§ 9. Решение неравенства второй степени с одним неизвестным
ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Решение неравенства второй степени с одним неизвестным
Неравенство второй степени с одним неизвестным имеет вид
с > О (1)
или
а х* -|— Ьх — с 0 (2)
Так как умножением обеих частей на —1 неравенство (2) превращается
в неравенство вида (1), достаточно научиться решать неравенство
(1).
Это проще всего сделать, исходя из графика квадратного трехчлена.
Действительно, для того чтобы решить неравенство (1), достаточно
узнать, при каких значениях х график трехчлена находится в
верхней полуплоскости. Ответ на этот вопрос можно дать на основании
результатов исследования квадратного трехчлена.
Пусть D = b2 — 4 ас.
1. Если а^>0 и D^> О, график трехчлена находится в верхней
полуплоскости, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох. Неравенство
(1) справедливо*при х < ^ х х ,и при х ^ > х ь где x t и л;а корни
трехчлена и Xi<^x^.
2. Если а^>0 и D — 0, весь график трехчлена, за исключением
одной точки, в которой он касается оси Ох, находится в верхней
полуплоскости. Неравенство (1) справедливо при всех значениях х ,
кроме х = —
3. Если я ]> 0 и D<^ О, весь график трехчлена находится в
верхней полуплоскости, и неравенство справедливо при всех значениях
х.
4. Если а<^0 и D^> О, график трехчлена находится в нижней
полуплоскости, за исключением дуги, отсекаемой осью Ох. Неравенство
(1) справедливо только при X i< ^ x< ^ x b где х^ и — корни
^трехчлена.
I 5. Если а<^ 0 и 0 = 0, весь график трехчлена, кроме точки
касания с осью Ох, находится в нижней полуплоскости и неравенство
(1) решений не имеет.
471 Решение неравенства второй степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.
6. Если а< ^0 и D<^ 0, весь график трехчлена находится в нижней
полуплоскости и неравенство (1) решений не имеет.
Полученные результаты коротко можно выразить так:
Если а ^>0, то неравенству а х* -\-Ь х -\-с ^> 0 удовлетворяют
все вещественные числа, за исключением корней трехчлена и чисел,
заключенных между ними.
Если a<d 0, то (неравенству ах*-\-Ьх-\-с^> 0 удовлетворяют все
числа, заключенные между корнями трехчлена, и только они.
П рим ер . Решить неравенство
2л:9 — 3 * + 7 > 0 .
Р еш ен и е . £) = 9 — §6<^0. Трехчлен не имеет вещественных
корней. Неравенство справедливо при всех значениях х.
Пр и мер. Решить неравенство 4
(3)
Р еш ен и е . Для освобождения неравенства от дроби обе части
его нужно умножить на а — 2. Поэтому приходится рассмотреть два
случая.
Случай /, а^> 2. Неравенство (1) принимает вид
х *— Злг — } -а ^> х (а — 2)
или
х 2 — 1) х -\-а^>0. (4)
Левая часть неравенства (4) имеет корни х х= 1 и х^ — а, причем
Xt<C.x z> так как я ^>2. Неравенство (4) справедливо при всех значениях
лг, лежащих вне промежутка (1, а), т. е. при х< ^1 и при
х > а.
Случай 2. а<^ 2. В этом случае неравенство (3) приводится
к виду
х 9 — (а+ 1 )л г + а < 0 . (5)
Левая часть неравенства (5) имеет корни х х= \ \ х% = а. Нера-
— венство (5) справедливо при всех значениях лг, лежащих внутри промежутка,
образованного корнями ЛГ| и лг* Рассмотрим три случая:
а<^1; а— 1; а^>1.
Если а< ^ \9 неравенство (5) справедливо при а<^лг<^1.
Если а = 1, неравенство (5) решений не имеет.
Если а}>1, неравенство (5) справедливо при 1<^лг<С[а<^2.
Ответ. Если а<^1,то а<^лг<^1; если а— 19
то неравенство решений не имеет; если 1 <^а<[2,
то 1<^лг<^а; если а’^> 2, то лг<^1 и лг^>а.
472 Решение неравенства второй степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.
Околоadmin
