§ 3. Составление уравнения n-й степени по его корням

ЧАСТЬ II. ГЛАВА11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Составление уравнения n-й степени по его корням

Т е о р е м а ; Каковы бы ни были числа х и лг2, . . . , х т можно составить
уравнение п-й степени, корнями которого будут эти числа и только они.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Составим произведение
a (i£ x — x 1 )<kX ‘ — x а) . . . (лг — агл ) , ( I )
где а0 — любое число, отличное от нуля. При лг == ati двучлен x ~ x t обращается
в нуль, значит, гши этом значении х обращается в нуль и произведение
(1). При лг = лг2 обращается в нуль двучлен х — лг2 и опять произведение
(1) обращается в нуль. То же самое происходит при х = х 3; . ..; х = х п.
Пусть теперь лг = а, где а — число, отличное от лгх, * 2, . v , х п. Ни одна
из разностей а—х и а—лг2, . .. , а—х п не равна нулю. Число а0 тоже отлично
от нуля. Значит, и произведение
а0 (а —:»Xi) (а — Х %) … (а — ЛГЛ)

475 Составление уравнения n-й степени по его корням. Кабинет Математики.

Таким образом, уравнение
а0( х— x t) ( x—лг*) … (лг — х„) = О
имеет корнями лгь лг*, лг„ и только эти числа.
Раскрыв скобки и выполнив приведение подобных членов, получим в
левой части уравнения многочлен n-й степени относительно лг, т. е.
а0х п + ахх п^1 + … + a rt = 0. (2)
Корнями уравнения (2) являются числа лгь л:*, . . . , х п и только эти числа.
Возможно, что корни лг!, **, . .. , х п уравнения (2) не все различны между
собой. В этих случаях говорят, что уравнение (2) имеет кратные корна.
Так, например, если лгх = л г я и отлично от других корней уравнения (2),
число лг! является корнем второй кратности уравнения (2). Левая часть
уравнения (2) делится в этом случае на (лг — х х)ш и не делится на ( х— лг!)*.
Если * 1 = лг* ==** и отлично от других корней уравнения (2), число Xi является
корнем третьей кратности уравнения (2). Левая часть уравнения (2)
делится в §tOM случае на (л:— л^)* и не делится на ( х— лгЛ)4.
Вообще корнем кратности k уравнения (2) называется такое число а9
что левая часть уравнения (2) делится на (л:— a)k и не делится на (лг — а)*+1#
Пр име р . Составить уравнение второй степени, корни которого
Х\ — ^ ) х% — 1.
Р еше н и е . а0(^х— — | — j ( * + l ) . Положим в 0 = 3. Имеем
(Злт— 2)(лг+ 1) = 0 или Злг2 + лг— 2 = 0.
П р и м е р . Составить уравнение второй степени, корни которого лг4 = 1;
лг* = i.
Р еш е н и е . а0( х— 1)(лг — 0 = 0. Положим п0= 1 ;л г 2— ( 1 + 0 * + * = О.
Пр име р . Составить уравнение четвертой степени, корни которого /;
1
Р еш е н и е . Имеем
а0(х — 0 (* + 0 ( *— 1 —0(* — 1 4*0 = 0.
Положим а0 = 1.
(ЛГ2 4 1 ) [(AT-1 ) — О [ ( * — 1 ) + 0 = 0 ,
(х% +1) Их —О8 + 1 ] = о,’
(л:2 4 1 )(лг2 — 2лг4-2) = 0,
лг4 — 2л;3 4 Злт2 — 2л; + 2 = 0.
Пр име р . Составить уравнение третьей степени, корни которого лг! = 1;
лг*= 1; лг* = — 1.
Р еше н и е . а0(х — 1)(*— 1 ) ( ^ 4 ‘ 1)==0. Положим а0 = 1.
(х— I)2 (х + 1) = 0,
(л* — 2 х + 1 ) ( х + 1 ) = (К
ЛГ* — —* 4 1 = 0 .
Число единица является здесь корнем второй кратности.

476 Составление уравнения n-й степени по его корням. Кабинет Математики.

Околоadmin