СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Понятие о системе двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными

ГЛАВА VIII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Формулы школьного курса математики

За д а ч а . В 7 а и 76 классах школы 75 учеников. Сколько учеников
в каждом классе, если в 7а на 5 учеников больше, чем в 76?
Решени е , Обозначим буквой х число учеников в 76 классе.
Тогда в 7а классе ‘(л;-{-5) учеников. В 7а и 76 классах вместе
[х -J- (х -f- 5) ] учеников. По условию, в 7а и 76 классах 75 учеников,
Значит,

Уравнение составлено. Решая его, имеем
2л;- f-5 = 75; л; = 35.
Выходит, что в 76 классе 35 учеников, а в 7а классе 40 учеников.
Ответ. 35 и 40 учеников.
В приведенной задаче требовалось найти две величины; число
учеников в 7а классе и число учеников в 76 классе. Для решения
задачи мы ввели только одну букву х , через нее выразили обе неизвестные
величины и составили уравнение.
Так мы поступали и раньше. Так и надо стараться поступать всегда.
Встречаются, однако, такие задачи, где трудно бывает составить
s уравнение, если ввести только одну букву для обозначения неизвестной
величины, и гораздо легче это сделать при помощи введения
двух букв для обозначения двух неизвестных величин.
Вот, например, задача.
За дач а . За 2 м сукна и 3 ^ ткани заплачено 165 руб. В другой
раз за 5 м того же сукна и 2 м той же ткани заплачено 330 руб.
Сколько стоит 1 м сукна и сколько стоит 1 м ткани?
Решение. Решим эту задачу посредством введения только одной
буквы для обозначения неизвестной величины. Обозначим буквой х
стоимость 1 м сукна (в рублях), Тогда 2 м сукна стоят 2л; руб.,
1@5 2х
3 м ткани стоят (165 — 2х) руб., 1 м ткани стоит— ^—— руб.

169 Алгебра СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, Формулы школьного курса математики

Мы использовали первую часть условия задачи. Используем теперь
вторую часть условия. 5 м сукна стоят 5* руб., 2 м ткани стоят
330 — 5* руб., 1 м ткани стоит ~ ^ х руб.
Мы получили два различных выражения для стсимости 1 м ткани.
Приравняв их, имеем
165 — 2лг 330 — 5л: ^
1 7 0 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VIII
3 2
Уравнение составлено. Решая его, имеем
330 — 4* = 990 — 15*; * = 60.
Значит, метр сукна стоит 60 руб. Для определения стоимости метра
ткани подставим 60 вместо * в выражение —5 у — . Получим
165—5—1-2-0- -= 15.
Значит, метр ткани стоит 15 руб.
Проверка. 2 м сукна стоят 120 руб., 3 м ткани стоят 45 руб.
За 2 сукна и 3 м ткани надо заплатить 165 руб. Далее, 5 м
сукна стоят 300 руб., 2 м ткани стоят 30 руб. За 5 м сукна и 2 м
ткани надо заплатить 330 py6.j Проверка показала, что задача
решена правильно.
Ответ. 60 руб. и 15 руб.
Посмотрим теперь, как решается последняя задача, если ввести
две буквы для обозначения неизвестных.
Обозначим буквой * стоимость 1 м сукна (в рублях), а буквой
у стоимость 1 м ткани (в рублях). Тогда
2 * — f3 j/ = 165, (а)
5 * — f2 j/ = 330. (б)
Мы составили два уравнения. Уравнение (а) составлено по первой
части условия задачи, уравнение (б) составлено по второй части
условия.
Для того чтобы решить задачу, надо найти такие значения * и
у, которые удовлетворяли бы одновременно и уравнению (а) и уравнению
(б).
В таких случаях говорят, что уравнения (а) и (б) надо решить
совместно, или говорят, что надо решить систему уравнений (а)
и (б). Для того чтобы показать, что уравнения надо решать совм

170 Алгебра СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, Формулы школьного курса математики

Такая система называетсясистемой двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными. Что же оказалось легче составить: одно
уравнение с одним неизвестным или систему двух уравнений с двумя
неизвестными? Бесспорно, систему (2) легче составить, чем уравнение
(1).
Мы пока не умеем решать системы. Однако мы можем проверить
решение, которое мы нашли другим приемом.
Сделаем это, чтобы знать, как проверяется решение системы уравнений.
Подставим в систему (2) число 60 вместо л; и 15 вместо у ,
получим два тождества:
2-60 + 3. 1 5= 1 6 5 ,
6 .60 + 2. 15 = 330.
Эти тождества и показывают, что л; = 60, у — 15 — решение системы
(2) или, как говорят, значения х = 60, у = 15 удовлетворяют
системе (2).
Оп р е д е л ен и я . Два или несколько уравнений образуют систему
уравнений, если одноименные неизвестные в них обозначают
одну и ту же величину. Решить систему уравнений— это значит
найти такие значения неизвестных, при которых каждое из уравнений
системы превращается в тождество. Решением системы двух уравнений
с двумя неизвестными называется пара таких чисел; которые,
будучи подставлены в систему вместо неизвестных, превращает каждое
из уравнений системы в тождество.
Упражнения
Задача 1. Обозначив число учеников в 7а классе буквой у, а число учеников
в 76 классе буквой х % составить систему уравнений по условию первой
задачи. Какое решение имеет эта система? Проверить его.

§ 2 . Одно уравнение первой степени с двумя неизвестными

Для того чтобы научиться решать системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными, ознакомимся сначала с основными
свойствами одного уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим такую задачу:
Задача. За 2 м сукна и 3 м ткани заплатили 165 руб.
Сколько стоит 1 м сукна и 1 м ткани?
(При составлении этой, задачи мы взяли известную нам задачу и
исключили из ее условия вторую часть.)
Решение . Обозначим, как и раньше, буквой х стоимость 1 м
сукна (в рублях), буквой у — стоимость 1 м ткани (в рублях). Тогда
2лг+3у = 165. (1)
Мы получили одно уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Уравнение это имеет бесконечное множество решений. Их можно

171 Алгебра СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, Формулы школьного курса математики

находить так. Дадим х какое-нибудь значение, например 10. Тогда
уравнение (1) примет вид
20 + З у = 1 6 5 ,
откуда ^ = 4 8 -^. Мы получили решение # = 1 0 ; у = 48 Теперь
дадим х какое-нибудь другое значение, например 20. Тогда уравнение
(1) примет вид
40 + Зу = 165,
откуда .у = 4>.11 -2j.
. Так можно поступать и дальше. Давая х произвольные значения,
мы будем получать все новые и новые решения уравнения (1). Разумеется,
мы могли бы давать произвольные значения у и вычислять
соответствующие значения другого неизвестного х .
Чтобы упростить отыскание решений уравнения (1), поступим так.
Решим уравнение (1) относительно какой-нибудь неизвестной, например
у г т. е. выразим у через х . Получим
Теперь удобнее вычислять значения у при произвольных значениях х .
Вычислим несколько решений уравнения (1) и запишем их в таблицу:

графика соответствует столбцу таблицы и служит, таким образом, изображением
одного решения уравнения (1). С другой стороны каждое
решение уравнения (1) изображается определенной точкой графика.

172 Алгебра СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, Формулы школьного курса математики

Так как по смыслу задачи х и у положительны, условию задачи
удовлетворяют только те решения уравнения (1), которые изображаются
точками, лежащими между А и В (рис. 20).
Ответ. Решение представлено таблицей и графиком
(рис. 20).
Из сказанного вытекает, что одно уравнение первой степени с двумя
неизвестными имеет бесконечное множество решений *). Для получения
решений такого уравнения достаточно одной из неизвестных
давать произвольные значения и вычислять соответствующие значения
другой неизвестной. Чтобы удобнее было вычислять эти решения, следует
разрешить уравнение относительно какой-нибудь неизвестной.
Решения уравнения можно представить таблицей и графиком.
Рассмотрим теперь такую задачу: \
За д ач а . За 5 м сукна и 2 м ткани заплатили 330 руб. Сколько
стоит 1 м сукна и 1 м ткани?
(При составлении этой задачи мы взяли известную нам задачу и
исключили из ее условия первую часть.)
Решение . Все, что было сказано по поводу задачи, рассмотренной
в начале параграфа, можно повторить здесь по поводу этой задачи.
Обозначим опять буквой х стоимость 1 м сукна (в рублях), а буквой
у — стоимость 1 м ткани (в рублях).
Наша задача приводит к уравнению
Ьх — 2у = 330.
Разрешив это уравнение относительно у , имеем
330 — 5л:
§ 2] УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 1 7 3
Составим таблицу некоторых решений этого уравнения:

Построим график решений уравнения (рис. 21). Условию задачи
удовлетворяют только те решения уравнения, которые изображаются
точками, лежащими между С и D.
Ответ. Решение представлено таблицей и графиком
(рис. 21).
Графики, которые мы здесь строили, все оказались прямыми линиями.
Это не случайно. Можно доказать, что график решений любого
уравнения первой степени с двумя неизвестными — прямая линия.
*) За исключением уравнения О-лг + О = где т отлично от нуля.
Такое уравнение не имеет решения.

173

Для доказательства этого утверждения нужны некоторые сведения
по геометрии, которые излагаются в курсе VIII класса. Поэтому
У сейчас мы доказать это утверждение
не можем и примем его
без доказательства.
Для построения прямой линии
достаточно определить две
точки, через которые она проходит.
Поэтому для построения
графика решений уравнения
первой степени с двумя
неизвестными достаточно вычислить
какие-нибудь два решения
этого уравнения.
Упражнения
1. Отбросить второе условие
первой задачи. Составить уравнение
по условию получающейся при
этом задачи. Написать таблицу
некоторых решений этого уравнения
и вычертить график.
2. Выполнить то же, что и в
упражнении 1, отбросив первое
условие первой задачи.

§ 3. Решение систем уравнений
при помощи графиков

Вернемся еще раз к задаче,
которую мы рассматривали
раньше.
За 2 м сукна и 3 м ткани заплачено 165 руб. В другой раз за 5 м
того же сукна и 2 м той же ткани заплачено 330 руб. Сколько стоит
1 м сукна и 1 м ткани?
Мы обозначили буквой х стоимость 1 м сукна (в рублях), а буквой
у — стоимость 1 м ткани (в рублях). Нами была составлена система
уравнений
(а) 2лг -f- Зу = 165, 1
(б) 5л:4- 2j/ = 330. /
Каждое из этих уравнений имеет бесконечное множество решений.
У нас составлены таблицы этих решений, составлены и их графики.
Сравнивая эти две таблицы, можно заметить, что у них имеется одинаковый
столбец:
х = 60; у = 16.
Это решение является общим для обоих уравнений (а) и (б) и вместе
с тем, как мы знаем, является решением нашей задачи. Кроме этого

174

общего решения, у каждого уравнения системы имеется сколько угодно
решений, которые не удовлетворяют другому уравнению системы. Так,
например, уравнение (а) имеет решение х — 30; у = 35, но это решение
не удовлетворяет уравнению (б) и не является решением
8адачи.
Почему же общее решение уравнений (а) и (б) является решением
нашей задачи, а всякая пара чисел, удовлетворяющих только одному
уравнению системы, не является
решением задачи?
Дело в том, что условие
задачи состоит из двух частей:
1) 2м сукна и 3 м ткани
стоят 165 руб.,
2) 5м сукна и 2 м ткани
стоят 330 руб.
Если бы в условии задачи
была только первая часть, а
второй не было, всякое решение
уравнения (а), подходящее
по смыслу, было бы и решением
задачи. Если бы в условии
задачи была только вторая
часть, а первой бы не было,
всякое решение уравнения
(б), подходящее по смыслу,
было бы и решением задачи.
Но в том то и дело,
что в условии задачи две части,
два требования, и потому
искомые числа должны
удовлетворять не только уравнению
(а) или уравнению
(б), а обоим этим уравнениям или, как говорят, удовлетворять системе
этих двух уравнений.
Для того чтобы при помощи графиков решить систему двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными, поступают так: графики
уравнений (а) и (б), выполненные в одинаковом масштабе, наносят
на один чертеж, как бы накладывая один на другой. Тогда всякая
общая*точка этих графиков изображает общее решение уравнений
(а) и (б) и, таким образом, изображает решение системы этих уравнений.
Построим графики решений уравнений (а) и (б) на одном чертеже
(рис, 22).
По чертежу видно, что точка М пересечения прямых имеет координаты
лс = 60; у =1 5 .

175

Надо сказать, что способ решения систем при помощи графиков
имеет тот недостаток, что он не дает точного значения для неизвестных,
так как значения эти приходится брать с чертежа. Но решение
систем этим способом очень наглядно.
1. Решить графическим путем систему из первой задачи § 1.

§ 4. О числе решений системы двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными

Из геометрии известно, что две прямые линии или пересекаются
(т. е. имеют одну общую точку), или параллельны (т. е. не имеют ни
одной общей точки), или совпадают (т. е. у них все точки
общие).
Отсюда можно сделать вывод, что система двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными либо имеет одно решение, либо
не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество
решений.
Системы уравнений, имеющие одно решение, нам встречались.
Следующие примеры показывают, что существуют системы, которые
совсем не имеют решений, а также такие системы, которые имеют
бесконечное множество решений.
Пример. Решить систему
Решение . Первое уравнение требует от нас, чтобы мы нашли
два числа, сумма которых 5, а второе уравнение требует, чтобы сумма
этих же чисел равнялась 17. Такие числа найти нельзя (рис. 23),
следовательно, система (1) не имеет решения.
Пример. Решить систему
Решение. Сразу видно, что второе уравнение системы (2) получается
из первого посредством умножения обеих частей на 2. Поэтому
каждое решение первого уравнения является также решением второго,
а каждое решение второго уравнения является также решением первого.
Таким образом, каждое решение любого из уравнений является решением
системы (2).
Таблица решений одного из этих уравнений служит также и таблицей
решений другого, а графики решений обоих уравнений совпадают
всеми своими точками.

176

Все это означает, что одно из уравнений можно совсем не принимать
во внимание, а решить только другое уравнение. Выходит, что

Все это означает, что одно из уравнений можно совсем не принимать
во внимание, а решить только другое уравнение. Выходит, что

§ 5 . Способ сравнения

Кроме графического способа, существуют и другие способы решения
систем. Мы рассмотрим три способа: способ сравнения, способ
сложения и вычитания, способ подстановки. Каждый из них, в отличие
от графического способа, дает точное решение системы.
Способ сравнения основан на следующих соображениях: для того
чтобы решить систему, достаточно отыскать в таблицах решений
уравнений системы одинаковые решения.
Спрашивается, нельзя ли найти эти одинаковые решения не вычисляя
при этом других, ненужных нам решений? Оказывается,
можно. Покажем на примере, как это делается, и попутно дадим
все необходимые пояснения.
Рассмотрим систему
2лг-|-Зу = 165, )
б* + 2у = 330. )

177

Подготовим каждое 113 уравнений системы так, как будто мы собираемся
вычислять таблицы решений, т. е. из каждого уравнения выразим
у через х (можно выразить и х через у). Получим:
165 — 2*
3— ’
330 — 5*
(1)
(2)
Предположим теперь, что мы одновременно вычисляем обе таблицы:

Мы вычислили две строчки, которые нам не нужны, так как значения
для у получились разные. Чтобы сразу получить строчки, которые
нам нужны, достаточно найти такие значения х , при которых
выражения
165 — 2* 330 — 5*
имеют одинаковые значения. Такие задачи мы решали и знаем, что
для этого следует решить уравнение
165 — 2* 330 — 5*
Решая его по известным правилам, находим, что * = 60. (Сравните
это уравнение с уравнением (1) на стр. 170.) Итак, одинаковые
решения в таблицах получаются при * = 60 и только при этом значении
х . Вычисляя^ по формулам (1) или (2), находим,-что 15.
Ответ. * = 60;j> = 15. Решение единственное.
Приведем второй, прием решения той же системы. Выразим из
каждого уравнения у через *, приравняем полученные выражения и,
решив уравнения с одним неизвестным, найдем, что * = 60. (Все
это точно так же, как и раньше.)
Выразим теперь из каждого уравнения системы * через у и приравняем
полученные выражения
165 — Зу _ 330 — 2у
Решая это уравнение, получим у = 15. Итак,

178

Этот’прием отличается от предыдущего тем, что, найдя значение
х == 60, мы не стали подставлять его в условие, а искали у тем же
путем, как и х .
Правило. Д ля того чтобы решить систему двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными, достаточно:
1) из каждого уравнения системы выразить какую-нибудь из
неизвестных через другую (например, х через у),
2) приравнять полученные выражения и решить уравнение с
одним неизвестным (у),
3) тем же способом или при помощи найденного неизвестного
(у) определить значение другого неизвестного (х).
Пример. Решить систему уравнений
у — Зл г= 2 , 1
у — \ — З х = 8. j
Решение . Выразим из каждого уравнения системы у через х ,
получим
у = 2 + Зх, 1
у — 8 — Злг. }
Приравняем правые части, получим
2 —f- 3 х = 8 — Зх•
Отсюда
6лг = 6; х — \.
Подставим х — 1 в первое уравнение системы, получим
у — 3 = 2, т.е. у = 5.
Проверка.
б — 3-1 = 2,
5 + 3.1 = 8.
Каждое из уравнений системы превратилось в тождество.
Ответ. д г= 1 ; у = 5. Других решений нет.
Пример. Решить систему уравнений
/ 3j; — 2х = 10, \
бу — Злг = 12. /
Решение. Выразим из каждого уравнения системы у через х .
Получим
10 + 2* ч
„ 12 + 3 *
У— 5 #

179

Приравняем правые части, получим
10 + 2* _ 12 + 3*
3 — 5
Отсюда
6 0 + 10* = 36 + 9*; * = —14.
Подставим * = —14 в первое уравнение системы, получим Зу +
+ 2 8 = 1 0 ; у = —6.
Проверка.
3 • (—6) — 2 (—1 4 )= 10,
5 . ( _ 6 ) _ 3 (—14 )= 12.
Каждое из уравнений системы превратилось в тождество.
Ответ. * = —14; у — —6. Других решений нет.
Пример. Решить систему уравнений
1 8 0 системы у ра в н ен и й [г л . VIII
5* — 7у = 13, 1
2 *— 11_у = 14. )
Решение . Выразим * через у из каждого уравнения системы и
приравняем результаты. Получим
ТУ+13 _ 11у +14
5 — 2
Отсюда
14y + 26 = 5 5 y -f 70; 41у = — 44; у = — ~ .
Выразим теперь у через * из каждого уравнения системы и приравняем
результаты. Получим
5 *— 13 Ъс — 14
7
Отсюда
11
5 5 *— 143 = 14* — 98; 41* = 45; * = — |у — .
Проверка.
_ 45 | 7 • 4 4 __ -о
5 — т г + ^ п — ^ 13’
45 ■ 1 1 -4 4
1 41 Т 41
Каждое из уравнений системы превратилось в тождество.
Ответ. * = -4^5- ; у = — 44 Решение единственное.
Возникает вопрос, является ли проверка решения в таких примерах
логически необходимой или она производится только потому,
что в процессе решения могли вкрасться ошибки.

180

Следующий, пример показывает, что рассуждения, подобные тем,
которые проводятся при решении систем методом сравнения, могут
привести к неверным выводам. Вот этот пример.
Даны два уравнения
— 5* + 6 = 0 (о}
и
** + * — { — 1 = 0 . (4)
Из первого уравнения
х* = 5* — 6. (5)
Из второго уравнения
** = — * — 1. (6)
Приравняем правые части, получим
5* — 6 = — * — 1. (7)
Отсюда
* = ~б •
Нетрудно, однако, видеть, что * = у не удовлетворяет ни одному
из данных уравнений.
Объясняется это тем, что значения *, при которых ** = 5* — 6,
не совпадают со значениями *, при которых * 2 = — * — 1. Подробнее,
равенство (5) справедливо не при всех, а лишь при некоторых
значениях *, скажем при х = а . Равенство (6) справедливо тоже
лишь при некоторых значениях *, скажем при х = Ь. Тогда
а* = 5а — 6; Ь* — — Ъ— 1.
Приравнивая правые части равенств (3) и (4) и во всем дальнейшем,
мы поступаем так, как будто а — Ъ.
Эти рассуждения надо было излагать так. Допустим, что существует
такое значение *, которое удовлетворяет как уравнению (3),
так и уравнению (4). При таком значении * имеют место равенства
(5) и (6). Следовательно, при таком значении * имеет место равенство
(7) и
* = *6 •
Отсюда следует условный вывод: если существует такое значение * ,
при котором удовлетворяются оба уравнения (3) и (4), то х — — ^ 9 и
никакому другому числу * равняться не может. Это, однако, не озна-
5
чает, что * = -g- безусловно удовлетворяет обоим уравнениям. Про-
5
верка обнаруживает, что х = -g- не удовлетворяет ни уравнению (3),
ни уравнению (4). Окончательный вывод: уравнения (3) и (4) не имеют
общих решений.

181

Соответственно с этим решение систем методом сравнения следует
излагать так:
Допустим, что система
2 *+ З у = 1 6 5 , \
5х-\-2у = 330 /
имеет решение. Тогда
165 — 2* 330 — 5*
У = з •» У = — 2—- • Т- е-
165 — 2а: 330—-5л:
3 ~ 2 *
откуда
х — 60.
Из первого уравнения системы находим, что при jc ===== 60 у = 1 5 .
Вывод: если система имеет решение, то л г= 60; ^ = 15. Никакая
другая пара чисел не может удовлетворять этой системе. Остается
доказать, что лг = 60; у — 16 удовлетворяют системе. Это делается
подстановкой в систему числа 60 вместо х и числа 15 вместо у .
1. Решить способом сравнения л г+ х —у
Упражнения
[я систему
+ у = 75,
\
5. /

§ 6. Свойство выводных уравнений

Прежде чем приступить к изложению другого способа решения
систем уравнений, рассмотрим вопрос о почленном сложении равенств.
С этой целью рассмотрим несколько примеров, которые помогут нам
установить некоторые новые свойства равенств.
Рассмотрим равенства
3 4 -5 = 6 + 2, ( ! ) ;
5 + 7 = 4 + 8. (2)
Нетрудно проверить, что равенства (1) и (2) являются справедливыми
(т. е. верными) равенствами. Составим теперь новое равенство (3) так,
чтобы левая часть равенства (3) была суммой левых частей равенств
(1) и (2), а правая — суммой правых частей, т. е., как говорят, сложим
равенства (1) и (2) почленно. Получим
(3 + 5) + (5 + 7) = (6 + 2) + (4 + 8). (3)
Нетрудно проверить, что равенство (3) тоже справедливо. Объясняется
это тем, что суммы, находящиеся в левой и правой частях равенства
(3), состоят из двух соответственно равных слагаемых.

182

При почленном сложении справедливых равенств в результате
получается опять справедливое равенство. В частности, при почленном
сложении двух тождеств в результате получается опять
тождество.
Рассмотрим равенства
3 + 5 = 6 + 2, (4)
5 + 7 = 14 + 3. (5)
Мы написали справедливое равенство (4) и несправедливое равенство
(5). Сложим (4) и (5) почленно, получим
(3 + 5) + (5 + 7) = (6 + 2) + (14 + 3). (6)
Равенство (6) несправедливо. Первые слагаемые в левой и правой
частях его равны, а вторые неравны. Ясно, что и суммы в этом случае
неравны.
При почленном сложении справедливого равенства с несправедливым
в результате получается несправедливое равенство.
Рассмотрим равенства
3 + 5 = 10 + 3, (7)
8 + 7 = 11 + 10. (8)
Здесь оба равенства несправедливы. Сложим их почленно, получим
(3 + 5 ) + ( 8 + 7) = (10 + 3 ) + (11 + 10). (9)
Равенство (9) тоже несправедливо.
Рассмотрим равенства
5 + 7 = 6 + 2, (10)
2 + 3 = 4 + 5. (11)
Равенства (10) и (11) несправедливы. Сложим их почленно, получим
(5 + 7) + (2 + 3 ) = (6 + 2) + (4 + 5). (12)
Нетрудно проверить, что равенство (12) справедливо.
Последние два примера позволяют сделать такой вывод:
При почленном сложении двух несправедливых равенств может
получиться как справедливое, так и несправедливое равенство.
Рассмотрим теперь два равенства, содержащие буквы:
2лг + 3j/ = 165, (13)
5 * + 2 у = 330. (14)
Мы взяли два уравнения, которые были хорошо изучены раньше.
Нам известны и таблицы решений этих уравнений, и графики эдих

183

Сложим теперь уравнения (13) и (14) почленно. Получим уравнение
7* + бу = 495. (15)
Рассмотрим график решений уравнения (15) совместно с графиками
решений уравнений (13) и (14) (рис. 25).
Мы видим, что прямая, соответствующая уравнению (15), проходит
через точку пересечения прямых, соответствующих уравнениям (13)
и (14), т. е. лг = 60; у = 15 являются также решением
уравнения (15). В то же
время остальные решения
уравнения (15) не удовлетворяют
ни уравнению (13),
ни уравнению (14). Почему
общее решение . уравнений
(13) и (14) является также
решением и уравнения (1.5)?
Почему уравнение (15). имеет
решения, которые не удовлетворяют
ни уравнению (13),
ни уравнению (14)?
Все это объясняется тем,;
что при сложении уравнений
мы складываем равенства,
которые при одних значениях
неизвестных справедливы,
а при других несправедливы.
В самом деле, при
дг = 60; у = 15 оба равенства
(13) и (14) справедливы.
Значит, при этих
значениях неизвестных должно
быть^ справедливо и равенство
(15).
При всех других значениях
х и у хоть одно из равенств
(13) или (14) несправедливо. Ясно поэтому, что при этих значениях
х н у равенство (15) может оказаться и справедливым и несправедливым.
Уравнение (15), полученное сложением уравнений (13) и (14), называется
уравнением, выводным из системы уравнений (13) и (14) (оно
выведено из уравнений (13) и (14)).
Таким образом, мы пришли к следующему результату:
Всякое решение системы уравнений является решением и
уравнениявыводного из этой системы. Однако не всякое решение
выводного уравнения является решением системы.

184

Точно так же можно убедиться, что все свойства равенств, выведенных
почленным сложением, справедливы и для равенств, выведенных
почленным вычитанием.
Приведем теперь два примера, в которых используется свойство
выводных уравнений.
З а д а ч а . Доказать, что уравнения дг2 — 5* -f- 6 = 0 и дг2 — 7дг -f-
6 = 0 не имеют общих решений.
Решение . Допустим, что эти уравнения имеют общее решение.
Тогда это решение должно удовлетворять уравнению 2* = О, полученному
почленным вычитанием второго уравнения из первого. Таким
образом, если бы рассматриваемые уравнения имели общее решение,
то этим решением было бы х — 0. Однако х = 0 этим уравнениям
не удовлетворяет.
З а д а ч а . Найти общее решение уравнений
х 2 — 5дг -j- 6 = 0 и х 2 — Здг 4 — 2 = 0.
Решение . Общее решение этих уравнений должно удовлетворять
уравнению 2х — 4 = 0, полученному почленным вычитанием первого
уравнения из второго. Следовательно, общим решением рассматриваемых
уравнений может быть только дг = 2.
Так как при х = 2 каждое из уравнений превращается в тождество,
эти уравнения имекг* единственное общее решение дг = 2.
Ответ. Единственное общее решение дг= 2 .
Задачи, которые мы только что решили, можно решить и не опираясь
на свойство выводных уравнений. Для этого достаточно уметь
решать уравнения второй степени.
§ 7. Способ сложения и вычитания
Рассмотрим систему
у — г х ^ % j
j . + 3 * = 8 . / 1 ’
Сложим уравнения почленно, получим
2у = 10.
Это уравнение не содержит дг, значит, его решения имеют такой’
вид: у = Ъ\ х — любое. Среди полученных решений выводного уравнения
надо искать и решение системы. Значит, решение системы
должно быть такое: дг пока неизвестно; у = 5.
Чтобы узнать, какое значение может иметь х , подставим в какое-
нибудь уравнение системы вместо у число 5. Первое уравнение дает
5 — 3jc = 2; дг = 1. Теперь ясно, что решением системы только и
может быть дг = 1; у = 5.
Подставим в систему вместо дг и у найденные значения, получим
тождества
5 —3 — 1=2 ,
5 -J~ 3 .1= 8 .

185

Теперь доказано, что д ;= 1 ; у — Ь— решение системы. Други*,
решений система не имеет.
Ответ. х = I; у = б — единственное решение.
З а м е ч а н и е . Подстановка в систему вместо неизвестных их значений
нужна была для доказательства, что л : = 1 ; у = 5 — действительно решение
системы. Из рассуждений, которые мы провели, вытекает только, что если
решение существует, то л:== 1;у = 5. Другого решения не может быть. Однако»
это еще не означает, что х = 1; у = 5 есть решение системы.
Приведем второй прием решения той же системы.
Предположим, что система (1) имеет решение. Складывая уравнения
почленно, имеем 2у = 10; у = 5. Вычитая из второго уравнения
первое почленно, имеем
6 х = 6; х = 1,
Получили тот же ответ: х = \ \ у = 5.
Заметим, что при отыскании х мы здесь не пользовались тем,
что у — д. Мы искали х так же, как раньше искали у , т. е. исключением
у из системы посредством вычитания.
Проверка решения и в этом случае необходима, так как из свойства
выводных уравнений вытекает только, что система не может
иметь других решений, кроме х — 1; у — Ь, но не вытекает, что
x — V, у = Ь есть на самом деле решение системы.
Рассмотрим систему
Зу — 2х = 10, 1
b y — З л г = 1 2 . J ^
Если бы мы сложили уравнения почленно, мы получили бы 8у —
— 5 х = 2 2 — уравнение с двумя неизвестными, которое нисколько
не помогает найти какое-нибудь из неизвестных.
Почленное вычитание тоже приведет к уравнению с двумя неизвестными.
Выходит, что способ сложения и вычитания здесь не помогает.
Почему же систему (1) удалось решить этим способом, а систему (2)
решить не удается? Дело в том, что при сложении уравнений системы
(1) х исчезал и получалось уравнение с одним неизвестным у.
При вычитании уравнений системы (1) исчезал у и получалось уравнение
с одним неизвестным х. В системе (1) коэффициенты при х
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, поэтому
х и исчезал при .сложении уравнений. В системе (1) коэффициенты
при у равны, поэтому у и исчезал при вычитании.
Отсюда видно, что систему (2) надо раньше подготовить к сложению
или вычитанию с таким расчетом, чтобы коэффициенты при
каком-нибудь неизвестном стали равными по абсолютной величине.

186

Делается это так: умножим обе части первого из уравнений
системы на 3, а обе части второго из уравнений системы на 2; получим
новую систему
Ни одно решение системы при этом не потеряется и ни одно не
будет приобретено, т. е. система (3) равносильна системе (2). Это
вытекает из общих свойств уравнений, которые нам известны (см. § 1
и 2 гл. VII).
Вычитая из второго уравнения системы (3) первое, получим
Таким образом, если система (2) имеет решение, то х = —14;
у — —6, и никаких других решений быть не может. Остается показать,
что х = —14, у = —6 удовлетворяет системе. Это было сделано
раньше.
Правило. Для того чтобы решить систему двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными, достаточно
1) умножить обе части уравнений системы на такие числа,
чтобы коэффициенты при одном из неизвестных стали равными
по абсолютной величине,
2) почленно сложить или вычесть уравнения системы, чтобы
получить уравнение с одним неизвестным,
3) решить это уравнение с одним неизвестным,
4) тем же способом или при помощи найденного неизвестного
определить значение другого неизвестного.
Пример. Решить систему
Решение. Умножим почленно первое уравнение системы на 3,
второе на б, получим
9у — 6лг = 30,
10у — 6* = 24. (3)
Подставляя в первое уравнение системы (2) у = —6, получим
х = —14.
И х — 15у = 12
2лг+ 9у = 7
(4)
(5)
Сложим почленно уравнения системы (5), получим
43* = 71;9
откуда
71

187

Умножим теперь первое уравнение системы (4) на 2, а второе на
11, получим
22* — ЗОу =—— , ,
1 8 8 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [г л . VIII
‘= = 2 4 \
22*4-99у>- .= 77. J
Вычитая из второго уравнения системы (6) почленно первое, имеем
129у = 53; у = — § — •
71 59 Итак, если Система (4) имеет решение, то х = — ^ \ ^/ = Т29»
и никаких других решений быть не может.
З а м е ч а н и е . При отыскании у мы не стали пользоваться тем, что
71 х =5 , а подготовили систему к исключению х и тогда нашли значение у .
Проверка. Равенства
. < 71 ^ и 53 ___^ ^ 11* 4А3п — 15 • 1192q9 —
9 И м Q 53 — 7 43 • 9 ‘ 129
являются тождествами.
о 71 53 Значит, х — — ^ \ У ~ ^ 2 9— Решение системы.
~ 71 53
Ответ. * = ^ 1 У = -щ ,
Упражнения
Решить способом сложения или вычитания системы:
1. х + у е= 75, 1 2. 5* — 2у = 3, Л
х —у = 5 . / лг + 6у = 11. )

§ 8. Способ подстановки

Рассмотрим опять систему
y — 3x = t
у -J- Злг=
Предположим, что мы ее решили, нашли значения х и у и подставили
их в (1). Тогда равенства (1) должны быть тождествами. Из
первого тождества выразим у через х , получим новое тождество
у = 2-\-Ъх.
Полученное выражение для у подставим вместо^ во второе тождество,
получим новое тождество
(2 + З х )-\-З х = 8,

188

или
Зная, что лг=1, подставим 1 вместо х в какое-либо из тождеств (1),
например в первое. Получим
Таким образом, если предположить, что система (1) имеет решение,
то выходит, что х = \ \ у = 5, и никаких других решений нет. Остается
доказать, что х = 1 ; у — 5 есть решение системы (1). Это
решение получалось и другими способами и было в свое время показано,
что оно удовлетворяет системе.
Приведем второй прием решения той же системы. Допустим, что
система’
имеет решение.
Из первого уравнения имеем у = 2 -f- Злг. Подставим 2 — Зл; вместо
у во второе уравнение, находим
Заметим, что при отыскании у мы не стали пользоваться тем,
что х нам известен, а искали у тем же путем, как раньше искали х.
Правил о . Для того чтобы решить систему двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными, достаточно
1) из одного уравнения системы выразить одно неизвестное
через другое (например, у через х),
2) полученное выражение подставить вместо этого неизвестного
(у) в другое уравнение системы и решить получающееся
при этом уравнение с одним неизвестным (х),
3) тем же способом или при помощи найденного неизвестного
(х) найти значение другого неизвестного (у).
Рассмотрим систему
у — 3 = 2, т. е. у = 5.
у — Зл: = 2,
у -}- Зл: = 8
(2 —{— Зх) 3#=&5 х = 1^
Теперь из первого уравнения выразим х через у . Получим
_ у — 2 Подставим — вместо х во второе уравнение, получим
у 3 • — = 8; у -[- у — 2 = 8; у = 5

189

Допустим, что она имеет решение. Тогда из первого уравнения имеем
Подставим полученное для у выражение во второе уравнение системы.
Получим
или Юл;-{-50 — 9л: = 36; лг = —14. Зная х , как всегда, находим
у = —6. Таким образом, если допустить, что система имеет решение,
то х — —14; у = —6. Других решений нет.
Остается доказать, что х = —14; у = — 6 — решение системы.
Для этого достаточно подставить это решение в систему и убедиться,
что каждое из уравнений системы превращается в тождество. Это
было уже сделано.
Рассмотрим более сложный пример
Предложенная система является системой двух уравнений второй
степени с двумя неизвестными. В этом легко убедиться, раскрыв скобки.
Однако скобки здесь раскрывать невыгодно. Рассуждаем так. Левая
часть каждого из уравнений представляет собой произведение двух
сомножителей. Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо
и достаточно, чтобы хоть один из сомножителей равнялся нулю.
Поэтому система разбивается на четыре системы двух уравнений
первой Степени с двумя неизвестными:
(2х + у — 1)(Зх — 2у + 5) = 0
( х — 2у + 5 ) ( х + у — 3) = 0 (2)
(3)
(4)
3* — 2у —j— 5 = 0,
х — 2у —|— 5 0j } (5)
( 6 )
Система (3) имеет решение: х = —
Система (4) имеет решение: х — —
Система (5)__имеет решение: * = 0;

190

Система (6) имеет решение: дг = ^1- ; ys=z-1g4-.
Ответ. Система (1) имеет четыре решения:
Упражнения
1. Решить способом подстановки систему

§ 9. Решение систем уравнений первой степени с двумя
неизвестными с буквенными коэффициентами

Так как буквы означают у нас числа, все сказанное о решении
систем уравнений с числовыми коэффициентами относится также и
к системам уравнений с буквенными коэффициентами. Нужно лишь,
как всегда в таких случаях, следить за тем, чтобы незаметно для
себя не допустить деления на нуль.
Пример. Решить систему уравнений
Сейчас нам предстоит делить обе части уравнения на 2— а. Но
выражение 2 — а при а = 2 равно нулю, при всех других значениях
а оно отлично от нуля. Итак, возможны два случая.
о )
Решение. Вычитая из второго уравнения первое, имеем
(2—в )л г= 1 .
Случай 1. а ф 2, тогда х = 0 1 • отсюда у = 1— а — ;
Случай 2. а = 2. Система имеет вид
(2)
Система (2) решений не имеет. жг
Ответ. Если а ф 2, то х = — ^ — У — •
Если а — 2, система решений не имеет.

191

Пример. Решить систему уравнений
а х -\-у = а,
Решение . Вычитая из второго уравнения первое, имеем
(2 — а ) х = 2 — а.
Если аф 2 , то х — 1;у = 0. Если а = 2, система примет такой вид:
2 х -4Г-Уу = L, I. (4)
1 9 2 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [гл. VUI
2 х + у
Эта система имеет бесконечное множество решений. Именно, у — 2 — 2х,
где х — любое число.
Ответ. Если а ф 2, то х — 1; у = 0. Если а — 2,
то у = 2 — 2лг, лг — любое число.

§ 10. Решение задач при помощи системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными

З а д а ч а . Отправлены два груза. Известно, что о веса первого
груза на 96 кг меньше, чем ~3 веса второго, а 5 веса второго груза
4
содержат столько же килограмм, сколько -g- веса первого. Найти вес
того и другого груза.
Решение. Обозначим буквой лг вес первого груза (в килограммах),
буквой у — вес второго груза (в килограммах). Тогда
-|лг = А у _ 9 6 ,
4 5
т * = т у —
Из второго уравнения имеем
. * = § * о )
Подставляя в первое уравнение вместо лг его выражение через у , получим
-т У = Т У — 96; 9 у = 12у — 96 • 16;
Зу = 96-16; у = 3 2 • 16; у = 512.
Пользуясь равенством (1), находим, что лс = 720.
Проверка, -2g- веса первого груза составляют 288 кг\ 3 веса второго
груза составляют 384 кг; 288 кг на 96 кг меньше, чем 384 кг;

192

у5 веса второго груза составляют 320 л?г; у4 веса первого составляют
тоже 320 кг. Задача решена правильно.
Ответ. 720 кг и 512 кг.
За д ач а . Двое рабочих могли выполнить некоторую работу за
8 часов. Случилось так, что первый рабочий работал 6 час, а вто-
рой 9 час> и в результате они выполнили у51у всей работы. Во сколько
часов мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?
Ре шение. Обозначим буквой х число часов, в течение которых
первый рабочий, работая один, мог бы выполнить всю работу. Буквой
у обозначим число часов, в течение которых эту работу мог бы
выполнить второй рабочий, если бы работал один. Тогда
iх +* iу = i8 9
, J9 _ 5[
у ~ 56 ‘
(2)
Разделим обе части второго уравнения на 3, умножив одновременно
обе части первого уравнения на 2. Получим
JхL 4’ — —у -4L >
JL jl А — Я
х ‘ у ~ 56 ‘
Вычитая из второго уравнения первое, имеем
(3)
у — 56 ; У ‘
56
: 3
Подставим найденное значение у в первое из уравнений системы (2),
получим
-L -j- А. = J_ ; — = ; х = 14. у. * Я * х 1 4 ’
1 3 1 6 27 51
Проверка. 14+ 5§- = -8*» Н + б б ^ б б * Задача Решена веРна
2
Ответ. 14 час и 18 у час.

§ 11. Системы трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными

За д а ч а . Периметр треугольника ABC равен 43 см, АВ больше
АС на 8 с Му АС больше ВС на 1 см. Определить стороны этого
треугольника.
Решение. Обозначим длину ВС буквой х (в см). Тогда длина АС
составляет (лг+ 1) см, длина АВ составляет С*-|-9) см. По условию,
7 Д. К. Фаддеев, И. С. Сомииский

193

периметр треугольника равен 43 см. Значит,
х -j— (х -j— 1) —|— (х -j— 9) = 43j Ъх — 33j х — 11*
Ответ: ВС — 11 см; АС = 1 2 см; АВ = 20 см.
В этой задаче требовалось найти три величины. Мы решили задачу
при помощи уравнения с одним неизвестным. Так мы поступали и
раньше, так и следует поступать всегда, если это возможно.
Эту же задачу можно решить и при помощи системы двух, уравнений
первой степени с двумя неизвестными.
Обозначим буквой х длину стороны ВС (в см), буквой у длину
стороны АС (в см). Тогда длина стороны А В составляет ( у 8) см.
По условию,
у — лг = 1,
х -j- у -}- ( у -f~ 8) — 43
или
у — х = 1, 1
2у —|— х = 35. J
Значит,
у = 12; х = 11.
Ответ. ВС = 11 см; АС = 1 2 см; АВ = 20 см.
Если бы мы пожелали ввести три буквы для обозначения неизве-.
стных, условие задачи позволило бы составить три уравнения первой
степени с тремя неизвестными..
Действительно, обозначим буквой х ‘ длину стороны ВС (в см), буквой
у длину стороны АС (в см), буквой z длину стороны АВ (в см).
Тогда
лг+ y — f 2 = 43,
z —y = 8i
у — х = 1.
О)
Нам нужно найти такие значения х , у , z, которые удовлетворяли
бы всем трем уравнениям, а не одному или двум из них, т. е.
нам нужно решить систему трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными. Мы еще не знаем,» как решаются такие системы, однако
решение системы (1) нам известно, эту задачу мы решили другим
способом. Именно,
х= 1 1 ; у =12; 2 = 20.
Подставив в систему (1) вместо неизвестных эти значения, убедимся,
что в результате каждое из уравнений системы превращается

194

в тождество. Действительно,
11 + 12 + 20 = 43,
20— 1 2 = 8,
12— 1 1 = 1.
Эта задача. легко решается и при помощи уравнения с , одним
неизвестным, и при помощи системы двух уравнений с.двумя неизвестными.
Встречаются, однако, такие задачи, которые легче привести к системе
трех уравнений с тремя неизвестными, чем к уравнению
с одним неизвестным или к системе уравнений с двумя неизвестными.
Вот, например,, такая задача.
За дач а . За 5 открытых писем, 3 одинаковые почтовые марки
и 3 конверта надо заплатить 2 руб. 60 коп. За 2 открытых письма
и 6 таких же марок надо уплатить на 2 руб. 75 коп. больше, чем
за 3 конверта. За 8 открытых писем и 2 конверта надо заплатить
на 90 коп. больше, чем за 3 марки. Сколько стоит открытое письмо,
марка и конверт (в отдельности)?
Реше н и е . Обозначим стоимость открытого письма буквой х (в коп.),
стоимость марки буквой у (в коп.), стоимость конверта буквой z (в коп.).
Тогда
5 х •+ 3у +• 3 z = 260,
2х —|— 6у —• 3 z = 275,
8^ — Ъу —|— 2# = 90.
Задача без особого труда привела к системе трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными. Всякое другое ее решение
было бы гораздо сложнее.

§ 12. Решение системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными

Решение системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
основано на тех же соображениях, что и решение системы
двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Основные свойства уравнений, которые мы установили для уравнений
с одним неизвестным, уравнений с двумя неизвестными и систем
уравнений с двумя неизвестными, полностью справедливы, и для
уравнения с тремя неизвестными и для систем таких уравнений
(см. гл. VII, § 1, 2, 3, 4 и гл. VIII, § 6).
Изложим основные способы решения систем трех уравнений первой
степени с тремя неизвестными: способ сравнения, способ сложения-
и вычитания, способ подстановки.

195

Спос об с ра внения . Разъясним этот способ на системе
Ьх 3у — 3z = 260,
2х -f- 6у — 3 z — 275,
8 х — З у + 2 ,г= 90.
Выразим из каждого уравнения х через у и z. Получим
260 — Зу — 3z
1 9 6 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ’ [ГЛ. VIU
х =
275 — 6у + 3z
X 90 + Зу — 22
— 8
(О
(2)
(3)
Приравнивая друг другу три различных выражения для лг, получаем
систему
260 — Зу — 32 _ 275 — 6у + 32
260-
5
-Зу- -3 2 90 + Зу — 22
8
Решая эту систему по известным правилам, найдем, что у — 40;
z = 5. Пользуясь любым из уравнений (1), (2) или (3), найдем х = 25.
Итак,
* = 2 5 ; у = 40; z = 5.
Других решений система не может иметь. Проверка решения и здесь
логически необходима. Из сказанного можно вывести такое правило:
Для того чтобы решить систему трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными, достаточно:
1) из каждого уравнения системы выразить какое-нибудь неизвестное
(например, х ) через другие неизвестные ( у и z)9
2) одно из этих выражений приравнять двум другим и решить
полученную систему двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными (у и z ),
3) из любого уравнения системы найти значение третьего
неизвестного (х).
Пример. Решить систему

196

Решение . Выразим z через х и у. Получим
z = х +* 2у — 2, (5)
z = —2лг —у + 7, (6)
г = — х — у + в. (7)
Сравнивая (5) и (6), затем (5) и (7), получим систему
х + 2у — 2 = — 2х —у + 7,
х + 2у — 2 = —х —у + 6
или
Злг -j— Зу = 9,
2лг *+ Ъу
Из уравнения (5) находим, что z = 3. Других решений система не
может иметь.
Для проверки подставим в систему (4) вместо х 9 у , z числа 1,
2 и 3 соответственно. Получим тождества
1 + 4 — 3 = 2,
2 + 2 + 3 = 7,1
1 + 2 + 3 = 6.
Ответ. х = \ ; у = 2; z = 3.
Способ сложения и вычитания . Разъясним этот способ
решения на примере
лг + 2у — z = 2,
2 x + y + z = 7, . (8)
X + j; + 2 = 6.
Сложим почленно первые два уравнения. Получим первое выводное
уравнение
3* + 3у = 9. (9)
Сложим теперь почленно первое уравнение с третьим. Получим второе
выводное уравнение
2лг+3у = 8. (10)
Всякое решение системы (8) должно быть и решением каждого
из выводных уравнений (9) и (10), следовательно, должно удовлетворять
системе
Zx-\-Zy = 9, j
2* + 3y = 8. J
Система (11) имеет единственное решение jc = 1; у = 2. Значит,
решение системы (8) имеет такой вид: х — 1; у = 2; z пока неиз-

197

вестно* Из первого уравнения системы (8) находим, что при * = 1 ;
у = 2 неизвестное z имеет единственное значение 2=^=3. Выходит,
что системе (8) могут удовлетворять только * = 1 ; у = 2; 2 = 3;
других решений система (8) иметь не может.
Остается убедиться, что х = 1 ; у — 2; 2 = 3 — решение системы (8).
Это сделано выше. Заметим, что проверка здесь необходима, так
как не всякое решение выводного уравнения является решением
исходной системы.
Ответ. * = 1; у = 2; z — Ъ:
Пример. Решить систему
5* 4~ Зу “j— 3z = 260,
2 * 4 * 6 у— 32 = 275, ►
8 *— b y — \- 2 z= 90.
Ре шение. Сложив первое уравнение почленно со вторым, имеем
7х —J— 9у = 535.
Чтобы уравнять (по абсолютной величине) коэффициенты при 2, умножим
теперь обе части второго уравнения на 2, а обе части третьего
уравнения на 3; получим
4*4* 12у —6^ = 550,
24* — 9у + 62 = 270.
Сложив последние два уравнения почленно, получим
28*-f-3j/ = 820.
Теперь имеем систему
7*4~9у = 535, 1
2 8 * + Зу = 820 J
или
7 * -f-9 у = 535,1
84*4~9у = 2460. J
Отсюда
7 7 * = 1925; * = 2 5 .
Далее
175 4~9у = 535; 9у = 360; .у = 40.
Из последнего уравнения системы имеем
2 2 = 90 4*120— 200; 2 = 5.
Проверка этого решения производилась ранее.
Ответ. * = 25; .у= 4 0 ; 2 = 5.

198

Сп о с о б п о д с т а н о в к и . Поясним этот способ на примере.
Решить систему
Предположим, что система решена и каждое из уравнений (12)
есть тождество. Из первого уравнения имеем
х = 2 z — 2у.
Подставим во второе и третье уравнения системы вместо х полученное
для него выражение. Имеем
Теперь из уравнения (12) найдем, что лсг= 1.
Проверка и здесь необходима, так как в основе решения лежит
предположение, что система имеет решение; иначе мы не могли бы
с уравнениями системы обращаться как с тождествами. Проверку
производить не станем, так как мы ее производили раньше.
Иногда для упрощения вычислений следует отступить от общего
правила и строить выводные уравнения, удобные для данного частного
случая.
Пример. Решить систему
Решение. Сложив почленно все три уравнения системы, имеем
Вычитая уравнение (13) почленно из каждого уравнения системы

199

Подставив в условие найденные значения вместо неизвестных,
имеем
3 — 2 + 1 — 1 = 6 ,
2 + 3 — 1 = 4 ,
2 + 1 — 3 = 0.
Ответ. лг = 2; у = 1; * = —1.
Обычно уравнения надо приводить к целому виду. Вот пример,
когда от этого общего правила следует отступить.
Пример. Решить систему
У * Ау X
X
9,
. 2 + 2 = 14
у ‘ г ’
=— 1.
Р еше н и е . Положим —X — а-’ 2у- — ft*’ —2 — с. Тогда система пгри-
мет такой вид:
+• ЪЪ с = 9,
За —2й+ 2с = 1 4 ,
а + Ь — 3 с = —1.
Исключим Ъ сначала из первого и третьего, а затем из второго
и третьего уравнений системы. Получим
а — 8 с = —12, 1
5а — 4с = 12 J
или
а-
10а-
Далее: с = 2; Ь—
Проверка,
* \J 9а = 36; а = 4.
1. Наконец, дг = 2 ; у = 1; г = ~ .
■ 8с = —12,
8с = 24
8 + 3 — 2 = 9,
12 — 2 + 4 = 1 4 ,
4 + 1 —б = —1.
Ответ. jp = -2;.j» = l; г = + . 2

200

§ 13. О числе решений системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными

Мы встречались с системами, которые имели единственное решение.
Сейчас мы приведем пример системы, имеющей бесконечное множество
решений, а также системы, совсем не имеющей решений.
Пример. Система
х + У + * = Ь
2х -j— 2у — 2 z see 2,
3 х —— Зу —|— 3 z ее= 3
имеет бесконечное множество решений, так как всякое решение первого
уравнения системы удовлетворяет второму и третьему уравнениям.
Пример. Система
* + У + г = 1> |
2х —}- 2у —}- 2z = 3, у.
5 х— г = 7 !
не имеет решения.
Действительно, первое уравнение требует, чтобы мы отыскали такие
х 9 у у Zy сумма которых равна единице, а второе уравнение требует,
чтобы сумма тех же чисел р а в н я л а с3ь Т а к и е числа найти нельзя.
З а м е ч а н и е . Рассуждения, которые мы применяли для решения системы
трех уравнений с тремя неизвестными, могут быть применены и для решения
системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными и т. д.

201 Алгебра СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, Формулы школьного курса математики

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ