К ПРОБЛЕМЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ
УЧАЩИХСЯ О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ
ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Р. А. Хабиб
Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):
Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова
(стр. 227-246)
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
К ПРОБЛЕМЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ.
Возможны различные подходы к пониманию термина «логическое
строение курса математики». Один из них узкодедуктивный,
ограничивающийся рамками формальной логики и явно или неявно
принятыми требованиями аксиоматического построения систематического
курса математики в школе. При таком толковании формирование
знаний о логическом строении курса обедняется и фактически
сводится лишь к известным четырем пунктам структуры
школьного курса геометрии восьмилетней школы, объясняющим
формально-логические взаимосвязи основных и всех других понятий,
аксиом и теорем.
Но нельзя здесь не принимать во внимание установку на активизацию
самостоятельной учебной работы учащихся в пополнении
знаний, определенную в решениях XXV съезда КПСС и недавних
директивных документах о школе. К тому же самостоятельное
пополнение учащимися всех основополагающих знаний о структуре
и методах самой математики нельзя представить без активного применения
этих знаний в учебно-познавательной работе по изучению
школьного курса.
Следовательно, при таком подходе указанные четыре пункта
формально-логической взаимосвязи понятий, аксиом, теорем должны
стать для учащихся сознательным ориентиром в организации
собственной творческой учебно-познавательной работы по изучению
школьного курса математики. Мало того, активизация самостоятельной
работы учащихся требует дальнейшего расширения подхода
к пониманию термина «логическое строение школьного курса математики
». Дело в том, что сами творческие исследования ученых-
математиков представляют собой сочетание формально-логических
требований в дедуктивном построении здания математической
науки с использованием индукции, опыта, эксперимента, правдоподобных
заключений, догадок, гипотез (т. е. всего того, что характерно
для познавательной деятельности естественнонаучного ха-
1 Условимся для краткости обозна*щь термином «знания» словосочетание
«знания, умения, навыки».
279 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
рактера). Для «учащихся ознакомление со структурой и компонентами
общепознавательной деятельности тем более оправдано, так
как оно диктуется интересами доступности в изучении курса математики,
связывания его с практическими потребностями и приложениями,
увеличения возможностей активного и самостоятельного
его изучения учащимися.
Рассмотренный расширенный подход к пониманию термина
«логическое строение школьного курса математики», таким образом,
значительно усиливает воспитывающие и развивающие функции
формирования этих знаний ■ у учащихся. Рассматриваемый
термин обогащается за счет знаний о логическом строении познавательной
деятельности по математике, которая строится как исследовательская.
Особенность нашего подхода к рассматриваемой
проблеме заключается в стремлении разумно расширить состав
знаний учащихся о логическом строении математики, с тем чтобы
такое расширение соответствовало максимальной реализации воспитывающей
и развивающей функции формирования этих знаний1.
Покажем, что сформулированный выше подход необходим при
решении задачи развития математического мышления учащихся,
составной частью которой является задача формирования знаний
учащихся о логическом строении математической теории (и математической
деятельности по изучению этой теории).
Мышление является опосредствованным и обобщенным познанием
человеком предметов и явлений объективной действительности
в их существенных свойствах, связях и отношениях. Известно,
что мышление зарождается в чувственном познании (ощущения,
восприятия, представления), а затем выходит за его пределы. С помощью
мышления человек может познавать то, что органами чувств
непосредственно не воспринимается. В. И. Ленин писал по этому
поводу, что представление не может схватить движения в целом
(например, оно не схватывает движения с быстротой 300 ООО км/с),
а мышление схватывает и должно схватить.
Раскрытие непосредственно не данных свойств, связей, отношений
наблюдаемых предметов и явлений объективной действительности
— область абстрактного мышления. Оно осуществляется
посредством речи, при помощи которой люди выделяют и абстрагируют
существенные признаки объектов, обобщают их и на основе
имеющихся знаний делают новые умозаключения. Полученные
выводы проверяются в процессе общественной практики.
Совершается процесс мышления посредством так называемых
мыслительных действий, представляющих собой познавательные
акты, выходящие за пределы чувственного познания. Эти познавательные
акты, учат психологи, совершаются посредством операций,
результаты которых складываются в форме суждений, умозаключений
о новых свойствах, связях, отношениях наблюдаемых объектов.
1 В разработке этой проблемы, ее опытной проверке и составлении материалов,
использованных в настоящей статье, принимал участие Р. К. Турсу-
нов (г. Термез).
280 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
Исходными мыслительными операциями, на основе которых
осуществляются Другие операции, являются анализ (разложение,
расчленение) и синтез (соединение). Анализ и синтез имеют место
и в чувственном познании. В процессе мышления они приобретают
новое содержание и новые особенности, выступая как две стороны
единого процесса познания истины. Всякий вопрос, всякое решение
задачи требует анализа и синтеза в их различных связях.
Единство операций анализа и синтеза проявляется в таких мыслительных
операциях, как сравнение (установление сходства и различия
объектов) и систематизация (организация объектов в определенную
систему на основе выбранного принципа). В процессе
мышления анализ и синтез переходят в производные от них мыслительные
операции — абстрагирование и обобщение.
Операции возникают из мыслительных действий. Так, с помощью
таких мыслительных действий, как мысленное отвлечение одних
(существенных) свойств объектов (к примеру, формы или величины)
от других (несущественных) их свойств, равно как и от самих
объектов, осуществляется операция абстрагирования. В свою
очередь абстрагирование подготовляет обобщение, т. е. мысленное
объединение объектов по их общим и Существенным признакам,
раскрытие общих и особенных (частных) свойств, связей и отношений
изучаемых объектов. Восходя от конкретного к абстрактному,
от особенного к общему, мышление в процессе применения анализа
и синтеза и других мыслительных операций вновь возвращается
к конкретному, но уже обогащенному знанием общего, знанию
многосторонних связей и отношений объектов.
Получаемые в мыслительных действиях познавательные результаты
находят свое выражение в форме суждений. Суждения —
это предложения, в которых утверждаются (или отрицаются) какие-
либо связи или отношения между изучаемыми объектами.
Даже в таких простых предложениях, как «Иван есть человек»,
отмечал Ленин, можно вскрыть зачатки всех элементов диалектики
(единство и различие отдельного и общего, случайного и необходимого,
взаимную связь и переходы этих противоположностей),
показав тем самым, что диалектика свойственна всему познанию
человека.
Суждение может быть истинным или ложным, т. е. соответствующим
или не соответствующим действительности. Если исследуется
истинность суждения, то мышление приобретает форму
рассуждения, направленного на его подтверждение, доказательство
или же опровержение. В рассуждениях на основе имеющихся суждений
переходят к новым, т. е. осуществляют умозаключения.
Различают два основных вида умозаключений: от частных
случаев к общему выводу (индукция) и от общих положений к частным
случаям (дедукция). Многие познавательные задачи требуют
применения как индукции, так и дедукции (например, часто ложность
дедуктивного вывода устанавливается индукцией; именно
таков метод «контрпримера» в математике). Умозаключения дела
281 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
ются по аналогии, т. е. установлением сходства одних частных
случаев с другими. В процессе мышления возникают догадки,
гипотезы, т. е. так называемые правдоподобные суждения, в которых
выражаются предполагаемые ответы на изучаемые вопросы,
проблемы, решаемые человеком.
В результате мышления складываются понятия, по известному
выражению В. И. Ленина, «высший продукт мозга, высшего продукта
материи». Понятие складывается из суждений, представляя
собой синтез суждений о существенных свойствах определенного
объекта. Каждое понятие — итог познания, который включается
в новую мыслительную деятельность.
Взаимосвязь понятий и суждений снова показывает диалектич-
ность мышления. Понятия образуются из суждений. С другой стороны,
в каждом суждении мы оперируем уже сложившимися понятиями
и приходим к новым выводам, уточняющим и обобщающим
понятия.
Осуществленный нами краткий обзор современных научных
представлений о мышлении позволяет обосновать целесообразность
(пока только с позиций усиления развивающей функции обучения!)
двоякого подхода к термину «логическое строение математики»,
когда математика рассматривается, с одной стороны, как «готовая»
математическая теория и, с другой стороны, как познавательная
деятельность, в результате которой эта математическая теория создается.
Становится ясным, что логическое строение курса математики
описывается структурой «понятия — суждения — умозаключения
». Но из предыдущего анализа ясно также, что сюда необходимо
включить и знания о логике построения познавательной
деятельности по математике, имеющей естественнонаучный характер.
Развивающие и воспитывающие функции обучения тесно друг
с другом связаны: они во многом пересекаются и во многом дополняют
друг друга. Так, усиление функции развития мышления
школьников, функции развития их познавательных способностей,
которые мы только что рассмотрели, означает в то же время усиление
умственного воспитания школьников, формирования их
диалектико-материалистического мировоззрения, усиление политехнической
и прикладной направленности в изучении математики.
В то же время эти направления, характеризующие в целом усиление
воспитывающей функции формирования знаний учащихся о
логическом строении математики, помогают дополнить и обогатить
содержание работы по развитию их мышления и познавательных
способностей.
Представление о педагогической роли формирования знаний
о логическом строении математики будет неполным, если не подчеркнуть
связанное с этим формированием усиление его обучающей
функции. Более высокий логический, познавательный, математический
уровень учебной работы школьников не может не углубить.
усвоение ими школьного курса математики, не может не
282 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
повысить сознательность и прочность этого усвоения. В то же время
психологические возможности развития мышления учащихся не
ограничивают соответствующую работу с VI—VIII и даже с IV—V
классами. Разумеется, чем младше учащиеся, чем меньше их опыт,
приобретенный в результате показа учителем всех логических компонентов
изучения курса, тем больше учителю приходится брать
«на себя»: и при постановке логических и познавательных вопросов,
и при обсуждении ответов на них. Однако, как показывает передовой
педагогический опыт, в последующем доля и объем активного
участия учащихся в этой учебно-познавательной работе непрерывно
возрастает.
При этом независимо от класса обучения (если не считать различия
в соотношении объяснений учителя и учебной работьГуча-
щихся) учебно-познавательная деятельность учащихся по изучению
математики проходит в основном одни и те же этапы естественнонаучного
исследования:
1. Осознание проблемы или мотива исследования (осознание
необходимости или пользы решения нового познавательного вопроса,
возникшего на базе имеющихся знаний, имеющихся умений
решать определенные математические задачи, в том числе и прикладного
характера).
2. Наблюдение ряда частных случаев, проведение опыта, эксперимента
(применение операции сравнения и умозаключения по
аналогии, основанной на сходстве рассмотренных частных случаев).
3. Высказывание догадок, выработка гипотезы (применение
операции абстрагирования существенных свойств и связей от несущественных,
а также операции обобщения существенных свойств
и связей).
4. Осознание необходимости дедуктивного доказательства.
Предварительная проверка степени правдоподобности заключения,
взятого в качестве гипотезы (попытка найти опровергающий частный
случай, «контрпример»).
5. Дедуктивное обоснование гипотезы, ее доказательство или
опровержение. В последнем случае исследование повторяется
вновь, начиная со второго или третьего этапа.
6. Поиски практических или познавательных приложений полученного
математического результата (свойства, формулы, теоремы
и др.). К числу познавательных приложений относится изучение
возможностей использования полученной теории к решению
новых типов математических задач и упражнений, к нахождению
новых способов решения известных математических задач и упражнений,
возможности дальнейшего развития этой теории.
В зависимости от особенностей математического содержания
изучаемой темы (раздела) некоторые этапы исследования могут
опускаться учителем или совмещаться с соседними. Например, первый
этап при изучении достаточно мелких вопросов снимается, при
этом зачастую его роль играет последний, шестой этап учебнопознавательного
исследования предыдущей хемы (раздела) курса.
283 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
Иногда первый этап целесообразно совместить со вторым: проблема
исследования осознается учащимися в форме противоречия между
правдоподобным суждением и пониманием того, что необходимо
его дедуктивное доказательство.
Возможности эффективной организации учебной работы школьников
по изучению курса математики восьмилетней школы, которое
строится как естественнонаучное исследование, детально рассмотрены
автором настоящей статьи в его книге «Организация учеб-
но-познавательной деятельности учащихся (на материале математики).
Аспект сочетания и взаимодействия коллективной и индивидуальной
работы» (М., Педагогика, 1979).
Возвращаясь к составу знаний учащихся о логическом строении
курса математики, которые представляется желательным сформировать
(с точки зрения осуществленного выше педагогического
анализа), можно определить его следующими логическими и познавательными
компонентами:
1. Знания об основных мыслительных операциях (анализ, синтез,
сравнение, систематизация, абстрагирование, обобщение и др.).
2. Знания о видах понятий, суждений, умозаключений и их
взаимной связи.
3. Знания о логическом строении математики при изложении
«готовых», т. е. открытых и изученных ранее, разделов математической
теории (выбор основных понятий и аксиом, определение
всех других понятий и доказательство теорем).
4. Знания основных положений, характеризующих становление
диалектико-материалистического мировоззрения учащихся, включая
сюда диалектический метод мышления (диалектической логики).
5. Знания отдельных этапов и всей структуры познавательной
деятельности по изучению математики исследовательского содержания
и естественнонаучного характера.
Следует сразу же оговориться, что рассматриваемый состав
знаний учащихся определяется не только этими компонентами,
но и их взаимным сочетанием. Так, 2-й и 3-й компоненты, рассматриваемые
по отдельности, могут быть истолкованы как чисто формально-
логические. Их сочетание с 4-м и 5-м компонентами определяет
введение наряду с элементами формальной логики элементов
диалектической логики, в частности, определяет целесообразность
проведения умозаключений в виде сочетания индукции с дедукцией.
Изучая состав знаний учащихся о логическом строении курса
математики, можно заметить, какое особое место занимают здесь
4-й и 5-й компоненты. С учетом этих компонентов сильно меняется
содержание каждого из трех первых компонентов. Так, знания о
мыслительных операциях анализа, синтеза, сравнения и др. значительно
обогащаются, если рассматривать их на различных этапах
познавательной деятельности исследовательского содержания и
естественнонаучного характера. Многократно увеличивается объем
упражнений, естественно возникающих в ходе учебной работы, на
применение этих операций, которые учитель может предложить
284 ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ.
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика. Математика в школе.
Околоadmin
