Сокращение алгебраических дробей

§ 10. Сокращение алгебраических дробей

Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Особенность дробных выражений

Частное от деления двух целых алгебраических выражений называется
алгебраической дробью. Часто бывает возможно упростить
алгебраическую дробь посредством, сокращения общих множителей
числителя и знаменателя. Мы уже это делали в § 5, 6 при упрощении
частного от деления одночлена на одночлен и. многочлена

ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП

на одночлен. В случае, если числитель и знаменатель дроби являются
многочленами, для сокращения дроби нужно разложить числитель
и знаменатель на множители.
Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители,
то можно их сократить. Если общих множителей нет, то упрощение
дроби посредством сокращения невозможно.
Пример.

§ 1 1 . Упрощение алгебраической дроби с дробными
коэффициентами

Если числитель и знаменатель рациональной дроби являются мно-.
гочленами с дробными коэффициентами, то для упрощения целесообразно
умножить числитель и знаменатель на общий знаменатель
всех коэффициентов. Это можно сделать в силу основного свойства
дроби.

127 Алгебра Сокращение алгебраических дробей, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

§ 12. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Для того чтобы сложить илй вычесть дроби с одинаковыми знаменателями,
нужно сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель
без изменения. Например,
а . Ъ а-\- b __ ..
a + b a -\-b ~~ a \ — b ~~
Это следует из распределительного закона, примененного к частному
от деления алгебраической суммы на число
a + b + c + d __ а Ъ . с . d
т ‘‘» т ‘ т ‘ т ‘ т *
прочитанного справо налево.
Если же знаменатели различны, дроби нужно предварительно
привести к одному знаменателю. качестве общего знаменателя
можно взять любое общее кратное знаменателей данных дробей,
т. е. любой многочлен, делящийся на каждый из этих знаменателей.
В частности, за общий знаменатель можно принять произведение
знаменателей данных дробей. Выгодно выбирать общий знаменатель,
возможно более низкой степени. Для того чтобы показать, как
следует находить общий знаменатель, рассмотрим несколько примеров.
Пример. Сложить дроби + +»gr-
Решени е . Сперва нужно привести эти дроби к общему знаменателю.
В качестве общего знаменателя здесь можно взять а2й2, так
как аЧ2 делится на а2, на аЪ и на &2.
Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим,
числитель и знаменатель первой дроби на #2, второй — на ab, третьей—
на а2. Получим

128 Алгебра Сокращение алгебраических дробей, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Таким образом, неэкономный выбор общего знаменателя приводит
к появлению общих, множителей в числителе и знаменателе дроби,
получающейся в результате. Хотя их в конце концов можно сократить,
но это удлиняет и усложняет выкладки.
Пример. Выполнить сложение и вычитание
4 а . 3 b 5с
lac Ш’*
Решение . Здесь за общий знаменатель следует принять 12 abc.
Числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4а, второй
дроби — на 3b и третьей дроби — на 2с. Получим

Ответ.—— -g r z y «•
Таким образом, если знаменателями слагаемых дробей являются
многочлены, то для целесообразного выбора общего знаменателя
нужно предварительно разложить эти многочлены на множители,
если, это возможно. За общий знаменатель нужно взять
произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей
степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.
Д ля каждой дроби нужно найти дополнительный множитель,
на который нужно умножить числитель и знаменатель данной
дроби, чтобы получить дробь со знаменателем, равным выбранному
общему знаменателю.
Пример. Выполнить сложение и вычитание

129 Алгебра Сокращение алгебраических дробей, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

§ 13. Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей применяется то же правило,
что и при умножений численных дробей. Именно, произведение
двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению
числителей перемножаемых4 дробей, й знаменатель равен произведению
знаменателей, т. е.
А с — ас
В ’ D ВО *
Здесь А, В, С, D обозначают любые алгебраические выражения.

130

В применении к обыкновенным численным дробям, т. е. ^ случае,
если Л, By Су D — целые положительные числа, это правило известно
из арифметики. В общем виде справедливость этого правила нуждается
в доказательстве, так как значениями выражений Л, Ву С, D
могут быть не только целые числа, но подробные, не только положительные,
но и отрицательные.
Проведем доказательство правила. Обозначим ^ буквой х
и составим произведение
B D x ^ B D .
По определению действия деления -Аg- есть число, которое при умно-
жении на В дает Л. Следовательно, В*-д = Л. Таким же образом
Q
D • — р — С. Итак, BDx — AC. Отсюда заключаем, в силу определения
действия деления, что дг = -А^С, ч т о и требовалось доказать.

131

§ 14. Деление алгебраических дробей

Пр а в и л о . Частное от деления двух дробей равно дроби,
числитель которой равен произведению числителя делимого на
знаменатель делителя, а знаменатель равен произведению знаменателя
делимого на числитель делителя, т, е.
А .С AD
В ‘ 6 ~ ВС’
Это правило иначе формулируется так: частное от деления двух
дробей равно произведению делимого на дробь, числитель котЬрой
равен знаменателю делителя, а знаменатель равен числителю
делителя.
Доказательство правила проводится посредством проверки деления
умножением. Имеем

132  Алгебра Сокращение алгебраических дробей, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Сокращение алгебраических дробей