Смешанные группы

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Смешанные группы всегда разложимы. Смешанная группа A называется расщепляющейся, если ее периодическая
часть служит для A прямым слагаемым.
Теорема 25.1. Периодическая группа T обладает тем свойством, что всякая смешанная группа с периодической
частью T расщепляется в том и только в том случае, когда T является прямой суммой делимой и ограниченной
групп.
Теорема 25.2. Смешанная группа A расщепляется в том и только в том случае, когда существует такая
цепочка Aj С A2 С . . . ее подгрупп, что An = A, причем для каждого n группа t (An) ограничена и справедливо
равенство t(A/An) = (t(A) + An)/An.
Группа G называется группой Бэра, если Ext (G, T) = 0 для любой периодической группы T.
Теорема 25.3. Группы Бэра свободны.
Отметим, что существуют несвободные группы G, для которых Ext (G, T) = 0, где T — произвольная p-группа, а
простое число p может быть каким угодно.

140 Группы без кручения. 

Группа A называется квазирасщепляющейся, если она содержит такую расщепляющуюся подгруппу B, что nA С B
для некоторого натурального n.
Теорема 25.4. Квазирасщепляющиеся смешанные группы A со счетной факторгруппой A/t(A) расщепляются.
Пусть р1, р2, … — последовательность всех простых чисел в порядке возрастания. Как и ранее, hp(а) обозначает
обобщенную р-высоту элемента а Е A, т.е. hp(а) = а, если а Е раA \ ра+1 A для порядкового числа а; и hp(a) = то,
если а Е рaA = рa+1A (а < то для каждого порядкового числа а). С каждым элементом а Е A можно связать
высотную матрицу H(a), а именно следующую бесконечную матрицу:
^Да) … hpi(р\а) …
hp,(а) … hp,ра) •.• [ап^
элементы которой — порядковые числа или символ то. Из определения сразу следует, что матрица Н(рпа) получается
из H(a) заменой n-й строки апо, … , аnk, … строкой ап 1, … , ап^+1, … .
Пусть а, b — элементы бесконечного порядка в группе A и ra = sb для некоторых целых чисел r, s = 0. Из
отмеченного выше свойства следует, что n-е строки матриц H(a) = [а^] и H(b) = [pnk] могут отличаться друг от
друга только в том случае, когда рп | rs, причем для этого рп должны найтись целые числа l, m ^ 0 со свойством
(1): ап^+г = Pn,k+m при всех k.
Учитывая сказанное, две ш х ш-матрицы [аnk] и [рnk] назовем эквивалентными, если n-е строки матриц совпадают
для почти всех n, а для каждого из оставшихся n найдутся такие целые числа l, m ^ 0 (зависящие от n), что
выполняется условие (1).
Если ранг без кручения группы A равен 1, то любые два ее элемента а, b бесконечного порядка имеют эквивалентные
высотные матрицы. Следовательно, группе A можно поставить в соответствие однозначно определенный класс
эквивалентности матриц, который обозначают через H(A).
Имеются хорошие структурные результаты для нерасщепляющихся смешанных групп из ряда важных классов.
Одним из таких исходных является класс счетных смешанных групп ранга без кручения 1. А именно две счетные
смешанные группы ранга без кручения 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их периодические части
изоморфны и высотные матрицы этих групп эквивалентны.
Пусть A — произвольная абелева группа. Она называется вполне транзитивной, если для любых а, b Е A таких,
что H(a) ^ H(b) и o(b) | о(а) следует существование ф Е End A со свойством фа = b. Отметим, что если A — редуцированная
группа, то условие o(b) | о(а) в определении вполне транзитивной группы можно опустить (25.15), кроме
того, группа вполне транзитивна в том и только в том случае, когда ее редуцированная часть вполне транзитивна
(25.17 (2)). Данное определение расширяет понятие вполне транзитивности для периодических групп (§ 23) и групп
без кручения (§ 24) на случай смешанных групп (см. 25.16).

Задачи

25.1. 1) Прямые слагаемые расщепляющихся групп расщепляются.
2) Подгруппа конечного индекса группы A расщепляется в том и только в том случае, когда A расщепляется.
3) Если A — расщепляющаяся группа, то всякая ее подгруппа, содержащая t(A), также расщепляется.
4) Смешанная группа с периодической частью T не обязана расщепляться, даже если все ее подгруппы, содержащие
T и имеющие ранг без кручения 1, расщепляются.
5) Если A — такая смешанная группа, что при некотором n Е N группа nA расщепляется, то и A расщепляется.
25.2. Пусть A — смешанная группа с ограниченной периодической частью T, и пусть C = T 0 H — чистая
подгруппа группы A. Тогда A = T 0 G для некоторой подгруппы G, содержащей H.
25.3. Если T — редуцированная неограниченная периодическая группа, то Ext (Q/Z, T) является копериодической
нерасщепляющейся смешанной группой с периодической частью, изоморфной T (см. 22.38 и 22.41).
25.4. Пусть р1, р2, … — различные простые числа. Положим T1 = 0 (аi), где o(ai) = рi. Рассмотрим элемент
bo = (а1, а2, …) Е П (ai). Покажите, что:
а) T1 — периодическая часть группы П (аi);
б) группа П (а^ содержит такие однозначно определенные элементы bi (i = 1, 2, …), что i-я координата элемента
bi есть 0 и выполняется равенство рibi = (а1, … , ai-l, 0, ai+l, …) = bo — а^

141 Группы без кручения.

в) группа Aj = (Tj, bj, b2, …) не расщепляется.
Расщепляется ли П (ai)l
25.5. Для простого числа p положим T2 = 0 (ai), где o(ai) = p2i. Рассмотрим элементы
bi = (0, … , 0, ai, pai+j, p2ai+2, …) € Ц (ai).
Покажите, что элементы bi имеют бесконечные порядки и удовлетворяют равенствам pbi+j = bi — ai, а группа
A2 = (T2, bj, b2, …) не расщепляется.
25.6. Следующие группы не расщепляются:
а) (aj, . . . , an, . . . ; paj = . . . = pnan = . . . );
б) (aj, …, an, .. . ; p2(aj — pa.2) = … = p2n(an — pan+г) = … =0).
25.7. Любые два прямых разложения расщепляющейся смешанной группы A = T 0 G обладают изоморфными
продолжениями в том и только в том случае, когда этому условию удовлетворяют обе группы T и G.
25.8. Существуют ли эпиморфизмы Aj — Tj (25.4) и A2 — T2 (25.5)?
25.9. Приведите пример такой смешанной группы A, что ее периодическая часть не является эндоморфным образом
группы A.
25.10. Пусть A — такая смешанная группа, что ее периодическая часть T содержит лишь конечное число p-
компонент Ti. Покажите, что T является эндоморфным образом группы A в том и только в том случае, когда
каждая Ti обладает этим свойством. Приведите контрпример в случае, когда A содержит бесконечное число p-
компонент.
25.11. Для произвольной периодической группы T существует такая смешанная группа A с периодической частью
T, что всякий периодический эпиморфный образ группы A является прямой суммой делимой и ограниченной групп.
25.12. Пусть существует автоморфизм смешанной группы A, действующий как умножение на —1 на ее периодической
части T и индуцирующий тождественное отображение группы A/T. Покажите, что если A [2] = 0, то группа
A расщепляется.
25.13. Пусть T = 0 Zp», а G есть p-адическое пополнение группы 0 Zp. Тогда G/pG = T/pT. Поэтому существует
n=j ^0
эпиморфизм п: G — T/pT, Ker п = pG. Пусть, далее, группа A определяется диаграммой
0— pT — T — T/pT —0
II т Тп
0 — pT — A — G — 0
с точными строками и коммутативными квадратами. Покажите, что группу A можно определить следующим
образом: A = {(g, h)\ g € G,h € T, где пд = h + pT} (см. 19.27). Тогда pA С pG 0 pT С A, значит, A — квазирас-
щепляющаяся группа. Покажите, что группа A не расщепляется.
25.14. Пусть A — такая подгруппа группы G, что G/A — группа без кручения. Тогда paA = A П paG для всех
порядковых чисел а и простых чисел p.
25.15. Если A — редуцированная группа, то условие o(b) \ o(a) в определении вполне транзитивной группы можно
опустить.
25.16. Пусть A — редуцированная группа без кручения. Покажите, что XA(a) ^ Ха(Ь) тогда и только тогда, когда
H(a) ^ H(b) для любых a, b € A. Докажите соответствующее утверждение для p-групп.
25.17. 1) Прямые слагаемые вполне транзитивных групп вполне транзитивны.
2) Группа A вполне транзитивна в том и только в том случае, когда ее редуцированная часть вполне транзитивна.
25.18. Пусть A = П Ai (A = 0 Ai) и n(Ai) П n(Aj) = 0 при i = j, где n(G) — множество всех простых чисел p
iei iei
со свойством pG = G. Группа A вполне транзитивна в том и только в том случае, когда каждая группа Ai вполне
транзитивна.
Определим категорию Уокера Walk. Объектами категории Walk служат группы, а множество морфизмов из
группы A в группу C равно Hom (A, C)/Hom(A,t(C)).
25.19. Убедитесь, что Walk есть категория.
Абелеву группу A назовем qc-группой, если замыкание в Z-адической и в p-адической топологии для каждого
простого числа p любой ее чистой подгруппы является чистой подгруппой в A. Периодические qc-группы — это в

142 Группы без кручения.

точности квазиполные группы. Всякая группа без кручения является дс-группой. Если G — подгруппа группы A,
то обозначим через Gp
— — замыкание подгруппы G в р-адической топологии группы A.
25.20. 1) Редуцированная группа A является дс-группой тогдаитолько тогда, когда для любой чистой подгруппы G
в A утверждение «G замкнута в Z-адической топологии» (соответственно, в «р-адической топологии») эквивалентно
утверждению «A/G — редуцированная группа» («р-редуцированная группа»).
2) Если A — дс-группа, то A1 — ее делимая часть.
3) Любая группа без кручения является дс-группой, алгебраически компактные группы являются дс-группами,
периодическая группа является дс-группой тогда и только тогда, когда она квазиполна.
4) Группа A является дс-группой тогда и только тогда, когда для каждого простого числа р и произвольной р-чистой
подгруппы G в A следует, что подгруппа Gp
— чиста в A.
5) В группе A утверждение «для любой р-чистой подгруппы G в A следует, что подгруппа G- чиста в A» справедливо
тогда и только тогда, когда соответствующее утверждение выполняется в A/р^A, причем ршA = (~) рnA —
чистая подгруппа в A.
6) Редуцированная смешанная группа A является дс-группой тогда и только тогда, когда t(A) — квазиполная
группа, A1 = 0 и для каждого простого числа р условие «H — р-чистая подгруппа без кручения (включая H = 0)»
влечет, что Hp
— — р-чистая подгруппа в A.
25.21. Группы, в которых замыкание (в Z-адической и в р-адической топологии для каждого простого числа р)
любой чистой подгруппы является прямым слагаемым, называются cs-группами. Строение таких групп довольно
хорошо изучено. Покажите, что:
а) алгебраически компактные группы являются cs-группами;
б) дс-группа является cs-группой, если всякая ее замкнутая в Z-адической топологии чистая подгруппа служит
прямым слагаемым в группе.

143 Группы без кручения.