§ 9. Решение трехчленных уравнений

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Решение трехчленных уравнений

Оп р е д е л е н и е . Трехчленным уравнением называется уравне*
ние вида
ах*п + Ьхп + с = 0.
При я = 2 уравнение является биквадратным.
Решение трехчленного уравнения подстановкой х *= :у сводятся
к квадратному уравнению ay*-\-by-\*c=s0 и двучленному уравне-
нию п,’й степени.

487 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

Пример. Решить уравнение
36*»— 1 3 * * -fl= = 0 .
Решен и е . Положим **==у. Имеем
36у* — 13_у — f — 1 = О,
отсюда y i = Y>
Теперь имеем
( д » _ 4 ) ( д * + ! ) = 0 ;
х „ _____ / •м— ~~2~> 29. „ 3_ — / ~22 „ ______V 2 ,
Далее,
* 4.— д — = 0;
•^* 5-_— К^З .> „«*6_-_-_—_-_ _ £ 3 0. > „*^7_—£ з ^, . * * „Л8_“ «_ £ з 0 *’•
Ответ. * 1 = -1!у/2- ; * а = — 1/2 * 8==Jгy/2i ;
„ ______£ 2 , . _ £ з . ______£ 3 .
«*4 2 * В 3′ * •*§— ^ 9
*, = ^ i; * # = — ^ i .

488 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

ДОПОЛНЕНИЕ

I. Утверждения верные и неверные. Задачи на доказательство
Мы сейчас приведем несколько утверждений. Некоторые из них;
верны, и мы их докажем. Другие утверждения неверны, и мы их опровергнем
(т. е. докажем, что они неверны).
1 . В нашем городе (селении) есть средняя школа. Это утверждение
верно. Для доказательства достаточно показать школу. (Вот
средняя школа нашего города.)
2. В каждом селении есть средняя школа.. Это утверждение
неверно. Для доказательства достаточно указать одно селение; в котором
нет средней школы. (В селении А нет средней школы.)
3. Существует мальчик, которого зовут Миша. Это утверждение
верно. Для доказательства достаточно указать одного мальчика,
которого зовут Миша. (Вот мальчик, которого зовут Миша.)
4. Всякого мальчика зовут Миша. Это утверждение неверно. Для
опровержения достаточно указать одного мальчика, которого зовут другим
именем. (Вот мальчик, которого зовут Ваня, а не Миша.)
Ь. Не всякого мальчика зовут Миша. Это утверждение верно.
Для доказательства достаточно указать одного мальчика, которого
зовут другим именем.
6. Если число делится на б, то оно оканчивается нулем.
Это утверждение неверно. Для опровержения достаточно указать
число, которое делится на 5, а оканчивается не нулем. (25 делится
на б, а оканчивается не нулем; а цифрой 5.)
Упражнения
1. Среди следующих утверждений имеются верные и неверные. Верные —
доказать, неверные — опровергнуть.
а) Все квадраты имеют одинаковую площадь.
б) Всем школьникам 13 лет.
в) Если основание прямоугольника увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить
в 2 раза, то площадь прямоугольника не изменится.
г) Если произведение двух целых чисел делится на 6, то хоть один из
сомножителей делится на б.
д) Если основание прямоугольника увеличить на 2 см, а высоту уменьшить
на 2 см, то площадь прямоугольника не изменится.
е) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно оканчивалось
нулем.

489 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

ж) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось
нулем.
з) Сумма двух четных чисел является четным числом.
и) Сумма двух нечетных чисел является нечетным числом.
к) Если сумма двух целых чисел является четным числом, то каждое
слагаемое четное.
л) Сумма трех нечетных чисел нечетна.
м) Если сумма трех целых чисел нечетна, то хоть одно из слагаемых
нечетно.
2. Имеются две гири весом в 1 кг и 3 кг. Доказать, что при помощи
, этих гирь можно на чашечных весах взвесить любой груз, вес которого
равен .целому числу килограммов и не превосходит 4 кг.
3. Написаны два числа, одно четное, другое нечетное. Двум лицам А
и В предлагают распределить эти числа между собой. Далее просят А умножить
его число на 2, а В просят умножить его число на 3. Потом просят
А и В сложить полученные ими произведения. Каким образом по сумме произведений
можно определить, как А и В распределили предложенные числа?
4. В ящике лежат яблоки двух сортов. Какое наименьшее количество
яблок следует наугад взять из ящика, чтобы среди этих яблок хотя бы два
оказались одного сорта?
5. В классе 40 учеников. Найдутся ли среди них хотя бы два ученика,
фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?
‘ 6. В школе 637/учеников. Можно ли утверждать, что хотя (бы один из
них родился 7 ноября? Можно ли утверждать, что хотя бы два из них имеют
один и тот же день рождения?
7.. Доказать, что любое целое число рублей, ббльшее семи, можно уплатить
без сдачи денежными билетами достоинством в 3 и 5 рублей.
8. Из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 произвольно выбрали 4 числа. Доказать,
что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на
другое.
9. Восемь монет внешне одинаковы; одна из них — фальшивая — легче
остальных. При помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь
найти фальшивую монету.
10. Из бочки с вином берут литр вина и выливают его в бочку с водой;
не размешивая, из второй бочки черпают литр неразмешанной смеси и выливают
в первую бочку. Чего больше: вина в воде или воды в вине?
11. На конкурсе любителей задач и головоломок в результате соревнований
отличились три человека. Чтобы выделить из них самого сообразительного,
им показали пять бумажек: 3 белых и 2 черных. Затем всем троим
завязали глаза и каждому на лоб наклеили по одной бумажке, а две оставшиеся
бумажки уничтожили. После этого повязки были сняты, и каждый
увидел у своих противников по белой бумажке. Было объявлено,, что победителем
будет первый, определивший цвет своей бумажки. Некоторое время
соревнующиеся сидели друг перед другом; наконец, один из них заявил, что
его бумажка белая. Как он рассуждал?
IL Упражнении к § 4 главы I части I
1. Один мальчик утверждал, что при всяком а число 2а целое. Справедливо
ли это утверждение?
2. Справедливо ли утверждение: если а — целое число или дробь со знаменателем
2, то 2а целое? . ‘
3. Справедливо ли утверждение: для того чтобы число делилось на 6,
достаточно, чтобы оно делилось на 12?
4. Справедливо ли утверждение: для того чтобы число делилось на 6,
необходимо, чтобы оно делилось на 12?
5. Среди следующих утверждений имеются верные и неверные. Верные —
доказать. Неверные — опровергнуть,

490 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

а) При всяком целом а сумма 2а -(-За есть четное число.
б) При всяком целом а сумма 2а + За есть нечетное число.
в) При всяком целом а число 6а делится на 3.
г) Если а делится на 5, то 2а делится на 10,
д) Если 2а делится на 10, то а делится на 5.
е) Если а и Ъ целые, то а + ~ Ь — целое.
ж) Для того чтобы сумма 2а + была целым числом, необходимо, чтобы
а и Ь были целыми.
з) Для того чтобы сумма 2а + была целым числом, достаточно, чтобы
а и Ъ были целыми.
и) Для того чтобы 2а было целым, необходимо, чтобы а было целым.
к) Для того чтобы 2а было целым, достаточно, чтобы а было дробью со
знаменателем 2.
л) Если 5а целое, то а целое.
м) Если а целое, то 5а целое.
III. Упражнения к § 5 главы 1 части 1
1. Число оканчивается нечетной цифрой и на 5 не делится. Квадрат
этого числа оканчивается той же цифрой, что и само число. Какой цифрой
оканчивается» число? х
2. Среди следующих утверждений имеются верные и неверные. Верные —
доказать, неверные — опровергнуть.
а) Не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2.
б) Если а ?= 0, то а 8 = а8.
в) Если а = 1, то а* -{- а* = 2а.
г) (а + by ssa а* + ПРИ любых а и Ь.
д) Если а8 в а8, то а равно 0.
е) Для того чтобы а8 было равно а8, достаточно, чтобы а было равно 1.
ж) Для того чтобы, а8 = а8, необходимо, чтобы а=» 1.
з) Для того чтобы куб целого числа делился на 5, необходимо, чтобы
число это делилось на 5.
и) Куб целого числа делится на 5 только тогда, когда число это делится
на 5.
3. Доказать, что Существует такое значение а, при котором справедливо
равенство За = а.
4. Доказать, что если а — целое число, то а (а— 1) — четное число.
5- . Д„ оказать, что если п — целое п(чпи —сл о1,) то —1^ “ целое.
* гт л (л — 1) (/г — 2) 6. Доказать, что если п — целое число, то —■*——— ^ ‘ — целое.
7. Доказать, что V — З8 делится на 10.
IV. Условие и заключение
Рассмотрим утверждение: если число оканчивается нулем, то оно
делится на 5. Утверждение это состоит из двух частей: условия и
заключения. Условие: число оканчивается нулем; заключение: число
делится на б. Из того, что число оканчивается нулем, вытекает, что
оно делится на б, из условия вытекает, выводится заключе-
ние^ При проверке утверждения, при его» доказательстве условие
считается данным, заключение проверяется, в этом цель доказательства
справедливости или несправедливости утверждения. Связь условия и

491 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

заключения наглядно ложно представить так:
условие заключение
Пример. Отделить условие от заключения в следующем утверждении:
если одно слагаемое увеличить на 3, а другое на 5, то сумма
увеличится на 8.
Решен и е . , Условие: одно слагаемое увеличивается на 3, другое
. на 5. Заключение: сумма увеличивается на 8.
Пример. Сумма двух четных слагаемых является четным числом.
Отделить в этом утверждении условие от заключения.
Р ешен и е . Перепишем утверждение, по схеме «если.,., то…».
Тогда утверждение будет выглядеть так: если сумма состоит из двух
слагаемых, каждое из которых является четным числом, то сумма
является четным числом. Теперь видно, что условие состоит в следующем:
сумма- состоит из двух слагаемых, каждое из слагаемых —
четное число; заключение состоит в том, что сумма — четное число.
З а м е ч а н и е . Когда утверждение составлено по схеме: «если…, то…»,
условие легко отделяется от заключения. В более сложных случаях следует
утверждение сначала переписать по указанной схеме. Так мы и поступили
в последнем примере.
Упражнения
В следующих утверждениях отделить условие от заключения;
1. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
2. Если л равно 2, то tQa равно 20.
3. Если прошел дождь, то под окном сыро.
4. Если аЬ= 0 и ЪфЪ> то 0.
. 5. Разность нечетных чисел четна.
6. Для того чтобы aa s=s0, необходимо, чтобы а = 0.
7. Для того чтобы а* = 0, достаточно, чтобы а = 0.
5. а2 = 0 только тогда, когда д = 0.
9. Квадрат четного числа делится на 4.
10. Всякое целое, ббльшее 1, делится хоть на одно простое число.
11. Произведение двух п о с л е д о в а т е л ь н ы х целых чисел делится на 2.
12. Для того чтобы произведение двух чисел было равно!нулю, необходимо,
чтобы хоть один из сомножителей был равен нулю.
13. Для того чтобы произведение двух чисел было равно нулю, достаточно,
чтобы хоть один из сомножителей был равен нулю.
14. Произведение двух чисел равно нулю, когда хоть один из сомножи-
, телей равен нулю.
15. Произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хоть один
из сомножителей равен нулю.
V. Прямое и обратное утверждение
Возьмем какое-нибудь утверждение. Например, такое: если число
оканчивается нулем, то оно делится на 5. Поменяем местами условие
и заключение, получим утверждение, обратное исходному {прямому):.
если число Делится на 5, то оно оканчивается нулем.

492 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

В рассмотренном примере прямое утверждение справедливо, а
обратное несправедливо.
Вывод. Из справедливости некоторого утверждения еще не
следует справедливость обратного утверждения.
Упражнения
1. Для каждого из утверждений раздела IV построить обратное.
2. Какие из утверждений, построенных в упражнении 1, справедливы и
какие несправедливы? ‘
VI. Об условиях необходимых и достаточных
Мы уже встречались с утверждениями, которые выражали, что некоторые
условия необходимы или достаточны. для того, чтобы сделать
соответствующее заключенно* Каждое такое утверждение может
быть переписано, при желании, по более простой схеме: «если…, то.. .».
В математике часто пользуются понятиями необходимо, достаточно,
и поэтому надо научиться их правильно употреблять. Вот
некоторые примеры. , .
Пример. Для того чтобы число делилось на 5, достаточно,
чтобы оно делилось на 10. Слово «необходимо» здесь по смыслу
не подходит. В самом деле, для того чтобы число делилось на 5,
вовсе не необходимо, чтобы оно делилось на 10. Число может не
делиться на 10 и все же делиться на б (например, 35).
Рассмотренное нами предложение можно переписать по схеме
«если…, то …» так: если число делится на 10, то оно делится на 5.
Пример. Для того чтобы число делилось на 10, необходимо,
чтобы оно делилось на 5. Здесь по смыслу не подходит слово «достаточно
». В самом деле, для того чтобы число’ делилось на 10,
вовсе не достаточно, чтобы оно делилось на 5. Так, например, 36 на
5 делится, а на 10 не делится.
Это же предложение можно записать так: если число делится
на 10, то оно делится на б.
Пример. Для того чтобы число делилось на 6, необходимо
и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3. Здесь по смыслу
подходят оба слова «необходимо» и «достаточно». Это же предложение
можно записать двумя следующими предложениями:
1) Если число делится на 6, то оно делится на 2 и-на 3.
2) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
Первое из них выражает необходимость делимости на 2 и на 3
для того, чтобы число делилось на 6, а второе — достаточность делимости
на 2 и 3 для того, чтобы число делилось на 6. Предложение
второе обратно предложению первому.
Из трех приведенных примеров видно, что иногда из двух слов
«необходимо» и «достаточно» подходит одно, а другое не подходит.
Иногда же они подходят оба.

493 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

Впрочем, возможен и четвертый тип предложений, когда не подходит
ни одно из слов «необходимо» и «достаточно». Например,
для того чтобы число делилось на 7 ,…, чтобы* сумма цифр числа
делилась на 7. Здесь вместо многоточия нельзя. поставить ни «необходимо
», ни «достаточно» (число 25 на 7 не делится, а сумма цифр
его делится на 7, значит, нельзя вместо многоточия написать «до*
статочно»; число 35 Я& 7 делится, а сумма цифр его на 7 не делится,
значит, вместо многоточия нельзя написать «необходимо»).
Упражнении
В следующих предложениях вместо многоточия поставить «необходимо»
или «достаточно», а где возможно, «необходимо и достаточно», так, чтобы
получилось справедливое утверждение.,
1. Для того чтобы сумма двух чисел была четной, чтобы каждое
слагаемое быКо четным.
2. Для того чтобы сумма двух чисел была четной, чтобы каждое
слагаемое было нечетным.
3. Для того чтобы число делилось на 15, …, чтобы оно делилось на 3.
4. Для того чтобы число делилось на 3, . . . , чтобы оно делилось на 15.
5. Для того чтобы число делилось на 10, . .. , чтобы оно делилось на 2
и на 5. \
6. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 20,
чтобы хоть одно слагаемое было больше 10.
7. Для того чтобы 2 (х— 1)(х— 2) = 0 ,…, чтобы х = :1 .
8. Для того чтобы Зх 5 = 1 0 ,…, чтобы х =* 5.
9. Для того чтобы длина прямоугольника была 40.#, а ширина 30 и*,…,
чтобы площадь его была 1200 ж 2.
10. Для того чтобы объем куба был равен 125 куб. см, … , чтобы ребро
его было 5 см.
11. Для того чтобы число а было больше 5, . . . , чтобы оно было больше
3. .
12. Для того чтобы 2а было целым,…, чтобы а было целым.
13. Для того чтобы 2а елдилось на 4 ,…, чтобы а было четным.’
14. Для того чтобы добыло целым,…, чтобы 2а было целым.
15. Для того чтобы 40 книг разместить на трех полках, . . . ; чтобы хоть
на одну полку было поставлено более 13 книг.
16. Для того чтобы два квадрата имели одинаковую площадь,…, чтобы
^стороны их были равны.
VII. Объединение прямого и обратного утверждений
в одном предложении
Мы знаем, что из справедливости прямого утверждения не следует
еще справедливость обратного. Или, что, все равно, из того, что не-
— которые условия являются необходимыми, еще не ‘‘следует, что они
являются достаточными, а из. того, что некоторые условия являются
достаточными, еще не следуёт, что они являются необходимыми.
В случае, когда справедливы оба утверждения — прямое и обратное,
иди, другими словами, когда некоторые условия являются и необходимыми
и достаточными, обычно составляется одно предложение,

494 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

в котором объединяются оба утверждения — прямое и обратное, необходимость
условия и его достаточность.
П р и м е р . Если сумма цифр числа делится на 3, число делится
на 3. Это утверждение справедливо. Справедливо и обратное утверждение:
если число делится на 3, то и сумма цифр его делится
на 3.
Прямое утверждение устанавливает, что для делимости числа на 3
достаточно делимости суммы его цифр на 3. Обратное утверждение
устанавливает, что для делимости числа на 3 необходима делимость
суммы его цифр на 3. Оба утверждения можно объединить в одном
предложении так:
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и доста-
точно, чтобы сумма цифр его делилась на 3.
Или так;
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма Цифр
его делится на 3 (здесь слово «тогда» выражает достаточность, а
слова «только тогда» — необходимость условия; условие состоит
в делимости на 3 суммы цифр числа).
П р и м е р . Для того чтобы куб целого числа делился на 8,
необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2. Из
этого предложения составить два так, чтобы одно выражало необходимость
условия, а другое достаточность. Каждое из этих предложений
формулировать по схеме: «если…, то…».
Р е ш е н и е,. Необходимость условия: если куб числа делится
на 8, то число делится на 2.
Достаточность условия: если число делится на 2, то куб его
делится на 8.
Упражнения
Каждое из следующих утверждений разбить на два отдельных утверждения
так, чтобы одно выражало необходимость, а другое достаточность
условия.
1. Для того чтобы произведение двух целых чисел было четным, необходимо
и достаточно, чтобы хоть один из сомножителей был четным.
2. Для того чтобы число делилось на ’10, необходимо и достаточно,
чтобы оно оканчивалось нулем.
3. Для того чтобы число делилось на 21, необхрдимо и достаточно, чтобы
оно делилось на 3 и на 7.
4. Для того чтобы а делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы 2а
делилось на 14.
5. Для того чтобы 2х = 1 0 , необходимо и достаточно, чтобы ЛГяаб.
6. Для того чтобы поверхность куба была равна 54 см2, (необходимо и
достаточно, чтобы ребро его было равно 3 см.
7. Для того чтобы ребро куба равнялось 3 см, необходимо и достаточно,
чтобы поверхность его была равна 54 см2.
8. Для того чтобы 5 (л: — 1) = 0, необходимо и достаточно, чтобы
, .9. Для того чтобы сумма двух целых чисел была нечетной, необходимо
и достаточно, чтобы слагаемые были разной четности.
10. Для того , чтобы За делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы а
было целым.

495 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

VIII. Упражнения к главе II части I
. Среди следующих утверждений имеются -верные и неверные. Верные —
доказать. Неверные — опровергнуть.
1. Если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое
слагаемое равно нулю.
2. Если а = Ь9 то |чаг| = |^1.
3. Если | а I = | Ъ |, то а = о.
4. Для того чтобы два числа были равны, необходимо, чтобы их абсолютные
величины были равны.
5. Если о + ^ = то ^ = 0.
6. Если a b > 0 9 то я > 0 , &>0.
7. Для того чтобы произведение двух чисел было положительно, необходимо
и достаточно, чтобы каждый из сомножителей был положительным.
8. Произведение двух чисел отрицательно тогда, когда один из сомножителей
положителен, а другой отрицателен.
9. Произведение a b c 0 только тогда, когда а и Ь разных знаков.
10. Произведение a b < 0 тогда и только тогда, когда а и b разных знаков.
11. Если а + £ = 0, TO
12. Если | a | = |,H ‘T0 а + Ь~(У.
13. Если = 1, то в = 1 .
14. Если | а | > | Ъ |, то а > Ъ,
15. Если у < 0 и £ > 0 , то а < 0 .
16. Для того чтобы а 4 было положительным, достаточно, чтобы а было
положительным. ч ,
17. При всяком а а4 > 0.
18. Для того чтобы а* было отрицательным, необходимо, чтобы а было
отрицательным.
19. Для того чтобы а* было отрицательным, достаточно, чтобы а было
отрицательным. .
20. Для того чтобы а* было отрицательным, необходимо и достаточно,
чтобы а было отрицательным.
21. Если 5 + <*<0, то а < 0.
22. Если + 0, то я < 0 . .
23. Если а ^ 0,* то = а.
24. Если а г^О, то — о.
25. Если а ^ 0 , то
26. Если о ^ О , то = а.
IX. Упражнения к главе III частя I
1. Вычислить при a s s 6=з-~- выражение
(ц + £)— 5 (в + £) + 7(в + &)— 3(а + &)’
2. Доказать, что сумма.трех последовательных целых чисел делится на 3.
3. Доказать, что а* • а* • а* *=(&*)*.
,4. Доказать, что (лг-4-1)(лг—1)4*2 положительно при всех значениях х.
5. Вычислить (х — 2)(лг— 3)— ( х— 1) (лг— 4) при * з а 1,7.
6. Доказать, что разность .квадратов двух последовательных нечетных
чисел делится на 8.

496 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

X. Упражнения к главе IV части I
1. Доказать, что разность между квадратом целого числа и самим числом
делится на 2.
2. Доказать, что если сумма цифр двузначного числа есть число однозначное,
то для умножения этого числа на 11 достаточно между его цифрами
поставить сумму его цифр. (Н&пример, 24 • 11=264.)
3. Вычислить abc + ab + va + bc при а = у ; £ = у ; е = ~ . .
4. Вычислить abc + с?Ъс + аЪЧ+ йЬс* при а = 0,5; & = 0,2; с = 0,3.
5. Доказать, кчто ^а + = а (а 1) + • Воспользоваться этим ра-
(
I\2 ( | \2
6 y j ; (8 — j , Вывести общее правило для возведения
в квадрат числа, представляющего собой сумму целого числа и у
6. Доказать, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося
на 5, достаточно число его десятков умножить на следующее за ним число
и к полученному произведению приписать 25. (Например, 35*= 1225.)
7. Доказать, что если к произведению двух последовательных целых
чисел прибавить ббльшее из них, то получится квадрат ббльшего числа.
8. Если Данное число есть сумма квадратов двух целых чисел, то и
квадрат его есть также сумма квадратов двух целых чисел. Доказать..
9. Доказать, что удвоенная сумма квадратов двух целых чисел есть
также сумма квадратов двух целых чисел.
10. Доказать, что 1331 есть куб целого числа.
11. Доказать, что если а + & + * делится на 6, то а*-|-£8 + с* делится
на 6.
12. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится
на 9.
XI. Упражнения к главе V части I
, _ 1 1 1 xy + x z + y * 1. Вычислить при л: = у ; .у = у ; <z=-g- выражение——-
2. При каком значении а многочлен х4 — Зл:* + 4д: — а делится на х —2.
х* 4- х 4-1 2х
3. Вычислить при а: = 0,1 выражение ^ ^ + £ ~ i Zl’f f •
4. Сложить дроби + + ^ +
5^ . Д.г оказать, что при целом т сумма т t т* . т* 3 + у + ■g” есть целое число.
6. Пользуясь тем, 410 ‘ вычислить 1~2 + 2Т з ‘ 1~
+ 3Т 4+ ••• + 99- 100 *
дополнения 497
XII. Упражнения к главе VII части I
1. При каких значениях х выполняется неравенство х%<^х7
2. Подобрать а так, чтобы уравнения
х 2 + а х— 2а = 0,
X* — 2ах —J- л = 0
имели общий корень.

497 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

XIII. Упражнения к главе VIII части I
XIV? Упражнения к главе II части II
L Доказать, что п прямых, расположенных в одной плоскости, из которых
никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну
точку, рассекают плоскость на —Я (Я + 1) I I1 частей.
2. Решить уравнение (х* + 3*)а — 2 (я8 + 3*) — 8 == 0.
3. Решить уравнение \х 4 “ 1) (х + 2) (* + 3) (л: + 4) *= 120.
4. Решить уравнение х *— х ь — 10*а + х -г * =* О*
5. Доказать, что + ни ПРИ каком целом х не делится на 169.
XV. Упражнения к главе IV части II
I. Решить систему уравнений
у ( х + у + г)=12>
г ( х+ у + г)=1Ъ.

498 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

2 . Р еш и т ь с и с т ем у у р а в н ен и й
20
■-+У ‘*+У ’
, ^ 4 — y = 34. —
XVI. Упражнения к главе V части II
1. S„ означает сумму л членов арифметической прогрессии. Доказать,
что Sp+o-sO, если Sp = Sq\ p ^ q .
2. Доказать тождество
(1 + х +х* + . . .+ х п)*— л:*«
+ + + л:*-1) (1 + лг + л* +*»+’).
3. Доказать, что число * А =* (10я + 10я*1 + . . . + 10 + 1) (Юя+1 + 5) -f 1
является точным квадратом.
4. Найти сумму
б. Доказать неравенство
1 + а + в* + … + о * < |-^ ~ , 0- < л < 1.
XVII. Упражнения к главе VII части II
1. Доказать без помощи таблиц, что lo.~gza—w + l ogf—tW > 2.
2. Доказать, что » 1 + loga т.
ю%ат п
а-Доказать, что loge<J в * = «—————j————- .—- .
” ^ ? + Щ ? + — + ^ Ь
4. Решить уравнение ( ] / 2-— Уз)* + (V 2 + У~з)* *==4.
XVIII. Упражнения к главе VIII части II •
1. На одной из двух параллельных прямых выбраны п точек, а на другой—
т точек. Каждая выбранная точка одной прямой соединена с каждой
из выбранных точек другой прямой отрезком е концами в этих точках.
Сколько раз пересекутся отрезки?
2. Доказать, что kCk=^nCk” }.
3. Доказать тождество Cjjl**»l + 2C£1 + С%e l *=
4. Доказать, что Н + <С*)» + (С^)‘ + . . . + «?£)» = С%п.
Б. Доказать тождество С1п + 2С\ + ЗС® + …’ + пС» = п • 2я-1.
6. Доказать, что С делится на п + 1.
7. Доказать тождество С£+ С£+1 + … + С£+й —
8. Вычислить сумму С1п — 2С\ + 3С*п — + (— 1)я»’1 пС%.

499 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

9. Доказать, что отношение я! есть целое число, если аг +
+ Да + • • • + ak ^ п»
10. Пусть Sk =* 1* + 2* + + я*. Доказать, что (я + l)m+1 = (я + 1) +
1. Доказать неравенство ап + ЬА ^ (я + >)*, если я^?0;
2. Доказать, что 2я > я, если я ^ 2.
3. Доказать- что 2л> 2 я + 1, если я ^ З .
4* Доказать, что 2я > я*, если я ^ 5 .
6. Доказать неравенство (4 + <4X1 + я*)… (1 + ап)> 1 + (fli + ** + ••• +
+ яя), если Я!>0, я* >0,…, яя>0;
6. Доказать неравенство (1—00(1—я2)…(1—ял) > 1 —(яН-д2 +•••+<**)»
если я > 1; 0 < а 1< 1 ; 0 < я * < 1 ;…; Q<tf*<cl.
7. Доказать неравенство (at + а% + . . . + ап)* ^ п (а1 + <*! + * • • + а%)-
8. Доказать неравенство —I + I ~г +I — ^ — .» v9- .—, если я>0; Ь>0; с>0. а о с a — j — p — j — r
9.“ Доказать неравенство з*~^~°*5* Y a»a*a*> если e j^ 0; а*2^/0;
13. Пусть ej + ej-f- … -f-«£*=l; Ь\+ 5 } -р … -|-Ь* = 1. Дсказатц что
— 1 ^ oi&j -j- яа&а -J- -f* dffiл ^ L
XXI. Упражнения к главе XI части II
1. Доказать, что хт+* + хш+1 + 1 делится на * * 4 -*+ если т и л —
целые неотрицательные числа.

500 Решение трехчленных уравнений. Кабинет Математики.

Решение трехчленных уравнений