§ 1. Свойства степени с целым показателем
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Школьный курс математики бесплатно
Как мы уже знаем, степенью а? данного числа а с целым положительным
показателем п называется произведение п множителей,
каждый из которых равен а. Так,
Само число а называется основанием степени. Степень с показателем
2 называется квадратом, с показателем 3 — кубом.
При действиях над степенями нужно руководствоваться следующими
правилами, которые формулируем в виде теорем.
Те о р ема 1. Произведение двух степеней с одинаковым основанием
равно степени того же основания с показателем, равным
сумме показателей перемножаемых степеней.
Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются. Например,
ап -а™=а<
Эта теорема записывается в виде следующей формулы:
ат • ап = ат’ п.
До к а з а т е л ь с т в о . ат есть произведение т сомножителей,
равных а; ап есть произведение п сомножителей, равных а. Следовательно,
а?* ап есть произведение т 4 — п сомножителей, равных а, т. е.
равно ат+п. В буквенной записи
218 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, Школьный курс математики бесплатно
Правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковыми
основаниями остается верным при любом числе множителей.
Именно, верна следующая теорема.
Т е о р ема 2. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
равно степени того же основания с показателем, равным
сумме показателей перемножаемых степеней, при любом числе
сомножителей.
До к а з а т е л ь с т в о .
Те о р ема 3. Результат возведения степени в степень равен
степени того же основания с показателем, равным произведению
показателей, участвующих в действии, т. е.
(ат)п = атп.
Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Например,
(аУ = а1\
До к а з а т е л ь с т в о .
п
(ат)п = ат-ат. . .ат = ат+Л •+т’ = атп.
.
п
Те о р ема 4. Степень произведения нескольких чисел равна
произведению степеней множителей с тем же показателем, т. е.
(aVf = anbn; {abcf = anbncn и т. п.
До к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство для произведения
трех множителей.
(abcf — abc • abc… abc — a * a . . .a * b * b . . .b * c * c .„ c = anbnc \
n n n n
Те о р ема 5. Степень дроби равна дроби, числитель и знаменатель
которой равны соответственно степени числителя и знаменателя
исходной дроби, с тем же показателем, т. е.
219 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, Школьный курс математики бесплатно
§ 2. Квадрат суммы нескольких слагаемых
Правила возведения в степень произведения, частного и степени
очень просты. Иначе дело обстоит со степенью суммы. Формула
для степени суммы нескольких слагаемых сложна и становится все
сложнее с возрастанием показателя степени и числа слагаемых.
Действительно,
{a + b)* = a*-\-2ab + b\
(а + Ь)9 = а3 + 3 аЧ + 3 аЬ* + Ъ\
Непосредственным умножением легко проверить, что
(а ъ + сУ = а2 + ** + с2 + 2 аЪ + 2 ас + 2 Ьс9
(a + b + cy = az + b* + c* + 3a*b + 3ab*-\-
+ За2с + 3 ас2 + 3 ЬЧ — f 3 Ьс* — f 6 abc
и т. д. Мы ограничимся рассмотрением формулы для квадрата суммы
любого числа слагаемых.
Теорема . Квадрат суммы любого числа слагаемых есть
сумма и х квадратов плюс сумма всевозможных удвоенных попарных
произведений слагаемых.
До к а з а т е л ь с т в о .
(ai “Ь а% • . . “Ь апУ= (# i “Ь аъ 4 “ • • • 4 “ ап) • (ai а* 4 * * • • ап)•
Цо правилу умножения многочлена на многочлен мы должны
каждый член первого множителя умножить на каждый член второго
множителя и сложить полученные произведения. При умножении слагаемых
первого множителя на такие же слагаемые, взятые из второго
множителя, мы получим квадраты всех слагаемых. При умножении
же двух различных слагаемых каждое произведение будет
получаться два раза. Например, аха% будет получено при умножении
аь взятого из первого множителя, на я2> взятое из второго
и при умножении я2, взятого из первого множителя, на ai9 вз&т@р
220 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, Школьный курс математики бесплатно
При пользовании этой формулой следует сначала написать квадраты
всех слагаемых, затем приписать всевозможные удвоенный произведения.
Чтобы не пропустить какое-либо из них, следует их записать
в таком порядке: сначала всевозможные, удвоенные произведения
первого слагаемого на остальные, затем — удвоенные произведения
второго слагаемого на остальные, кроме первого, затем — удвоенные
произведения третьего слагаемого на остальные, кроме первых двух,
и так далее.
Пр име р .
§ 3. Некоторые свойства степени
Очевидно, что любая степень числа 0 равна нулю, любая степень
положительного числа положительна.
Правило возведения в степень отрицательного числа дается следующей
теоремой.
Те о р ема 1 .Степень с четным показателем отрицательного
числа равна такой же степени его абсолютной величины, взятой
со знаком плюс. Степень же с нечетным показателем отрицательного
числа равна такой же степени его абсолютной величины,
взятой со знаком минус.
Например,
(— З)4 = 81; (— З)3 = —27. *
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть — а есть отрицательное число, тогда
а есть его абсолютная величина и
( — ay = [ ( — i y a ] n = ( — l ) n.an,
но (— 1)*=1; (— 1)3 = —1; (— 1)4= 1 ; (— 1)в = —1 и т. д., т. е.
(—1)л= 1 при четном показателе п и (— 1)л = — 1 при п нечетном.
Следовательно, (— а)п = ап при четном п, (— а)п = — ап при нечетном
п, что и требовалось доказать.
221
Важно отметить, что четная степень любого рационального числа
не может быть отрицательным числом, ибо четная степень положительного
числа положительна, четная степень отрицательного числа
тоже положительна, а степень нуля равна нулю.
Докажем еще две теоремы, в которых устанавливаются важные
свойства степени.
Те о р ема 2. Из двух степеней положительных чисел с одинаковым
показателем больше та, основание которой больше.
Иными слойами, степень положительного числа с данным показателем
возрастает с возрастанием основания. Сначала докажем следующие
две леммы *), касающиеся умножения положительных чисел.
Лемма 1. Если а^>Ь и с — положительное число, то ас^>Ьс*
Иными словами, обе части неравенства а^>Ь можно умножить
на любое положительное число с.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, если а^>Ь9 то а — b есть
положительное число; следовательно, (а — Ь)с тоже есть положительное
число как произведение двух положительных чисел. Но
(а — V)c — ac — Ьс.
Из установленной положительности разности ас — Ьс заключаем, что
ас^>Ьс.
Лемм а,2. Если а9 Ь9 с, d — четыре положительных числа
и a^>b9 c^>d9 то ac^>bd.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, в силу первой леммы,
ас^>Ьс, В силу той же леммы bc^>bd9 ибо c^>d и b положительно.
Следовательно, ac^>bd.
Теперь обратимся к доказательству теоремы.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р емы 2. Пусть а и Ь — положительные
числа и а^>Ь, Положим с — а\ d = b. Тогда c^>d и, в силу
второй леммы, ac^>bd; но
ас = a2; bd = b \
Следовательно, а*^>Ь\
Положим теперь с = а \ d — b*. Мы уже установили, что c^>d.
В силу второй леммы ac^>bd; но
дс = а*а* = a8; bd = b-b* = b \
следовательно, cp^>bz.
Положим теперь с = а3; d = b3. Мы уже установили, что c^>d,
В силу второй леммы ac^>bd; но
ас = а-а? = a4; bd = b-bd = b\
Следовательно, a4^>i>4.
2 2 2 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ -ЧИСЛА [ГЛ. I
*) Леммой называется вспомогательная теорема, содержание которой
используется в других доказательствах.
222
Положив c = al, и применив лемму 2, получим тем же
рассуждением, что а*^>Ь\
Применив то же рассуждение еще раз, получим, что и т. д.
Таким рассуждением мы можем дойти до любого значения показателя
п.
Теорема доказана.
В математике принято замерять цепочку единообразных рассуждений,
подобных приведенным выше, одним рассуждением «от п — 1
к п». Это рассуждение для интересующей нас теоремы выглядит так:
Допустим, что теорема верна для показателя п — 1, и в этом предположении
докажем ее для показателя п. Положим с = a*»1; d — bn~x.
В силу сделанного предположения о том, что для показателя п — 1
теорема доказана, мы заключаем, что c]>rf, в силу второй леммы
ac^>bd; но
ас — а*ап~х — ап; bd = b-bn~l = bn.
Следовательно, an^>bn.
Итак, мы доказали следующее: если теорема верна для показателя
п— 1, то она верна и для показателя п. Но мы знаем, что для
показателя 2 теорема верна, мы ее доказали. Следовательно, она
верна и для показателя 3. Раз она верна для показателя 3, то она
верна и для показателя 4 и т. д. Таким рассуждением мы дойдем до
любого показателя.
Доказательство «от п— 1 к л» называется иначе доказательством
методом математической индукции. Этот метод нам придется
в дальнейшем неоднократно применять.
Те о р ема 3. При безграничном увеличении положительного
основания степени сама степень тоже безгранично растет.
Например, а2 становится больше 100, как только я ]> 1 0 ; с? становится
больше 1 000 000, как только 1 000, и вообще а2 становится
4 больше любого заданного числа, если только взять а достаточно
большим.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, что а^>1. Тогда ап ‘^>а при
любом пу и следовательно, при безграничном увеличении а число ал
тоже растет безгранично и даже быстрее, чем а.
Теорема доказана.
Упражнения
1. Вычислить (— 2)в ;(—З)5.
2. Вычислить ряды чисел
Is, 2s, З9, 49, 5s, 6s, 79, 89, 99, 109
и
I8, 28, З8, 48, 58, б8, 78, 88, 98, 10*.
У какого из этих двух рядов быстрее растут числа?
3. При каких х будет справедливо неравенство х г > 1 000? х ь >
> 1000 000 000?
223
§ 4. Корень любой степени из числа
Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень
которого равна а. Например, корень третьей степени из 27 есть 3,
так как З3— 27, корень четвертой степени из 16 есть 2, так как
24= 16 и т. д.
Корень п-й степени из числа а обозначается п^ а . Корень второй степени
иначе называется квадратным корнем, корень третьей степени—
кубическим. Квадратный корень из числа а обозначается через
У~а, без указания показателя.
Знак часто называют радикалом, иногда с указанием степени*
То же название «радикал» часто относят и к алгебраическим выражениям,
в которых последнее действие есть действие извлечения
корня. _____
Так, выражение У Ь -\- а может быть названо квадратным радикалом,
2 з /—
содержит кубический радикал у 5 в знаменателе и т. д.
з — у ь
Заметим, что числа 2 и — 2 одинаково могут считаться квадратными
корнями из числа 4, так что квадратный корень из числа 4 имеет
два значения 2 и — 2.
Сколько значений может иметь корень любой степени из данного
числа? Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.
Т е о р ем а 1. Корень любой степени из положительного числа
имеет не более одного положительного значения.
Так, / 8 = 2 и не существует другого положительного числа, куб
которого равнялся бы 8. Действительно, пусть лг3 = 8. Если лг<^2,
то лг3<[8 в силу теоремы 1 §3. Если лг]>2, то х 3]> 8 в силу
той же теоремы. Остается только одна возможность лг = 2.
Таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.
Пусть корень я-й степени из положительного числа а имеет два положительных
значения х и у . Тогда х п = а; у п = а% Докажем, что лг = у. С этой
целью допустим противное, что х и у не равны. Тогда х > у и лиу>лг .
Если х > у , то, в силу теоремы 1 §3 , лгл > у я, что противоречит тому, что
х п = у п = а. Если у > л г , то у п > х п, что также противоречит равенству
х п = у п = а. Следовательно, л := у , что и требовалось доказать.
Те о р ема 2. Корень любой степени из 0 имеет единственное
значение, равное 0.
До к а з а т е л ь с т в о . 0я = 0. Всякое же число, отличное от нуля,
при возведении в любую степень даст результат, отличный от 0.
Следовательно, единственным значением п\/0 является 0.
Те о р ема 3. Корень нечетной степени из положительного
числа имеет не более одного значения, и это значение может быть
только положительным.
224
До к а з а т е л ь с т в о . Корень нечетной степени из положительного
числа не может быть отрицательным, ибо всякое отрицательное число
при возведении в нечетную степень дает отрицательный результат.
Нуль также не может быть значением корня из положительного»
числа. Положительных же значений корня не может быть более одного
в силу теоремы 1.
Те о р ема 4. Корень нечетной степени из отрицательного
числа имеет не более одного значения, и это значение может
быть только отрицательным.
Так, 3/ — 27 = — 3, и не существует другого числа, куб которого
равнялся бы — 27. Действительно, если л:3 = —27, то (— х )ъ = 27;
откуда, в силу теоремы 3, для — х имеется единственное возможное
значение — х — Ъ. Следовательно, лг = — 3, и других значений
для У — 27 не существует,
Совершенно таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.
‘ п _
Пусть п — нечетное число, а == — ах — отрицательное число и х есть } /а.
Тогда лгл = — аи и следовательно, (—лг)я = 0 1 , т. е. — х есть значение
корня я-й степени из положительного числа. В силу теоремы 3 этот . корень
имеет не более одного значения, и это значение положительно. Следовательно,
х имеет не более одного значения, и это значение отрицательное.
Те о р ема 5. Корень четной степени из отрицательного
числа не существует.
До к а з а т е л ь с т в о . Никакое число при возведении в четную
степень не дает отрицательного результата.
Те о р ема 6. Если существует одно значение корня четной
степени из положительного числа, то существует еще одно и
только одно значение, отличающееся от первого значения знаком.
Так, У 16 имеет два значения: 2 и — 2, ибо 24= 1 6 и (— 2)4= 1 6 .
Если бы нашлось третье значение х , то существовало бы и четвертое
— х . Из четырех значений 2, — 2, х и — х два положительных
и два отрицательных. Но, в силу теоремы 1, 4/ 16 имеет не более
одного положительного значения, так что предположение о существовании
отличного от ± 2 значения для У 16 привело нас к противоречию.
ч
Таким же образом можно рассуждать при доказательстве теоремы в
общей формулировке. Именно, если х есть корень четной степени из положительного
числа я, то — х тоже есть корень той же степени из а, ибо при
возведении в четную степень числа х и — х дают одинаковые результаты.
Если бы, кроме этих двух значений, нашлось бы третье у , отличное от них,
то нашлось бы и. четвертое —у % и оказалось бы, что корень имеет по крайней
мере два положительных значения, что противоречит теореме 1.
Положительное значение корня четной степени называется его
арифметическим значением. Под обозначением У а при четном п
8 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский
225
и а ) > 0 всегда подразумевается арифметическое значение корня.
Отрицательное же значение корня л-й степени из положительного
числа а при четном п обозначается через —п/ а . Так, ^ 1 6 = 2;
|/ ( — З)2 = 3 (а не — 3) и т. д.
Упражнения
226 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, Школьный курс математики бесплатно
Околоadmin
Comments