РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

Главная страница Зачем и как мы доказываем в математике.

Скачать бесплатно в PDF формате «Зачем и как мы доказываем в математике. А.А. Столяр» на странице Учебники Скачать.

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Зачем и как мы доказываем в математике

1.1. Строятся аналогично приведенным выше доказательствам
существования и единственности решения уравнения
х + а — Ь.
1.2.
Д о к а зател ь с т во Анализ
1. Если ABCD — ромб, то АВ = ВС; 1. из определения
2. ABCD — ромб; 2. посылка;
3. АВ = ВС; 3. 1, 2. ПЗ;
4. Если ABCD — ромб, то ABCD — 4. из определения
параллелограмм;
5. ABCD — параллелограмм; 5. 2, 4, ПЗ;
6. 0 = A C f \BD ; 6. посылка;
7. ABCD — параллелограмм и 0 = 7. 5, 6, ВК;
= АС Ո BD;
8. Если ABCD — параллелограмм и 8. р. д. т.;
0 = AC ( ]BD , то АО = ОС;
9. А 0 = ОС; 9. 7, 8, ПЗ;
10. АВ = ВС и АО = ОС; 10 3, 9, ВК;
11. Если АВ = ВС и АО = ОС, то 11 р. Д. т.;
Հ_ А В О = ՀԼ СВО;
12. / _ А В О = /LCBO, т. е. ВО (или 12 10, 11, ПЗ;
BD )— биссектриса угла ABC).
1.3.
Д о к аза тел ь с т во Анализ
1. Если ABCD — прямоугольник, то 1. из определения
Ճ ABC = Հ-DCB = 90°;
2. ABCD — прямоугольник; 2. посылка;
3. Հ-ABC = Ճ D C S = 90°; 3. 1, 2, ПЗ:
4. Если ABCD — прямоугольник, то 4. из определения
ABCD — параллелограмм;
5. ABCD — параллелограмм; 5. 2, 4, ПЗ;
6. Если ABCD — параллелограмм, то 6. р. Д. т.;
АВ = CD;
7. АВ = CD; 7. 5, 6, ПЗ;
8. AB = CD и / L A B C = £ D C B = 90°; 8. 3, 7, ВК;
9. Если АВ = CD и Հ-АВС = 9. р Д. т.;
= Հ ֊ DCB = 90°, то А АВС =
= A DCB ;
10. а АВС = Д DCB; 10 8, 9, ПЗ;
11. Если а АВС — AD C B , то АС = 11 р. д. т.;
= BD;
12. АС = BD. 12 10, 11,ПЗ.

138

Решения, указания, ответы 139
*\У 1 2 3 4 5
1 Л л л и и
2 Л л и и и
3 л л и и и
4 л и и и и
5 л и и и и
2.2. а) А?3^ (И , Л}; б) N2^ {И, Л); в) N ^ { И, Л);
г) А ^ {И , Л); д) ДГ3^ {И , Л}; е) Л/3->{И, Л).
2.3. а) ЛД(В\/С)=!-0; б) А=>(В ~ С); в) Л V ® V C=*֊D ;
г) Л д в = ^ с v £>; д) Л А в д С=*-£> v £•
2.4. ж) Е с л и э то ч и с л о целое и делится на 3, то оно
непростое; з) это число — целое или положительное и нецелое,
или неположительное.
2.5. а) Л; б) Л; в) И; г) И; д) Л ; е) И.
2.6. а) Л; ■б) Л; Л; Л; И.
2.7.(6) Л=>- (В ^ С ) i ~ Л Д В =>-С
л S С в = > с Л = * ֊( £ = ► С) Л Д В Л А В=>-С (6)
и и И и И И и и
и и л л Л И л и
и л и и и Л и и
и л л и и Л и и
л и и и и л и и
л и л л и л и и
л л и и и л и и
л л л и и л и и
(11) л ~L4 \ / Տ
А В А =^в 1/1 1/4 V fi л=^в ~ 1Л V B
и и и л и и
и л л л л и
л и и и и и
л л и и и и
2.9. 1) III; 2) любое; 3) а) нет, б) нет.

139

3.1. правильные схемы б, в, е, ж, з, и, к.
(правильная
сх ем а );
_ А Л B = s ֊C , «1C, В
б > = п ——————
/1 АВ=>С, 1 C
В) 1Л Л 1 В
(правильная
сх ем а );
(неправильная
сх ем а );
А\=>В, Ai=>B, Дз=>-В, А \ \ / А ^ \ / Аз (правильная
з) ————————- g ————————- схема).
4.2. а =/= 0 Д Ь 0 =^֊ab =т^= 0.
4.3. Сначала проверим истинность доказываемого предложения
для п — 1:
Теперь допустим, что п3 — ) ֊ (п + I)3 + (п + 2)3 делится на 9, и
докажем, что и (п + I)3 + ( « — ) — 2)3 + (п + З )3 делится на 9.
Исходя из того, что (п + З)3 = п 3 -(- 9п2 + 27п + 27 = п3 4-
9(п2 З п 3), получаем (п + I)3 + (п + 2)3 + (п + З)3 = [п3 +
+ ( п + 1)3 + (ռ -ք 2 )3]-ք 9 (ռ 2 + Յռ + 3) и так как первое слагаемое
(в квадратных скобках) делится на 9 (по допущению) и второе
также делится на 9, то и сумма делится на 9.
4.5. Когда П. сказал С., что он не знает сумму, то С. понял,
что р содержит более двух простых сомножителей (в противном
случае, если р — т ■ п представляло бы собой произведение двух
простых сомножителей, то П. сразу же угадал бы эти числа,
а стало быть, и их сумму). Поэтому տ не должна получиться
как сумма двух простых чисел.
, Узнав, что տ С 14, П. нашел, что такая сумма (которая не
представима в виде суммы двух простых чисел) только одна — 11.
Зная также произведение р, он нашел числа т и п .
С. изучил все разложения числа 11 в сумму двух слагаемых
11 = 1 + 1 0 = 2 + 9 = … = 5 + 6 и соответствующие произведения
1-10; 2-9; . ..; 5-6, среди которых должно быть и
произведение р. Оно должно содержать по меньшей мере три
простых сомножителя, которые не могут давать сумму, большую
13.
Этим условиям удовлетворяет р — 18 = 2-9. Следовательно,
т = 2, п = 9.