Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы.

45 Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы. 

В 1962 году была доказана разрешимость групп нечетного порядка (доказательство заняло 255 с. журнального
текста). Кроме того, paqв-теорема Бернсайда утверждает, что всякая группа порядка paqe, где p и q — различные
простые числа, разрешима.
Пусть G — группа, п — натуральное число. Подгруппы Zn(G) (п-й центр группы G) и Ln(G) (п-й централ группы
G) определяются индуктивно следующим образом:
Zq(G) = e, Zi+i(G)/Zi(G) = Z(G/Zi(G));
Li(G) = G, Li+i(G) = [Li(G),G].
Очевидно, Zo(G) С Zi(G) С … и Li(G) D L2 (G) D . . . . Первый ряд называется верхним центральным, а второй —
нижним центральным. В нильпотентной группе нижний и верхний ряды обрываются, причем их длины равны
ступени нильпотентности группы. Подгруппа H(G) = |^J Zi(G) (другое обозначение Zto(G) или Zw(G)) называется
i=i
гиперцентром группы G. Подгруппа Lu = ^ Li(G) называется ш-м централом группы G.
i=i
Важными подгруппами группы G являются:
разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порожденная всеми разрешимыми нормальными подгруппами
из G;
подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порожденная всеми нильпотентными нормальными подгруппами
из G;
цоколь Soc G группы G — подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами из G.
Два субнормальных ряда группы называются изоморфными, если они имеют равные длины и между их факторами
существует взаимно однозначное соответствие, при котором соответственные факторы изоморфны.
Теорема Шрайера утверждает, что любые два субнормальных (нормальных) ряда группы имеют изоморфные
субнормальные (нормальные) уплотнения.
Подмножество K группы G называется скрученным, если e Е K и ab-ia Е K для любых a,b Е K. Группа называется
перекрученной, если в ней любое скрученное подмножество является подгруппой. Доказано, что конечная группа
перекручена тогда и только тогда, когда она представима в виде прямого произведения циклической 2 -группы и
перекрученной группы нечетного порядка.
Подгруппа H группы G называется квазинормальной, если AH = HA для любой подгруппы A группы G.
Через On(G) обозначается наибольшая нормальная х-подгруппа группы G; а через On(G) — наибольшая нормальная
подгруппа в G, факторгруппа по которой есть х-группа, т.е. подгруппа, порожденная всеми ^’-элементами из
G, где х’ — множество всех простых чисел, не входящих в х.

Задачи

7.1. 1) (Теорема Жордана-Гельдера). Если группа обладает композиционными рядами, то всякие два ее композиционных
(соответственно, главных) ряда изоморфны.
2) Если группа обладает композиционными рядами, то всякий ее субнормальный ряд содержится в некотором
композиционном ряду и имеет поэтому длину, не превосходящую длины композиционных рядов этой группы.
7.2. Группа разрешима тогда и только тогда, когда она имеет нормальный ряд с коммутативными факторами.
7.3. Пусть G — группа с субнормальным рядом e = Go С Gi С … С Gn С G. Тогда:
а) если H — подгруппа в G, то ряд e = Ho С Hi С … С Hn С H, где Hi = Gi П H, является субнормальным
рядом группы H, причем фактор Hi+i/Hi изоморфен подгруппе из Gi+i/Gi;
б) если ф — гомоморфизм группы G, то ряд e = ^(Go) С ^(Gi) С … С ^(Gn) С ^>(G) есть субнормальный ряд
группы ^(G), причем ^(Gi+i)/^(Gi) — гомоморфный образ группы Gi+i/Gi.
7.4. 1) Коммутант подгруппы содержится в коммутанте группы; выведите отсюда, что всякая подгруппа разрешимой
группы разрешима.
2) Если ф: A B — эпиморфизм, то ф(А’) = B’; выведите отсюда, что всякая факторгруппа разрешимой группы
разрешима.
3) Если G/A = B, где A,B — разрешимые группы, то G разрешима.
4) G есть разрешимая группа ступени п, если и только если G(n) = e, но G(n-i) = e (в этом случае ряд G D G(i) D
.. . D G(n) = e называется рядом коммутантов группы G).

46 Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы.

5) Группы порядка pq, где p, q — различные простые числа, разрешимы.
6 ) Группы порядков 12, 20, 42, 100 разрешимы.
7) Группы порядка pn разрешимы.
7.5. Группы порядка p2 q, где p и q — различные простые числа, а также все группы порядка < 60 разрешимы.
7.6. Пусть K — поле, группа верхних унитреугольных матриц, а также группа невырожденных верхних треугольных
матриц разрешимы.
7.7. Пусть K — поле, содержащее не менее четырех элементов. Докажите, что группы SL(2, K) и GL(2, K) не
являются разрешимыми.
7.8. Для группы G равносильны следующие условия:
а) G — нильпотентная группа класса п;
б) Z n ( G ) = G, но Zn-i(G) = G;
в) Ln+i(G) = e, но Ln(G) = e.
7.9. 1) Всякая нильпотентная группа разрешима.
2) В нильпотентной группе без кручения единица — единственный элемент, сопряженный со своим обратным.
3) Если коммутант некоммутативной группы лежит в ее центре, то группа нильпотентна.
4) Конечная p-группа, где p — простое число, нильпотентна.
5) Существуют пять неизоморфных групп порядка p3 , среди них три — коммутативные.
7.10. 1) Прямое произведение конечного числа разрешимых (нильпотентных) групп разрешимо (нильпотентно).
2) Подгруппа, порожденная квазинормальными подгруппами, квазинормальна. Подгруппа, сопряженная с квази-
нормальной подгруппой, квазинормальна.
3) Максимальная квазинормальная подгруппа A является нормальной.
4) Если H — квазинормальная подгруппа в конечной группе G, являющаяся p-группой, то Ор С Ng(H).
7.11. Если G — нильпотентная группа ступени s ^ 2, то любая ее подгруппа, порожденная коммутантом и одним
элементом, имеет ступень нильпотентности меньше s.
7.12. Любая подгруппа нильпотентной группы субнормальна. Более точно, если G — нильпотентная группа ступени
s, то для любой ее подгруппы H ряд последовательных нормализаторов достигает G не позже чем через s
шагов.
7.13. Пусть G — нильпотентная группа. Тогда:
а) ее подгруппы и факторгруппы нильпотентны;
б) если N — нормальная неединичная подгруппа в G, то \N П Z(G)| > 1;
в) если факторгруппа G/G’ циклическая, то сама группа G циклическая.
7.14. Пусть G — нильпотентная группа. Докажите, что если A — ее подгруппа с условием AG’ = G, то A = G. В
частности, G’ С Ф^).
7.15. В нильпотентной группе G максимальная коммутативная нормальная подгруппа A совпадает со своим централизатором.
В частности, A — максимальная коммутативная подгруппа и G/A изоморфно вкладывается в Aut A.
7.16. В нильпотентной группе G ее периодическая часть t(G) является подгруппой.
7.17. В любой нильпотентной группе без кручения G извлечение корней — однозначная операция, т.е. для любых
элементов a, b и любого п € N из an = bn следует a = b.
7.18. В любой нильпотентной группе без кручения условие xmyn = ynxm (т,п € N) влечет xy = yx.
7.19. Для группы G следующие условия равносильны:
а) G есть нильпотентная группа класса ^ 2;
б) G С Z(G);
в) [ab, с] = [a, с] • [b, с] для любых a,b,c € G;
г) [a, bc] = [a, b] • [a, с] для любых a,b,c € G;
д) [[a, b], с] = [a, [b, с]] для любых a,b,c € G

47 Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы.

е) [a, b, с] = [a, с, b] для любых a,b,c € G.
7.20. Для конечной группы G равносильны условия:
а) G нильпотентна;
б) все подгруппы из G субнормальны в G;
в) все силовские подгруппы из G нормальны в G;
г) N(H) D H для любой подгруппы H С G;
д) каждая максимальная подгруппа из G нормальна в G;
е) G С Ф^).
7.21. Конечная группа является нильпотентной тогда и только тогда, когда она представима в виде прямого
произведения p-групп.
7.22. Пусть G — конечная группа. Тогда:
а) подгруппа Фраттини группы G нильпотентна;
б) если A < G и P € Sylp(G), то G = A • Ng(P);
в) если A — ее квазинормальная подгруппа, то A < <G;
г) если A — ее субнормальная х-подгруппа, то A С Ox(G);
д) если A — ее субнормальная разрешимая подгруппа, то A содержится в некоторой разрешимой нормальной в
G подгруппе.
7.23. Пусть G — нильпотентная группа класса 2 и a, b € G. Тогда:
а) любые два сопряженных элемента группы G перестановочны;
б) CG(a) < G и G/CG(a) = [a, G];
в) [an, b] = [a, bn] = [a, b]n для любого п € N;
г) если экспонента exp (G/Z(G)) конечна, то она делится на exp (G’).
7.24. В нильпотентной группе класса ^ 3 коммутант коммутативен.
7.25. Подгруппы и факторгруппы сверхразрешимых групп сверхразрешимы.
7.26. Если G — конечная группа, то:
а) разрешимый радикал S(G) есть разрешимая нормальная подгруппа в G;
б) подгруппа Фиттинга F(G) есть нильпотентная нормальная подгруппа в G.
7.27. Если G — разрешимая группа со свойством Z(G) С G, то Z(G) С F(G).
7.28. Если A и B — конечные группы со свойством (\A\, \B\) =1, то H(A х B) = H(A) х H(B).
7.29. Если G = G’, то гиперцентр H(G) совпадает с центром Z(G) группы G.
7.30. Если K — нильпотентная подгруппа группы G, то KH(G) нильпотентна.
7.31. Если G — группа с конечным гиперцентром, N < G и N С H(G), то H(G/N) = H(G)/N.
7.32. Если G — конечная группа, то гиперцентр H(G) есть пересечение:
а) всех ее максимальных нильпотентных подгрупп;
б) нормализаторов всех ее силовских подгрупп.
7.33. Если группа порождается конечным множеством своих минимальных нормальных подгрупп, то она является
прямым произведением некоторых из этих подгрупп.
7.34. Если G — конечная группа, то любая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в Soc G, является
прямым произведением некоторого множества минимальных нормальных подгрупп группы G.
7.35. Следующие условия для конечной группы G равносильны:

48 Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы.

а) для любой нормальной подгруппы N группы G найдется такая подгруппа M в G, что G = N х M;
б) G = Soc G;
в) G является прямым произведением нескольких простых нормальных подгрупп.
Каждая подгруппа в нильпотентной группе субнормальна (см. 7.12). Существуют ненильпотентные группы, все

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

подгруппы которых субнормальны. Более слабым условием по сравнению с субнормальностью всех подгрупп является
нормализаторное условие: каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
7.36. Всякая группа G с нормализаторным условием локально нильпотентна.
Группа G называется полной, если для любого ее элемента g и любого натурального m в G существует решение
уравнения xm = g.
7.37. Периодическая часть t(G) полной нильпотентной группы G лежит в ее центре Z(G).
7.38. Для группы G равносильны следующие условия:
а) группа G разрешима;
б) группа G обладает субнормальным рядом с коммутативными факторами;
в) группа G удовлетворяет одному из тождеств
Sn(xi, … , x2 n) = e (п = 0 , 1 , 2, . . . ) , где
<5o(x) = x, <5n+i(xi, .. . , x2 » + i ) = [&n(xi, … , x2»), in(x2 »+i, . . . , x2 »+1 )].
Группа, обладающая субнормальным рядом с циклическими факторами, называется полициклической.
7.39. Подгруппы и факторгруппы полициклической группы — полициклические. Расширение полициклической
группы посредством полициклической группы — снова полициклическая группа. Произведение двух полицикли-
ческих нормальных подгрупп произвольной группы — полициклическая подгруппа.
7.40. 1) Класс групп с условием максимальности (см. 3.52) замкнут относительно взятия подгрупп, гомоморфных
образов и расширений.
2) Группа G тогда и только тогда разрешима и удовлетворяет условию максимальности, когда она полицикличес-
кая.
7.41. 1) Всякая конечная группа G является расширением разрешимой группы при помощи группы, не имеющей
неединичных разрешимых нормальных подгрупп.
2) Если E — множество инволюций группы, то K = E U {e} является ее скрученным подмножеством.
3) Пусть G = (a) х (b), где a2 = b2 = e. Тогда K = {e, a, b} — скрученное подмножество, не являющееся подгруппой.
4) Если K — скрученное подмножество группы G, то (x) С K для любого x € K.
5) Конечная 2-группа G является перекрученной тогда и только тогда, когда G циклична.
6 ) Все подгруппы и гомоморфные образы перекрученной группы также являются перекрученными группами.
7) Конечная p-группа G, где p — нечетное простое число, перекручена тогда и только тогда, когда решетка
подгрупп группы G — дедекиндова.
8 ) Среди групп порядка p3 (p = 2) только группа, имеющая строение: ((a) х (с)) X (b), где о (a) = o(b) = о(с) = p,
с = [a, b], bc = cb, не является перекрученной (ср. с 7.9 5)).

49 Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы.