РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.
Определение ряда Фурье. Постановка основных задач.
Чтобы посмотреть книгу онлайн или скачать в хорошем качестве, откройте страницу КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Ниже просто представлен текст для быстрого ознакомления с материалом.
ГЛАВА VII
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
55Л. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ.
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Определение 1. Ряд вида
00
— + ]Г ап cos пх + bn sin пх (55.1)
2 п= 1
называется тригонометрическим рядом.
Его частичные суммы являются линейными комбинациями
функций, входящих в систему
cos х, s in a , cos 2х, s in 2а, cos « а , s i n « A . . . . (55.2)
Определение 2. Множество функций (55.2) называется тригонометрической
системой.
Л е м м а 1. Тригонометрическая система (55.2) обладает
следующими свойствами:
1) интеграл по отрезку [ — я, я] от произведения двух
различных функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство
называется ортогональностьюсистемы (55.2)), т. е.
Я
J cos пх cos тх dx = 0, пФт,
— я
я
| sin пх sin тх dx = 0, пфт, (55.3)
— я
Л
J cos пх sin тх dx = 0, т, п = 0, 1, 2,
— я
Я Я
2) J cos2n x d x= J sin2« а dx = n, п— 1, 2, … . (55.4)
— я —я
Д о к а з а т е л ь с т в о . При любых целых неотрицательных т,
п, таких, что тфп, имеем
я я
j sin пх sin тх dx = — j [cos (и — m) x — cos (« + m) a ] dx =
— Я — Я
_ s in (n — m) x n sin(/j + /w)x * ^
2 (n -m) 2(n+m) _ n
*’ Происхождение термина «ортогональность» будет разъяснено в
п 58.1.
стр. 6 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Аналогично доказываются и два других равенства (55.3).
Докажем теперь (55.4):
Л J л
J cos2n x d x = — j (1 + cos2nx)dx = л,
— л — л
Л j л
j sin2пх dx = — j (1 — cos2nx)dx = я. □
— л — Л
Т е о р е м а 1. Пусть
ос
/(* ) = —+ Yj a„cosnx + bnsinnx (55.5)
2 n= 1
и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится
равномерно на отрезке [ — л, я]. Тогда
ао = \ J f(x )d x ,
— Л
ап= -1 jЯ f ( x ) cos пх dx, b„=-1 JПс f( x ) sin nx dx, n— 1, 2, … .(55.6)
^ —n ^ —n
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку ряд, стоящий в правой части
равенства (55.5), сходится равномерно на отрезке [ — я, я], а
все его члены являются непрерывными на этом отрезке функциями,
то и его сумма j\x ) непрерывна на отрезке [ — я, я], а сам
ряд можно почленно интегрировать (см. п. 36.4) от —я до я:
Л Л / СО \
j f(x )d x= J ( у + £ ancosnx + bnsm n x \d x =
— л Л x п = 1 /
Л 00 л л
= — \ dx+ Y ап j cosnxdx+b„ j sin n xd x = na0.
2 я n — 1 — n —n
Отсюда следует первая из формул (55.6).
Если ряд (55.5) почленно помножить на cos пх и sinnx
(и= 1, 2, …), то полученные ряды будут также равномерно
сходиться на отрезке [ — я, я] (см. свойство 2° в п. 36.3)
Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство
ортогональности (55.3) тригонометрической системы и равенства
(55.4), будем иметь
Л л
J f( x ) cos пх dx = J ап cos2 пх dx = пап,
— я —л
Л л
J f\x ) sin пх dx = J bn sin2 nx dx = nbn.
стр. 7 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Из полученных соотношений непосредственно вытекают
формулы (55.6). □
Теперь заметим, что интегралы (55.6) имеют смысл не
только для функций, непрерывных на отрезке [ — л, л], а также,
например, и для функций, интегралы от которых абсолютно
сходятся на этом отрезке.
Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла
(как и просто сходящегося интеграла) было введено для
функций, определенных на некотором промежутке с концами а
и Ь, — сс ^ а < Ь ^ + оо, для которых существует такое конечное
множество точек х {, i= 0, 1, …, к,
а < х 0 <Xj < … < х к ^ Ь,
что функция / интегрируема по Риману на любом отрезке
[(;, ты, лежащем в заданном промежутке и не содержащем ни
одной из точек х 0, х к, …, х к. При этом если а= — оо, то
х0= —оо, а если 6 = + оо, то xt =+o o .
Всякое конечное множество точек х {. i= 0, 1, …, к, обладающее
указанными выше свойствами, будем называть правильным
разбиением промежутка интегрирования функции /.
Очевидно, что если к правильному разбиению рассматриваемого
промежутка добавить любое конечное множество точек,
являющихся внутренними или концевыми точками этого
промежутка, и расположить точки получившегося множества
в порядке возрастания, то получится снова правильное
разбиение.
Л0
Если все интегралы J f( x ) d x , \ f ( x ) d x , J f ( x ) d x , i= 1, 2, …
a xk xi-i b
…, к, сходятся, то можно определить интеграл J /(x ) dx. Он
a
определяется равенством
f / ( x )d x = f f ( x ) d x + Y_, j f { x ) d x+ J f ( x ) d x
a a i= 1 x k
и называется сходящимся интегралом.
b
Отметим, что значение интеграла \ f ( x ) d x не зависит от
а
выбора правильного разбиения промежутка интегрирования.
ь ь
Если сходится интеграл \ \ f ( x ) \d x , то интеграл y \ x ) d x
а а
также сходится и называется абсолютно сходящимся (см. п.
33.5), а функция / — абсолютно интегрируемой на рассматриваемом
промежутке.
Отметим, что если функция интегрируема по Риману на
некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интег
стр. 8 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
рируема по Риману на нем (см. п. 28.1) и, следовательно,
функция, интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно
интегрируема на нем.
Если интеграл от функции / абсолютно сходится на отрезке
[ — я, я], то для нее все интегралы (55.6) также сходятся, так как
они представляют собой интегралы от произведения абсолютно
интегрируемой функции f ( x ) на ограниченную (синус или
косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся (см. лемму 2 в
п. 33.5).
Определение 3. Пусть функция / абсолютно интегрируема на
отрезке [ — л, я]. Тригонометрический ряд (55.1), коэффициенты
которого задаются формулами (55.6), называется рядом Фурье*’
или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа
ап и Ьп — коэффициентами Фурье функции / .
В этом случае пишут
00.
/ ( х ) ~ —+ Yj H„cos«x+6„sin«x.
2 п= 1
Частичные суммы порядка п этого ряда будем обозначать через
S„ (х, /’) или, короче, S„ (х) и называть суммами Фурье порядка п
функции /.
Подчеркнем, что здесь знак ~ обозначает не асимптотическое
равенство, а просто соответствие: функции сопоставляется
ее ряд Фурье.
Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим
образом:
всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд
является рядом Фурье своей суммы.
У п р а ж н е н и я . 1. Пусть функция / абсолютно интегрируема на отрезке
[ — я, я] и пусть
00
f ( x ) ~ ‘j + ]Г а„ cos пх + b„ sin пх.
п= 1
Тогда если функция / — четная, то 6„ = 0, п = 1 , 2, …, если же / — нечетная
функция, то а„ = 0, л = 0, 1, 2, … .
00
2. Является ли тригонометрический ряд £ —— рядом Фурье?
П= 1
В этом параграфе будут изучаться периодические функции / ,
для каждой из которых существует число Т> 0 такое, что при
всех х, принадлежащих области определения функции / ,
значения х + Т и х — Т также принадлежат этой области и
выполняется равенство
_________________ / ( х + Г ) = / ( х ) .
*’ Ж. Фурье (1768— 1830) — французский физик и математик.
стр. 9 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Такие функции называются Г-периодическими.
Пусть / абсолютно интегрируема на отрезке [ — я, я] и,
следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если он
сходится на некотором множестве, то сходится к 2я-периоди-
ческой функции, так как все его члены 2я-периодичны. Поэтому
бывает удобно и саму функцию / «периодически продолжить» с
периодом 2я. Кавычки поставлены потому, что в действительности
функцию f можно продолжить периодически только в
случае, когда / ( — я )= /(я ).
Если это условие не выполнено, то продолжением функции /
назовем 2я-периодическую функцию / которую получим,
полагая для любой точки л ‘б [ —я, я), в которой определена
функция / (напомним, что, в силу абсолютной интегрируемости
функции / на отрезке [ — я, я], она определена во всех его
точках, кроме, быть может, конечного их множества);
f( x+ 2 n k )= f( x ) , k = 0, ± 1 , ± 2 , ….
Такое продолжение в случае, когда / ( — я )# /( я ) , приводит к
несовпадению значений функций / и f при х = п. Однако,
поскольку коэффициенты Фурье функции определяются с
помощью интегралов (^ .6 ), это не приведет к их изменению щ
следовательно, ряды Ф\рье данной функции / и продолженной /
совпадают.
Отметим, что при указанном периодическом продолжении
функция / может не быть непрерывной в точках 2яАг, А: = 0, ± 1 ,
± 2 , …, даже если функция / непрерывна при х = — я и х = п.
Продолженная функция / будет непрерывной в точках 2кк, если
/н еп р еры вн а в х = —п и х = п, причем / ( — я) = /(я ). Непрерывность
в других точках при периодическом продолжении
сохраняется: если / непрерывна в точке х е ( — я, я), то /
непрерывна в любой точке х+ 2 кп , к = 0, ± 1 , ± 2 , ….
Часто продолженную функцию / будем обозначать тем же
символом / , что и продолжаемую.
Если функция / 2я-периодична, то при вычислении ее
коэффициентов Фурье (см. (55.6)) интегрирование можно выполнять
по любому отрезку длины 2я, например по отрезку [0, 2я]:
2 л
а° ~ к
О
2 п
f ( x ) d x ,
1К
/'(х) cos пх dx, bn = ‘•
71 f{ x ) sin пх dx.
о о
Действительно, если какая-либо функция ф имеет период,
равный Т, и для некоторого числа а е R интегрируема на
стр. 10 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
отрезке [а, с/+Г] , то при любом выборе b e R она интегрируема
и на отрезке [р, 6 + Г], причем
fc+T я + Г
I ф (х ) dx = J y { x )d x ,
b а
а + Т
т. е. интеграл J ф [x)dx не зависит от выбора числа aeR.
а
В § 60 мы обобщим понятие тригонометрического ряда
Фурье, а именно: определим и изучим ряды Фурье по
произвольной ортогональной системе функций. В настоящем же
параграфе будем изучать лишь тригонометрические ряды Фурье
абсолютно интегрируемых функций (см. также п. 60.6).
Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях,
гарантирующих сходимость ряда Фурье. В случае же сходимости
ряда Фурье данной функции f ( x ) при определенных
условиях мы выясним, чему равна его сумма 5′(.х), в частности,
когда она совпадает с функцией f( x ) . Будет изучаться «скорость
» сходимости рядов Фурье и условия, от которых она
зависит. Будет показано, что и в том случае, когда ряд Фурье
непрерывной функции расходится в некоторых точках (примеры
таких рядов существуют), по нему можно восстановить
саму функцию во всех точках. Мы увидим, наконец,
что с определенной точки зрения сходимость рядов Фурье
естественно рассматривать не только в обычном смысле (как
сходимость последовательности частичных сумм в точке или
равномерную сходимость), но и совершенно по-другому, а
именно, в смысле среднего квадратичного (см. п. 55.7, 55.8
и 55.9).
стр. 11 КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ Том 3
Околоadmin
