ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ

ԵՐԲ ՕԳՆՈՒՄ է ՇՐՋԱՆԱԳԻԾԸ, ԿԱՄ ՕԺԱՆԴԱԿ
ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ՄԵԹՈԴ

Մաթեմատիկան Դպրոցում

Рефераты. Редкие книги.

Տեքստ արագ ծանոթացման համար:

Գծագրերը և բանաձևերը դիտեք բնօրինակում օնլայն (էջի վերջում):

Երկրաչափական խնդիրների լուծման այն եղանակը, երբ դիմում են շրջանագծի
օգնությանը, հաճախ անվանում են օժան դակ շ ր ջանագ ծ ի մեթոդ, ընդ որում այդ
շրջանագիծը տրված խնդրում կարող է նույնիսկ բացահայտ կերպով, առկա չլինել: Կարևորն
այն է, որ այստեղ կարողանալ տեսնել այդպիսի շրջանագիծ (օժանդակ շրջանագիծ),
փորձելով այն ներգրավել խնդրի լուծման մեջ: Օժանդակ շրջանագծի մեթոդի կիրառումը
զգալիորեն հեշտացնում է շատ խնդիրների լուծումներ: Ավելին, այն հնարավորություն է
տալիս լուծումը տանել երկրաչափորեն: Օժանդակ շրջանագծին դիմելիս, շատ դեպքերում,
որպես կանոն, հենվում են չորս կետերի միևնույն շրջանագծին պատկանելու հետևյալ
թեորեմի վրա:

Թեորեմ: Հարթության А, В, ՇՆ. D կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին,
եթե տեղի ունի հետևյալ ա) և բ) պայմաններից մեկնումեկը
ա)C\xD կետերն ընկած են/ՀԹուղղի միևնույն կողմում, ընդորում ZA C B = ZA D B .
բ) С և D կ ետե ր ն ը ն կած են АВ ուղղի տար բ ե ր կ ո ղ մ ե ր ում , ընդ որում
ZA C B + ZADB = 1 8 0 ° :
Մաս նավ ո րապե ս . Եթե ZACB — ZADB = 90° , ապա հարթության А, В, С և D
կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին:
Դիտողություն: Երբ տեղի ունի ա) պայմանը, ասում են, որ С և D կետերից АВ
հատվածը երևում է միևնույն անկյան տակ:
Ապացուցում: ա) А, В և С կետերով տանենք շրջանագիծ: Եթե D -ն գտնվի այդ
շրջանի ներսում, ապա АСВ անկունը փոքր կլինի ADB անկյունից, իսկ եթե D-Կ գտնվի
շրջանից դուրս, ապա ADB անկյունը փոքր կլինի АСВ անկյունից, ուստի D-ն պետք է
գտնվի շրջանագծի վրա: բ) А, В և £?կետերով տանենք շրջանագիծ: Այդ շրջանագծի Շ-Կ
41
չպարունւսկող АВ աղե ղի վրա (տես. նկ.1) վ ե ր ց ն ե ն ք К կետ, այդ դ եպքում
ААСВ+ А А К В — 1 8 0 ° , հետևաբար AACB — A A K B .9-անի որ D և К կետերը ընկած
են АВ -ի միևնույն կողմում, ուրեմն եկանք ա) դեպքին, այսինքն
Д K, D, և В կետերը կպատկանեն միևնույն, այն է՜ Д В և С
կետերով անցնող շրջանագծին:

Մեթոդը լուսաբանենք ստորև բերվող, մի քանի խնդիրների
վրա, որոնց մի մասն օգտագործվել է ֆիզմաթ դպրոցի 8-րդ
դասարանցիների հետ, հեղինակի վարած արտադասարանական
պարապմունքներում: ^
Խն դ ի ր 1: Ապացուցել, որ միևնույն а հիմք և այդ հիմքին
տարած միևնույն հ բարձրությամբ եռանկյուններից հիմքի
դիմացի ամենամեծ անկյուն ունի հավասարասրուն եռանկյունը:
Ապացուցում: Դիցուք ABC ֊ն a հիմքով, հիմքին տարած
հ բարձրությամբ հավասարասրուն եռանկյուն է: Արտագծենք
նրան շրջանագիծ (տես. նկ.2): Ենթադրենք, թե B ՛ ֊ը В ֊ի ց տարբեր , В — ի հետ AC- ի
միևնույն կողմում ընկած այնպիսի կետ է, որ AB’C եռանկյան В ‘ գագաթից տարված
բարձրությունը նույնպես հ է: Պարզ է, որ _£Ш’|Д С , в ք՜
ինչպես նաև В В ‘ ֊ը В կետում շոշափում է
շրջանագիծը: Քանի որ В՛ կետը շրջանից դուրս է
ընկած, ուստի AB’C անկյունը փոքր է ABC
անկյունից:
Խ ն դ ի ր 2 : Ուղիղը հատում է ABCD
քառակուսու BC \xAD կողմերը M և N կետերում
այնպես, որ MCN եռանկյան պարագիծը հավասար Նկ.2.
էքառակուսու կողմի կրկնապատիկին: Գտնել MAN
անկյունը:
Լուծում: Տանենք A կենտրոնով և ,4£?շառավիղով շրջանագիծ, որը շոշափում է BC
և CD ուղիղները համապատասխանաբար, В և D կետերում (տես. նկ.Յ): Դժվար չէ
տեսնել, որ MV -ը այդ շրջագծի’քառակուսու մեջ ընկած աղեղի շոշափող է: Իսկապես, այդ
աղեղի В և D կետերից տար բ ե ր , ցան կացած կետում
տար ված շոշափողը (և միայն դա) քառակուսու BCD В
անկյունից անջատում է միևնույն 2 ВС պարագծով
եռանկյուն: Դիցուք շրջանագիծը շոշափում է M V -ին К
կետում , այդ դ եպք ո ւմ А В А М -А К А М , իսկ
Հ DAN — Հ K A N , ո րտե ղ ի ց էլ հ ետևում է, որ
A MAN = 4 5 ° :
Խն դ ի ր 3: ABC եռանկյան մեջ AA BC = 6 0 ° , АВ և .
ВС կողմերի վրա, համապատասխանաբար, վերցված են
М և N կետերն այնպես, որ AM = MN = NC : Ապացուցել, որ AN և CM հատվածների

հատման О կետը ABC եռանկյանս արտագ ծած
շրջանագծի կենտրոնն է:
Ապացուցում: Դիցուք ZMAN = Z M N A ֊a ,
ZNMC — ZNCM — (3 (տես նկ. 4): Ըստ եռանկյան
արտաքին անկյան հատկության’ ZBNM = 2a,
ZBNM = 2(3 , իսկ ձ M BN ֊ի ց 2 a + 2(3 = 120° =>
= > a + (3 = 6 0 ° , ո րտե ղ ի ց էլ բխում է, որ
Հ MON = 120° : Ստացան ք , որ ZMON+
+ Հ MBN = 1 8 0 ° , ուստի М, В, N և О կետերը,
պատկանում են միևնույն շրջանագծին, որտեղից էլ’
ZMBO = ZMNO = a , Հ NMO = ZOBN = (3 ,
այսինքն АО = OB = ОС •
Խ ն դ ի ր 4 : ABC ե ռան կ յան ն ե ր գ ծա ծ
շրջանագիծը շոշափում է եռանկյան AB և AC
կողմերը M և N կետերում: Դիցուք P կետը
MN ուղղի В անկյան կիսորդի (կամ նրա
շար ո ւ նակ ո ւթ յան ) հատման կ ետն է:
с Ապացուցել, որ Z B PC = 9 0 ° :
Ապաց ո ւ ց ո ւ մ : Դիտարկենք այն դեպքը,
Նկ.5. երբ p գիծը ABC եռանկյունուց դուրս է (նկ. 5):
Դիցուք Z A = a , Z B = fi, Z C — у : Այդ
դ եպք ո ւմ ZOCN = у / 2 , ZMPB = 180° — (90° + a / 2 + |3/շ)= 9 0 ° — ( a + 13)/2 — у / 2 :
Ստացանք, որ <Չ/\/ուղղի միևնույն կողմում ընկած Р և С կետերից ON հատվածը երևում
է միևնույն’ у / 2 անկյան տակ, ուստի 0,C,P և N կետերը պատկանում են միևնույն
շրջանագծին: Քանի որ ZONC = 90 , ուստի նաև ZOPC = 9 0 ° : Այն դեպքի դիտարկումը,
երբ p-Q ABC եռանկյան կետ է, թողնում ենք ընթերցողին:
Խն դ ի ր 5: ABCD շեղանկյան AD և DC՜ կողմերի վրա կառուցված են AKD և DMC
կանոնավոր եռանկյուններ այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկ.6-ում: Ապացուցել, որ К, В և
М կետերը ընկած են միևնույն ուղղի վրա:
Ապաց ո ւ ց ո ւ մ : Պատկերացնենք տարված են А և С կենտրոններով, АВ -ին
հավասար շառավիղով շրջանագծեր: Այդշրջանագծերից մեկը կանցնի K,BL ^կետերով,
իսկ մյուսը՛ B, D և M կ ետե ր ո վ : Ն կա տե ն ք , որ ZMBD = — ZDCM = 3 0 ° , իսկ
ZK BD = 3 6 0 ° ֊6 0 °
: 1 5 0 ° , ուստի KBD և MBD անկյունները կից են, իսկ այդնշանակում

է, որ К, В և М կետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա:
= /О В 2М = 9 0 ° , ուստի 0 ,C 2,B 2 և М կ ետե ր ը
պատկանում են միևնույն շրջանագծին, որին պատկանում
է նաև ճ յ կետը, ո րտե ղ ի ց որ
ճ В 2 Л, Сշ = / B 2 OC2 = Հ ВАС Հ- B 2C2AX —
D
Նկ.9.
էլ բխո ւմ է,
իսկ
= / B 2OAx = /B C A : Ըստ եռանկյունների նմանության
հայտանիշի A AXB 2C2 ~ Հ A B C :
Խ ն դ ի ր 7 : Նկ. 8-ում պ ատ կ ե ր ված են երե ք
քառակուսիներ: Գտնել ճ ABC + ճ DBC գումարը:
Լուծում: Գրականության մեջ հայտնի են այս խնդրի
մի քանի լուծումներ: Լուծենք այն օժանդակ շրջանագծի
օգնությամբ:
Վե ր ց ն ե ն ք այդ քառա կ ո ւ ս ի ն ե ր ո վ ո ր ոշ վո ղ
քառակուսային ցանցի այն մասը, որը պատկերված է նկ. 9-
ում: Հեշտ է նկատել, որ ճ FDE — ճ FBE = 9 0 ° , ուստի F
D, E և В կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին,
դրա համար էլ ADBC = E D F E : AEB և EBF
եռանկյունների նմանությունից (նմանության 1/2 գործակցով)
բխում է, որ / ֊A B C = /E F B : Այսպիսով /АВС+ /D B C =
= ճ EFB+ Հ DFE = 45 :
Օժանդակ շրջանագծի մեթոդը արտադասարանական
աշխատան քի ոչ մեկ պարապմունքի թեմա է: Այստեղ
կարևորը խնդիրների ճիշտ ընտրությունն է, և սովորողների
կողմից նրանց ինքնուրույն հաղթահարելը:
Ինքնուրույն լուծելու համար առաջարկում ենք այդ
մեթոդով լուծվող մի քանի խնդիրներ:
Խն դ ի ր 8: ABCD քառակուսու AD և DC կողմերի
վրա, համապատասխանաբար, վերցված են E և F
կետերն այնպես, որ A E : ED : D F : FC = 1 : 2 , BE ուղիղը

հատվում է AC անկյունագծի G կետում: Ապացուցել, որ BG = GF : (Ցուցում: Նախ ,
ապացուցել, որ ճ BEF ֊ 4 5 ° ) :
Խն դ ի ր 9: ABCD ուղղանկյան մեջ /Չւսնկյունւսգծին տարված է ^ ո ւ ղ ղա հա յա ց ը :
M և N կետերը, համապատասխանաբար, AK և ( Չ հա տ վա ծ ն ե ր ի միջնակետերն են:
Ապացուցել, որ BMN անկյունն ուղիղ է: (Ցուցում: N կետից տանել Д Д — ին ուղղահայաց):
Խն դ ի ր 10: ABCD շեղանկյան A սուր անկյունը հավասար է 40°: A գագաթ ո վ ն
CD-\\ M միջնակետով տարված է ուղիղ, որի վրա Д գագաթից իջեցված է ВН ուղղահայացը:
Գտնել AHD անկյունը: (Ցուցում: АВОН և HOMD քառանկյունները, որտեղ Օ-ն շեղանկյան
անկյունագծերի հատման կետն է, ներգծյալ են):
Խն դ ի ր 11: Տրված է ABC եռանկյունը: AB և BC ուղիղների նկատմամբ AC ուղղի
համաչափ ուղիղները հատվում են К կետում: Ապացուցել, որ ВК ուղիղն անցնում է ABC
եռանկյան արտագծյալշրջանագծի կենտրոնով: (Ցուցում: ZABO = ZCBFI , որտեղ Օ-ն
ABC եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է, իսկ H -ը В — ից AC ուղղի վրա
իջեցրած ուղղահայացի հիմքը):
Խն դ ի ր 12: ABCD շեղանկյան մեջ գտնել այն M կետերի երկրաչափական տեղը,
որոնց համար AAMB+ ACMD = 1 8 0 ° : (Նկատել, որ շեղանկյան անկյունգծերին
պատկանող կետերը այդ երկրաչափական տեղից են, այնուհետև ցույց տալ, որ դրանցից
բացի այլ կետեր չկան):
Ծանոթություն: 2-րդ, 11-րդ և 12-րդ խնդիրներն առաջին անգամ առաջարկվել են
«Քաղաքների մրցաշար» մրցույթներում ( տես[1]): 7-րդ խնդրի բերված լուծումը, ինչպես
նաև 8-րդ խնդիրը, հնարավոր է, որ տպագրվում են առաջին անգամ, մյուս խնդիրները,
բացի Խինից, ևՅ-րդից, ընտրված են [2] ֊ի ց :

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

[1]. Д в е н а д ц а т ь т у р н и р о в г о р о д о в 1 9 8 0 — 1 9 9 1 годы, п о д р е д а к ц и е й Н.И.
Конст антинова,М. 1991г.
[2]. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. “Сборник з а д а ч по геоме трии. 5 0 0 0 з а д а ч с
о т в е т ами”. М., ACT,. 2001г.

Գ. Ա. Ներսիսյան
ԵՊՀ -ին կից, Ա. Շահինյան անվան ֆիզմաթ դպրոց

41-45

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
СЛОВАРЬ русско-английский.

Околоadmin