дома » Алгебра в школе » Решение некоторых трансцендентных уравнений

Решение некоторых трансцендентных уравнений

§ 16. Решение некоторых трансцендентных уравнений

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 7
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМЫ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Решение некоторых трансцендентных уравнений

Мы рассматривали уравнения первой степени, квадратные, би*
квадратные, иррациональные. Все эти уравнения относятся к классу
алгебраических уравнений.
Помимо алгебраических уравнений, рассматриваются уравнения
неалгебраические, или трансцендентные.
Мы рассмотрим некоторые трансцендентные уравнения: уравнения,
содержащие неизвестное в показателе степени (показательные уравнения),
и уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма
(логарифмические уравнения).
£± i
Пример. Решить уравнение 4* = 2 * *
Решение. Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда
*-Н

409 Решение некоторых трансцендентных уравненийКабинет Математики.

Так как степени числа 2 равны, то должны быть равны и показатели
степеней
Отсюда
2 х9— х — 1 = 0 ; # | = 1; х 2 = —
Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют уравнению*
Ответ. #, = 1; # 2 = — — ♦
Пример. Решить уравнение 3*+3-~- 3*~* = 80.
« Р еше н и е Допустим, что уравнение имеет решение. Тогда
3х (З4 — 1) = 80; 3х- 1 • 8 0 = 80;
3*-5 = 1; 3*” * = 3°.
Так как степени числа 3 равны, должны быть равны и показатели
степеней
х — 1 = 0 ; х — 1.
Проверка показывает, что найденное решение удовлетворяет уравнению.
Ответ. # = 1 .
Пример. Решить уравнение 5** — 23 • 5* — 50 = 0 . »
Решение . Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда,
положив 5х—у 9 получим
у* — 23у — 50 = 0,
отсюда
у х = 25; j a = — 2.
Второе значение для у должно быть отброшено, так как 5* не может
равняться отрицательному числу. Остается
5* = 25; # = 2.
Проверка показывает, что это решение удовлетворяет уравнению.
Ответ. х = 2 .
Приме р . Решить уравнение 15* = 43. *
Реше н и е . Это уравнение имеет единственное решение (свойство 6
показательной функции). Логарифмируя, имеем
# ] g l 5 = lg43.
Отсюда
* — lg43
1г15*

410 Решение некоторых трансцендентных уравненийКабинет Математики.

Пример. Решить уравнение
lg(2^2+ 2 1 ^ + 9) — lg (2л:- f -1 ) = 1.
Решение ; Предположим, что уравнение имеет решение, тогда
I 2лта -J- 21л: -f- 9 л 1Л
1* ~ 2 х + 1 = 1 § 10-
Из равенства логарифмов двух чисел следует и равенство чисел
2*» + 21лг + 9 _ 1Л
2дг+1 — 1и»
отсюда
2х*-\-х—1=0; *, = — 1; *4 = -i.
Итак, если рассматриваемое уравнение имеет решения, ‘то этими
решениями могут быть только
X i = — 1; хг— -i.
Первое из этих значений не удовлетворяет уравнению, так как
при дг = — 1 под знаком логарифма оказывается отрицательное число.
Ответ. * = у .
Пример. Решить уравнение дг1?-»—1 = 100.
Р е ш е н и е. Предположим, что уравнение имеет решение. Тогда
логарифмы левой и правой частей должны быть равны;
( l g *— l ) l g * = 2 .
Положим lg х = у . Имеем:
. у*—у — 2 = 0,
откуда
>1 = — 1; Уъ = 2.
Теперь
lg * i = — 1; *1 = -^; lg дта = 2; * 2= 1 0 0 .
Оба значения неизвестного удовлетворяют уравнению.
Ответ. * г= ^ ; * 9= 1 0 0 .

411 Решение некоторых трансцендентных уравненийКабинет Математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии