§ 8 . Решение двучленных уравнений 3-й, 4-й и 6 -й степени

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Решение двучленных уравнений

Оп р е д е л е н и е . Двучленным уравнением п-й степени называется
уравнение вида а0х п-j-a n= 0 . Очевидно, что делением на ав
такое уравнение сводится к уравнению * “ — } — ^ = 0. Если коэффициенты
уравнения действительны, то двучленное уравнение можно
представить в виде х п— af’ — O или * n -f-an= 0 , где а — положительное
число.
В этом параграфе излагается решение двучленных уравнений с
действительными коэффициентами при л = 3, 4 и ,6.
а) я = 3.
лг9—в* = 0; ( х — в )(**-{-а х — j-в*) = 0;
у л. « Х\ ——«, — 2а II а У2 З >*. * ±2 _ * Y2E i
Уравнение имеет один действительный и два мнимых сопряженных
корня.
**-{-«*=0; (* + в )(* *—вх + а4) = 0
а , а УЪ, а аТ/И,
* 1 = —a; — 2— * X t— T ——2 ~ L
Уравнение имеет один действительный и два мнимых сопряженных
корня.
б) л = 4.
** — о* = 0; (** — л4) (**-]-а4) = 0;
х 1= а \ * а= — а; х 3= ai; * 4= —al.
16 Д. К. Фаддеев, И. С. Сомннский

485 Решение двучленных уравнений. Кабинет Математики.

Уравнение имеет два действительных и два мнимых сопряженных
корня.
х 4-)- а * = 0; ( * 4 “f- 2 * 9а 9 -(- а4) — 2лс3ла = 0;
( * 9 + а 9)9 — 2 * 9а 9 = 0 ;
(дг® — а 1 / 1 х -1 — а 8) ( * 9 + а У~2 х + в 9) = 0 ;
j- « / 2 + — . / ^ У a V 2 a V 2f.
*•* 2 V Т ® ——— 2 2
= ^ — p ( i + 0 ; * 2 = ^ P ( i — о ;
— _____ *У 2 \ л Г а* д* аУ 2 а\Г2
М— Т — — V 2 — 2 — 2 ’
* 8= ( — 1 + i);. хА= ( — 1 — г).
Уравнение имеет две пары мнимых сопряженных теорией.
в) п = 6.
— а 6= 5 0 ; (jc8— a 8) ( jc 3 + a 3) = = 0 .
Уравнение распадается на два кубических двучленных уравнения.
На основании рассмотренного в п. а)
*! = <*; * a= — J ( — i — j — i y T ) ; * 8 = -f-(— 1 — 4
Xi — — a; j f B = y ( l — | — i ] / ‘ 3 ) ; * e = у ( 1 — t\fb).
Уравнение имеет два действительных и две пары мнимых сопряженных
корней;
* ® Ц — а в= 0 ; ( х 3 — ( — а 9) (дг4 — а 9* 9 — } — а 4) = 0 ;
(*9 + а9) [(л4 + 2а9* 9 -j- а4) — За9* 9] = 0;
( * 9 4 — л 9) ( * 9 4 — в 1 ^ 3 * 4 — а 9) ( * 9 — а у И * -|~ в 9) = 0 .
Уравнение’ распадается на три квадратных уравнения. Решая их,
получаем
X i — al; * а ==’ — al; х ь = ^ { — У Ъ — { — 0 ’»
* 4 = | С — у г — 0 ; * « = | ( У Т 4 — О; * в = | ( 1 ^ з — 0-
Уравнение имеет три пары мнимых сопряженных корней.
Замечание. Пользуясь извлечением корня л-й степени из комплексного
числа, можно решить двучленное уравнение хп = а любой степени п
при любой правой части а.
Корнями уравнения *л = а являются все значения корня л-й степени
из а.

486 Решение двучленных уравнений. Кабинет Математики.

Пр и ме р . Решить уравнение
x*szs — 2 + 2/.
Р еш е н и е . Запишем правую часть уравнения в тригонометрической
форме
— 2 + 2/== y l ^ c o s j +
Пусть кубический корень из — 2 + 2i равен p(cos0 + /sin 0). Тогда имеем
p*(cos3e + is in 3 6 )= y T ^ c o s ^ -M s in j j , •
отсюда (§ 9 гл. IX) имеем
р = / 2 ; е = 7■ ■ +- 3 -2—** .
Для получения всех значений корня достаточно ■ k положить равным 0, 1, %
При /? = 0 имеем
лг0= )/2 ^ c o s -~ + /sin-~j==U + / .
При kz=* 1 имеем
•*1 = V»2( сое^ + / sin j = у»2( cos^ + i sin ~ j [co s j — f / s i n =»
При k = 2 имеем
^ , = / 2 ( c o s ^ — { — i s i n ^ ) — y ^ ‘ c o s — J + Zsin j ) ( c o s j + i s l n =
Omem. л. = 1 + <; лс, 1= — .
r / 3 — 1 _ ; £ 3 + i x »— 2 2 .

487 Решение двучленных уравнений. Кабинет Математики.

Околоadmin