будет qi = uiPi,… ,qr = UrPr, где ui,… ,Ur —
обратимые элементы, то кольцо K называется кольцом с однозначным разложением на простые множители или
факториальным. Приняв в (*) r = 0, допускают, что обратимые элементы в K также имеют разложение на простые
множители. Иногда в литературе под простым элементом кольца понимается такой элемент р, что из р\ ab вытекает
делимость на р хотя бы одного из множителей a, b. В факториальных кольцах понятия неприводимого и простого
элементов совпадают (см. 14.2), поэтому в таких кольцах вместо термина «неприводимый» часто используется
«простой». Однако для многочленов, как правило, принято использовать только термин «неприводимый».
Теорема 14.1. Если K — коммутативная область с разложением на простые множители, то таковым является
и кольцо многочленов K[x]. Если к тому же K факториально, то факториально и K[x].
Пусть K — коммутативная область. Под наибольшим общим делителем элементов a,b € K понимается элемент
d € K, обозначаемый d = (a, b) и определяемый с точностью до ассоциированности, со свойствами: 1) d \ a,b; 2)
условие c \ a,b влечет c \ d. Под наименьшим общим кратным [a, b] элементов a, b понимается элемент m, также
определяемый с точностью до ассоциированности, со свойствами: 1) a,b \ m; 2) условие a,b \ c влечет m \ c.
Пусть, далее, на K задана такая функция д: K\{0} N U {0}, что: 1) д (ab) ^ д (a) для всех 0 = a,b € K; 2) для
всех a,b € K, b =0, найдутся q,r € K со свойством a = bq + r, где д (r) < d(b) или r = 0. Тогда K называется
евклидовым кольцом, а функция д — евклидовой нормой. В евклидовом кольце K выполнен алгоритм Евклида,
позволяющий находить наибольший общий делитель элементов этого кольца. Кроме того, каждое евклидово кольцо
является областью главных идеалов, а все коммутативные области главных идеалов факториальны.
Пусть K — факториальное кольцо. Содержанием многочлена f (x) € K[x] называется наибольший общий делитель
d(f) всех его коэффициентов. Если d(f) — обратимый элемент в K, то говорят, что f (x) — многочлен с содержанием
1 (иногда в этом случае f (x) называют еще примитивным многочленом; отметим, что в § 30 рассматривается другое
понятие примитивного многочлена).
Лемма 14.2 (Гаусс). Пусть K — факториальное кольцо и f,g € K[x]. Тогда d(fg) = d(f)d(g). В частности,
произведение двух многочленов с содержанием 1 снова будет многочленом с содержанием 1 (равенство понимается
с точностью до ассоциированности).

Задачи

Все кольца в упражнениях данного параграфа предполагаются коммутативными.
14.1. Приведите пример кольца с ненулевым умножением, не являющегося полем и не имеющего простых элементов.
14.2. Если K — кольцо с разложением на простые множители, то однозначность разложения, т.е. факториальность
кольца K, имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент р € K, делящий произведение a • b € K,
делит по крайней мере один из множителей a, b.
14.3. Пусть K — область. Главные идеалы (a) и (b) совпадают в точности тогда, когда элементы a и b ассоциированы.
14.4. Если K — область и идеал I, порождаемый элементами ai,… ,an, является главным, I = (d), то d —
НОД^1,… , an}, причем d представим в виде линейной комбинации этих элементов.
14.5. В факториальном кольце для любых a,b € K существуют (a, b) и [a, b], причем (a + b, [a, b]) = (a, b).
14.6. Пусть для элементов a, b области K существуют (a, b) и [a, b] = m. Покажите, что:
а) m = 0, если и только если a = 0 или b = 0;

83 Разложение на простые множители. 

б) m \ ab, причем если ab = dm для a,b = 0, то d = (a, b).
14.7. 1) Покажите, что если a,b E K имеют [a, b], то они имеют и (a, b). Рассмотрите подкольцо кольца Z[x],
состоящее из многочленов с четным коэффициентом при x, и убедитесь, что обратное к предыдущему утверждению
неверно.
2) Любые два элемента кольца K обладают НОК тогда и только тогда, когда любые два его элемента обладают
НОД.
14.8. 1) Произведение двух главных идеалов области является главным идеалом.
2) Всякая возрастающая цепочка Ii С I2 С . . . идеалов кольца главных идеалов обрывается.
3) nZ + mZ = (n,m)Z, nZ П mZ = [n,m]Z, nZ ■ mZ = (nm)Z, (nZ + mZ)(nZ П mZ) = (nm)Z.
14.9. Если R — область главных идеалов, то aR П bR = [a, b] R для a, b E R.
14.10. Пусть n = {pi,… ,pn} — произвольный конечный набор простых чисел. Покажите, что:
а) Q(x) образует факториальное кольцо, множество классов простых ассоциированных элементов которого бесконечно;
б) Qx образует факториальное кольцо, содержащее ровно n классов простых ассоциированных элементов.
14.11. Пусть K — евклидово кольцо с нормой 6. Тогда:
а) если a и b — ассоциированные элементы, то 6(a) = 6(b);
б) если a делит b и 6(a) = 6(b), то a и b — ассоциированные элементы;
в) 6(a) = 6 (1) в точности тогда, когда a E U (K);
г) если a E U (K), то 6(a) ^ 6(b) и 6 (ab) = 6 (b) для любого 0 = b E K;
д) если 0 = b E K\U (K), то 6(b) > 6 (1);
е) если 0 = b E K\U (K), то 6(b) < 6 (b2) < … < 6 (bn) < …, поэтому множество значений евклидовой нормы
бесконечно.
14.12. Пусть K — евклидово кольцо, 0 = a, b E K. Докажите, что:
а) если a = bc, где b и c необратимы, то 6(b), 6(c) < 6 (a);
б) если a = bq + r, то (a, b) = (b, r);
в) существуют (a, b) и [a, b], причем найдутся u,v E K со свойством (a, b) = au + bv;
г) a, b взаимно просты в точности тогда, когда существуют u,v E K, для которых au + bv = 1;
д) если (a, b) = 1 и (a, c) = 1, то (a, bc) = 1;
е) если b \ a, c \ a и (b, c) = 1, то bc \ a;
ж) если a\ bc и (a, b) = 1, то a\ c.
14.13. Пусть 6 — евклидова норма в евклидовом кольце K. Тогда:
а) для любого n E N функция n6 также является евклидовой нормой в K;
б) если функция f: N U {0} N U {0} монотонно возрастает, то композиция (f о 6)(x) = f (6(x)) также является
евклидовой нормой в кольце K.
14.14. 1) Простое число p E Z остается простым в Z[i] тогда и только тогда, когда p = 4k — 1.
2) Всякое простое число p = 4k + 1 представимо в виде p = m2 + n2 для некоторых m,n E Z.
з) Если простое число p E Z допускает нетривиальное разложение в Z[i], то p = (m + in)(m — in) = m2 + n2.
4) Число l E Z представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в каноническом
разложении числа l на простые множители каждый простой делитель p = 4k — 1 входит с четным показателем.
14.15. Факторкольцо Z [i] /(n), где n — натуральное число, является полем в точности тогда, когда n — простое
число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.
14.16. Если p = 4k — 1 — простое число, то многочлен x2 + 1 неприводим над полем Zp.
14.17. Ненулевой элемент p факториального кольца K является простым в точности тогда, когда K/(p) — область.
14.18. Пусть K — евклидово кольцо с нормой 6, 0 = a E K. Покажите, что K/(a) = {b = b + (a) \ b = 0 или
6(b) < 6 (a)}.
14.19. Построить факторкольца:
а) Z[i]/(1 + i), Z[i]/(1 + 2i);
б) Z [■— /(2), Z [— / (1 + v=2);
в) Q[x]/(x), Q[x]/ (x2 + 1), Q[x]/ (x2 — 2);

84 Разложение на простые множители. 

mat-240x400_obrazovanie   г) F2[x]/(x2) , F2[x]/(x2 + 1), F2[x]/(x2 + x + 1).
14.20. Будут ли идеалы I в указанных ниже кольцах, порожденные элементами:
а) п и xi,… , xm в Z[xi,… , xm], п € N, б) xi,… , xm в P[xi,… , xm] над полем P,
главными? Найдите Z[xi,… , x0]/I и P[xi,… , x0]/I (см. 12.41, 12.48 и 13.32).
14.21. Покажите, что все конечные суммы вида ^ ai2r% с целыми коэффициентами ai и неотрицательными рациональными
ri
, знаменатели которых — степени данного простого числа р, образуют кольцо относительно обычных
операций сложения и умножения чисел. Какие элементы этого кольца являются простыми? Выполняется ли в этом
кольце условие разложимости на простые множители?
14.22. Является ли кольцо Z[\/—5] кольцом с разложением на простые множители? Будет ли оно факториальным?
Покажите, что, например, числа a = 9 и b = 6 + 3\/—5 в этом кольце не имеют НОД.
14.23. Докажите евклидовость следующих колец и найдите группы их обратимых элементов:
а) Z[i]; б) Z[(J] (см. 11.53); в) Z[^—2].
Покажите, что подкольцо z[\/=3] кольца Z[<J] является кольцом с разложением на простые множители, но не
факториальным.
14.24. Покажите евклидовость колец:
а) Q(p) с нормой д(apг) = \a\, где a,t € Z и р не делит a;
б) Qp с нормой д(арг) = рг, где a,b,t € Z, a = 0, t ^ 0 и р не делит ab.
14.25. Многочлен f (x) € K[x] положительной степени, неприводимый над факториальным кольцом K, неприводим
также над его полем частных Q.
14.26. Докажите критерий неприводимости Эйзенштейна. Пусть f (x) = xn + aixn-l + … + an € Z[x], где простое
число р \ ai,… , an, но р2 { an . Тогда f (x) неприводим над Q.
Используя этот критерий, докажите, что f (x) = xp-i + xp — 2 + … + x + 1 неприводим над Q при любом простом р.
14.27. Разложение на простые множители в Zg[x] неоднозначно.
14.28. В области главных идеалов всякий собственный идеал является произведением конечного числа простых
идеалов.
14.29. Пусть K — факториальное кольцо и S — его мультипликативное подмножество (0 € S). Покажите, что
подмножество S-lK = {x/s \ x € K,s € S} в кольце частных кольца K является факториальным кольцом и что
простые элементы в S-lK — это те же простые р € K, для которых (р) П S = 0.
14.30. Пусть K — область с разложением на простые множители. Если группа U(K) обратимых элементов кольца
K конечна или множество U(K) U {0} образует подгруппу аддитивной группы кольца K, то множество классов
простых ассоциированных элементов в кольце K бесконечно.
Среди факториальных колец K, в каждом из которых множество U(K) U {0} бесконечно и не образует в K+ подгруппы,
существуют кольца, содержащие как любое конечное число классов простых ассоциированных элементов,
так и бесконечное множество этих классов. Так, Qx, где п = {pi, … ,Pn}, факториально и содержит точно п классов
простых ассоциированных элементов. Кольцо Q(2) факториально и число его классов простых ассоциированных
элементов бесконечно (см. 14.10).
Пусть k — целое число, отличное от 1, и свободное от квадратов. Функция n(a + by/k) = a2 — kb2 называется нормой
поля Q(vk).
Напомним, что алгебраические числа и целые алгебраические числа определены в Предварительных сведениях.
14.31. Покажите, что норма является полной мультипликативной функцией, т.е. для любых r,s € Q(vk) справедливо
равенство n(rs) = n(r)n(s).
Пусть D(k) — кольцо целых чисел в Q(vk). Можно показать, что D(k) = Z[k] при к = 2, 3 (mod4);
D(k) = + 2 | a, b € Z, 2\ (a — b) J- при k = 1 (mod 4).
В последнем случае D(k) = Z + Z((— 1 + y/k)/2) (см. также 28.17-28.23).
Покажите, что D(k) является кольцом с разложением. Кольца D(k) называются квадратичными. Доказано, что
евклидовых вещественных квадратичных колец насчитывается семнадцать и для них k = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13,
17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, 97. Евклидовых мнимых квадратичных колец существует только пять (при k =
—1, — 2, —3, —7, —11). При k = —1, —2, —3, —7, —11, —19, —43, —67, —163 кольца D(k) будут факториальными.
14.32. Выполнить деления с остатком в следующих кольцах относительно указанных норм д.
1) Z[i]: 40 + i на 3 — i, 15 + 16i на 7 + i, д^ + bi) = a2 + b2.
2) Z[V—2]: 20 — 7^—2 на 6 + J—l, 100 на 17 + 5^—2, д^ + b^—2) = a2 + 2b2.
3) Z[V2]: 17+11^2 на 8 — 5^2, 23 + 9^2 на 7 — 5^2, д^ + b^2) = \a2 — 2b2\.

85 Разложение на простые множители. 

4) Z[\/3]:40 — 11\/3 на 7 + 5\/3, 28+11\/3 на 10 — 8\/3, 6(a + b\/3) = \a2 — 3b2\.
14.33. Выполнить деления с остатком в следующих кольцах.
1) Q(5): 1100 на 1000, 91 на 17.
320 146 40
2) Q2: — на —, 6 0 на 37.
14.34. Выполнить деления с остатком в следующих кольцах многочленов.
2 1 1
1) Q[x]: 3×4 + x3 — jx2 + 1 на x2 — x + ^
2) ^[x]: x5 + x3 + x2 + x + 1 на x2 + x + 1, x5 + x4 + x2 + x + 1 на x3 + x2 + 1.
3) ^[x]: x6 — x5 — 1 на x2 — 1, x5 — x4 + x3 — x2 + 1 на x2 — x — 1.
14.35. Найдите НОД в следующих кольцах относительно соответствующих евклидовых норм.
1) Q(5): 7585 и 2501, ™ и 25.
‘ 5 125 25
2) Q3: 630 и 77, 165 и i89.
3) Z[V2]: 9 — 5^2 и 6 + 2^2, 17 — 3^2 и 25 + ^2.
4) Z[V3]:4+7V3 и 2 + V3, 15 + 2^3 и 7 — V3.
5) Z[i]: 15 — 2i и 17 + 3i, 12 — 5i и 10 + i.
6) Z[V—2]: 14 — 3^—2 и 8+ 5^—2, 7+ ^—2 и 17 + ^—2.
7) F2[x]: x6 + x4 + x3 + x2 + x + 1 и x4 + x3 + 1, x5 + x3 + x2 + 1 и x2 + x + 1.
8) .F3[x]: x6 — x4 — x3 — x2 + x + 1 и x3 — x2 — 1, x5 — x4 + x2 — x + 1 и x2 + x — 1.
14.36. Пользуясь свойством НОК и НОД из упражнения 14.6 б), вычислите НОК для элементов
14.35.

86 Разложение на простые множители.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика