дома » Библиотека учителя » РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
И РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧ по
СТЕРЕОМЕТРИИ

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл stereometria-vvedenie

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

В пособии все построения рассматриваются на проекционном черт
еже, что является՛ органической частью решения всякой пространственной задачи. Раскрывается методика комплексного использования построений, вычислений и измерений в процессе решения стереометрических задач, даются оригинальные системы упражнений и методы решения пространственных задач с элементами построений. Предназначается для учителей математики 9—10 классов.

О Г Л А В Л Е Н И Е
Введение ………… 3

Г л а в а I. Некоторые общие вопросы методики обучения учащихся
работе с изображениями пространственных фигур

1. Основные понятия ………… 9
2. Виды задач на изображениях пространственных фигур и методы их решения …………………………………………………………….. 11
3. Требования к изображениям пространственных фигур ………………….. 15
4. Задачи на готовом чертеже ……………………….. 23
5. Построение сечений многогранников плоскостью ……….. 29

Г л а в а II. Изучение свойств параллельных проекций и
шение конструктивных задач в I X—X классах

1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы СТЕРЕОМЕТРИИ ………… 34
2. Применение свойств параллельных проекций в теме «Параллельность в пространстве» …….. 41
3. Некоторые свойства ортогональной проекции и их применение к решению задач ………………. 56
4. Упражнения для усвоения нового материала …………………………………………………….. 82
5. Обобщенные приемы решения задач по геометрии в десятом классе …….. 89

ВВДНИЕ

Систематическое рассмотрение различных по
содержанию и методам решения задач стереометрии
способствует созданию у учащихся отчетливых
представлений о трехмерном евклидовом
пространстве, формирует диалектико-материалистическое
мировоззрение. Вообще умение
решать пространственные задачи является
главным критерием усвоения учащимися всего
курса геометрии средней школы.
Эффективным средством, способствующим
лучшему усвоению свойств перемещений пространства
(параллельного переноса, центральной
и осевой симметрий, симметрии относительно
плоскости) и отношений между прямыми и
плоскостями, является решение задач на построение.
В программе по математике для средней
школы говорится: «При решении задач на построение
преимущественное внимание рекомендуется
уделить задачам на проекционном чертеже.
Развитию пространственного воображения способствуют
и традиционные воображаемые
построения. Учащиеся IX класса должны приобрести
навыки выполнения простейших стереометрических
чертежей на основе свойств параллельного
проецирования». В каждой теме курса
IX и X классов предполагается рассмотрение
задач на вычисление, доказательство и построение.
3

При решении задач на вычисление и доказательство
используются свойства геометрических
преобразований и аппарат векторной алгебры.
Многие задачи решаются с применением тригонометрических
функций.
Значительная часть задач вычислительного
характера может быть решена только при помощи
чертежа, выполненного с соблюдением всех
свойств параллельной проекции. Кроме того,
правильно выполненное изображение конкретной
пространственной фигуры (куба, правильной
треугольной пирамиды и т. п.) облегчает установление
зависимости между данными и искомыми
ее элементами, помогает расчленить стереометрическую
задачу на ряд основных задач из
курса планиметрии. Многие задачи на вычисление
требуют дополнительных построений (воображаемых
или на проекционном чертеже).
Поэтому можно утверждать, что построения
являются органической частью решения всякой
пространственной задачи.
В учебном пособии «Геометрия. 9—10» под редакцией
3. А. Скопеца задачам на построение отводится
важная роль. Особое значение придается
конструктивным задачам при изучении первой
главы «Основные понятия стереометрии. Параллельность
в пространстве». Задачи на построение
точки пересечения прямой и плоскости, прямой
пересечения двух плоскостей предназначены
для усвоения аксиом стереометрии и основных
свойств параллельных прямых и плоскостей.
У
ченики IX класса знакомятся со свойствами
параллельных проекций, с изображением различных
плоских и неплоских фигур. Свойства
параллельных проекций используются в дальнейшем
при изучении различных преобразований
пространства.
Построению сечений многогранников посвяще*
ны специальные параграфы учебного пособия «Геометрия.
9—10» (9-й класс). Задачи на построение
сечений многогранников с последующим вычислением
их площадей богаты по содержанию

4

поэтому они занимают особое место при изучении
свойств многогранников (10-й класс).
Конструктивные задачи даются и к главе
«Перпендикулярность в пространстве. Двугранные
и многогранные углы». Это задачи на построение
взаимно перпендикулярных прямых и
плоскостей, сечений куба, прямоугольного параллелепипеда,
правильных пирамид, общего перпендикуляра
к двум скрещивающимся прямым.
Условие стереометрической задачи на построение
может быть задано одним из следующих
способов: величинами элементов пространственных
фигур и отношениями между ними; отрезками
и углами, которые являются частями искомой
фигуры; разверткой многогранников или
тел вращения; проекционным чертежом (изображением)
геометрической фигуры; комбинацией
указанных способов.
Конструктивные задачи стереометрии решаются
двумя принципиально различными методами:
в воображении и при помощи выполняемых
чертежными инструментами построений на проекционном
чертеже, развертке геометрического
тела или на каком-либо его сечении. Второй
метод называется эффективным.
Решить задачу в воображении — это значит
указать последовательность тех логических операций,
при помощи которых доказывается существование
геометрической фигуры, удовлетворяющей
всем условиям задачи. Выполнение
каких-либо чертежей при решении задачи в воображении
не обязательно. Примером этому может
служить такая задача. Дана треугольная пирамида.
Построить точку, одинаково удаленную от
всех плоскостей, которым принадлежат грани
пирамиды.
Учитывая, что задачам, решаемым с помощью
изображений пространственных фигур, посвящена
вся книга, из эффективных методов здесь
мы отметим только метод решения задач на развертках
геометрических тел. Сущность его заключается
в следующем. Геометрическое тело задается
его разверткой или ее частью. С помощью раз’;
5

вертки определяются некоторые элементы этого
тела. Рассмотрим пример. Дана часть (основание
и две боковые грани) развертки четырехугольной
пирамиды MABCD (рис. 1). Построить полную
развертку этой пирамиды.
Строим точку X = (А В) Ո (CD) и Ш 1Х](рис. 2).
Фигура Ф = A ADX U Л ADM2 (J АМхХ —
часть развертки треугольной пирамиды MADX.
Четвертую ее грань легко построить, так как
известны все стороны грани MDX (рис. 3).
Строим [СМ\. Треугольник CDM является третьей
боковой гранью пирамиды MABCD. Четвертая
грань (треугольник М3ВС) строится по известным
сторонам ВМг, ВС и СМ (рис. 3).
Задачи на изображениях пространственных
фигур обладают рядом преимуществ по сравнению
с другими видами конструктивных задач.
При их помощи можно достаточно хорошо развить
пространственное воображение школьников.
Навыки работы с чертежами необходимы при решении
задач на вычисление, доказательстве теорем,
а также при изучении школьного курса
черчения.
Задачи, приведенные в данном пособии (п 2,
гл. II), являются основными метрическими задачами.
Поэтому их целесообразно использовать
при изучении свойств параллельных проекций.
Система упражнений на готовых изображениях
прямоугольного параллелепипеда (п. 4, гл. I)
предназначена для повторения темы «Многогранники:
виды, зависимость между их элементами,
поверхность и объем».
Систему конструктивных упражнений из п. Г
(гл. II) целесообразно использовать при изучении
аксиом стереометрии. Эти упражнения можно
применить для индивидуальной и дополнительной
работы с учениками.
Упражнения 1—15 из п. 2 (гл. II) могут быть
использованы (полностью или частично) при
изучении свойств взаимного расположения прямых
и плоскостей пространства. Упражнения
16—26 этого параграфа (на построение сечений
многогранников плоскостью) предназначены для
6

повторения всего курса геометрии девятого класса.
Главное назначение этих упражнений — обучение
учащихся комплексному использованию
методов построения сечений, свойств прямых,
плоскостей и их параллельных проекций.
С методом решения задач, описанным в п. 3
(гл. II), учащиеся знакомятся постепенно (в процессе
изучения площадей поверхностей многогранников
и тел вращения, их объемов и других
свойств). Эти методы иллюстрируются в основном
задачами из различных конкурсных
сборников.
8

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

, ,

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии