4. Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным

ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным

Опр е д е л ение . Неравенством первой степени с одним неизвестным
называется такое неравенство, которое после раскрытия
скобок, приведения подобных членов и перенесения всех членов в
левую часть принимает вид ах-\-Ь*^>0 или ах-\-Ь<^0.
Умножением обеих частей неравенства ах-\-Ь<^Ъ на — 1 его
можно .привести к равносильному неравенству вида
ах-{-Ь^>0.
Поэтому достаточно изучить только неравенство алг -{-#]>0.
Теорема . Если а ф О, то неравенство
алг-)-&]> О (1)
имеет бесконечное множество решений, именно, ему удовлетворяют
все числа, бблъшие — когда и^>0, и меньшие — когда а<^0.
Если <2 = 0, неравенство (1) не имеет решений, когда 0,
и имеет бесконечное множество решений, когда В последнем
случае ему удовлетворяет любое число,.
До к а з а т е л ь с т в о . Неравенство (1) равносильно неравенству
ах^> — Ъ. (2)
Пусть а^>0, тогда неравенство (2) равносильно неравенству
Х > ~ . (3)
Последнее неравенство — простейшее, ему удовлетворяют все числа,
которые больше чем — и только эти числа*

452 Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

Пусть а<^0, тогда неравенство (2) равносильно неравенству
* < — ! — . (4)
Неравенство (4) — простейшее, ему удовлетворяют все числа, которые
меньше чем — и только эти числа.
Пусть а — 0. Неравенство (1) принимает вид Это
неравенство не имеет решений, когда 0, и имеет бесконечное
множество решений, когда Ь^> 0. В этом случае неравенству удовлетворяет
любое значение х.
Пример . Решить неравенство 2 х— 3 ^> х— 1.
Решение. Переносим неизвестные в левую часть, а известные
в правую, имеем х ^> 2 .
Полученному неравенству удовлетворяют все числа, ббльшие 2,
и только эти числа. Решения неравенства изображаются точками,
лежащими правее точки 2 (рис. 98).
Ответ. х^> 2 .
§ 4 ] РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 4 5 3
Рис. 98.
ч 2 х —« 7 Ох 1 Пример. Решить неравенство — 5———— ^— ^>5.
J I 1—1 I ь.
‘ » » Z ‘2g .-5 -4 — з -2 — / о
Рис. 99.
Решение . Умножим обе части неравенства на 6, получим
4 * — 2 — 9 * -{ -3 > 3 0 ,
отсюда
— 5 * > 2 9 .
Разделим обе части неравенства на — 5 ^умножим на — -g-j:
* < ~ Г —
Решения неравенства (рис. 99) изображаются точками числовой оси,
лежащими левее точки — 2у9.
29
Ответ. х < ^ — у .

453 Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

К неравенствам первой степени иногда сводятся неравенства, содержащие
неизвестное в знаменателе.
Пример. Решить неравенство
Ч ^ т > > — <5>
Решение. Для освобождения неравенства от дробей обе части
его надо умножить на х — 1. Очевидно, х — 1 0, так как иначе
неравенство (5) не имеет смысла. Так как х — 1 может быть и положительным
и отрицательным, приходится рассмотреть два случая.
Случай 1. Пусть х — 1]>0, т. е. л с> 1 . Тогда
2 х— 1]>2лг— 2 или 1 < 2 .
Этому неравенству удовлетворяет любое значение х . Таким образом,
неравенству (б) удовлетворяет любое значение
Случай 2. Пусть лг<1» тогда
2 х— 1< ^2 х— 2 или 1 > 2 .
Это неравенство решений не имеет.
Ответ. х»^>1.
При решении неравенств с буквенными коэффициентами необходимо
учитывать знак коэффициента при неизвестном.
Пример. Решить неравенство
т х— 2 > л г— 3/и.
Решение . Перенесем неизвестные в левую часть, а известные
в правую, получим
(т — 1 ) л ;> 2 — 3/и.
Так как т — 1 может быть и положительным числом, и нулем, и отрицательным
числом, приходится. рассмотреть три случая.
Случай 1. /и > 1 . Тогда
^ 2—3 т
* > 1 Г = Т —
Случай 2. /и = 1. Неравенство принимает вид
Оаг> —
Это неравенство справедливо при любом х .
Случай 3. /и < 1 . Тогда
* < ё т .
еу О.,.
Ответ. Если т^>1,то х ^> ^ ; если m — l,
то неравенство справедливо при любом значе-
нии х ; если m < 1 , то х ^ 2 —Зот
Опре д е л ение . Два или несколько неравенств с одним неизвестным
образуют систему неравенств, если неизвестное в них обозначает
одну и ту же величину. Решить систему неравенств с

454 Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

одним неизвестным — это вначит найтн все значения неизвестного,
при которых все неравенства системы справедливы.
Пример. При каком значении х дробь
2*—3
3 ^ 5 (6)
положительна?
Решение . Чтобы дробь была положительна, необходимо и достаточно,
чтобы числитель и знаменатель были одного знака. Поэтому
задача сводится к решению двух систем неравенств
2 * — 3 > M
3* — 5 > 0 /
2 * — 3 < 0 . )
Злг — 5 < 0 . j
О
Первое неравенство системы (7) требует, чтобы х ^ > у , второе —
чтобы 5 • Так как 5 3 систем? СО удовлетворяют все зна-
чения ‘5 и только эти значения, ~
Первое неравенство системы (8) требует, чтобы х < ^ у ,вто р о е—
чтобы 5 При 3 и только при этих значениях х удовлетворяются
оба неравенства системы (8).
§ 4J РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И’СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 455
Рис. 100.
Таким образом, дробь (6) положительна при х ^> у и при
* < у . Геометрически это означает, что дробь (6) положительна в
любой точке числовой оси, кроме точек, лежащих внутри и на концах
отрезка ^ у , y j (рис. 100).
Пример. Решить систему неравенств
2х— 1 > х — 2,\
Sx — 1 ^ 2х — В. J
Решени е . Первое неравенство требует, чтобы х ^> — 1. Второе
неравенство требует, чтобы х <Ц — 2. Система (9) решений не имеет,
так как нет такого числа, которое было бы больше — 1 и меньше — 2.

455 Решение неравенств и систем неравенств первой степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

Околоadmin