§ 9. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим предварительно следующие две теоремы.
Т е о р ема 1. Если 0 и натуральное л]> 1, то
( 1 + й ) я> 1 + n h .’
До к а з а т е л ь с т в о . Доказательство проведем методом математической
индукции. При п — 2 утверждение справедливо, так как
( 1 4 -А)3 = 1 + 2А + А 2> 1 + 2Л.

368 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Кабинет Математики.

Предположим, что утверждение справедливо при n — k 9 где k —
некоторое натуральное число, т. е.
(1 +А )‘ > 1 + Л А . (2)
Докажем, что тогда утверждение справедливо и при h= = k -\-\9 т. е.
(1 + л )* +1> 1 -Н * + 1 )А .
Умножив обе части неравенства (2) на положительное число 1-f-ft,
получим
(1 — f h)kvi > 1 + (k + \)h — f kh% > 1 — f {k + l)ft.
З а м е ч а н и е . Теорема доказана в предположении, что h > 0. Как видно
из доказательства, теорема справедлива и при более общих предположениях.
Именно, достаточно, чтобы h было больше — 1, но отлично от нуля. (При
Л = 0 неравенство (1) несправедливо.)
Те о р ема 2. Если | q J> 1 и п — > оо, nto | q \п ->-} -оо, т. в,
\q \n неограниченно возрастает.
Если 0 < | у | < 1 и п —> оо, /яо|^|я -* 0 , т. е. \q\n неограниченно
убывает.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть | q | > 1 и М — сколь угодно большое
положительное число. Положим \q\ = l — \ — k 9 тогда А]>0*
На основании предыдущей теоремы
( 1 + й ) » > 1 + 1 й
или, что все равно,
М * > 1 + я ( М — О-
Для того чтобы l^l» было больше М, достаточно, чтобы
1 + я ( | ? | — 1 ) > Ж
Последнее неравенство выполняется при всех я, больших чем j .
Таким образом, при я >
\q\n> M .
Это и означает, что | q |* неограниченно возрастает. Первая часть
утверждения доказана.
Пусть 0 < | ? | < 1 . Положим q— \ — , тогда | qt | > 1. Пусть теперь
е — сколь угодно малое положительное число. По доказанному, существует
такое N9 что при n ^> N
ы — > j .
а тогда т- е-

369 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Кабинет Математики.

Последнее неравенство и означает, что | q \л неограниченно убывает.
Вторая часть утверждения доказана.
Сумма первых п членов бесконечной геометрической прогрессии
иъ uxq, Urf3, . . . (3)
может быть вычислена по формуле
Придавая в этой формуле числу п значения 1, 2, 3, 4,…, получим
бесконечную последовательность
Si, S& 5 з ,… » S ny . . . , (5)
общий член доторой задан формулой (4), Суммь* Su S * …, Sn,… называются
частичными суммами бесконечной геометрической прогрессии;
Если | <71^>1, то \ Sh \ при возрастании п растет, неограниченно,
Действительно,
о _ « 1 т п _ Ц1___________п п
l — q f — q~~ \ — q 1- 0 * *
Выражение \ U^:q при всех п сохраняет одно и то же значение,
a qn при возрастании п растет по абсолютной величине неограниченно.
В связи с этим растет неограниченно j qn J, а вместе с тем, и /S n|.
Это означает, что при | q [ ]> 1 последовательность (5) предела
не имеет. Не имеет предела последовательность (5) также и при
0 = 1 и q — —1, В первом случае
S«=Wi + h1 + . . . + k1==«h1,
и следовательно, |S*| при возрастании п растет неограниченно. Во
втором случае общий член последовательности (5) имеет вид
_ ! + ( — iyr-м
*^л 2
а сама последовательность (5) имеет вид йи 0, uv 0,…
Следующая теорема показывает, что при | ? | < 0 последовательность
(5) имеет предел:
Т^опема 3. Предел последовательности частичных сумм бесконечной
геометрической прогрессии, знаменатель которой по абсолютной
величине меньше единицы, равен частному от деления первого
члена на разность между единицей и знаменателем прогрессии.
До к а з а т е л ь с т в о ,
l i m = lim <?)=*= lim — lim ) .

370 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Кабинет Математики.

Так как limff* = 0, а величина \ —q постоянна, то
limS* = -T = — ^
Опр е д е л ение . Предел последовательности частичных сумм
членов бесконечной прогрессии называется суммой членов этой
прогрессии.
Это определение дает возможность доказанную теорему 3 сформулировать
иначе:
Те о р ема 4. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии,
знаменатель которой по абсолютной величине меньше
единиц к, рйвна частному от деления первого члена на разность
между единицей и знаменателем прогрессии.
Пример . Найти сумму членов геометрической прогрессии
Решение. Здесь 1, ^ = а потЪму S = — -—р = 2.
. ‘ — г
Замечан и е . Геометрическую Прогрессию, знаменатель которой
по абсолютной величине меньше единицы, коротко, но неточно,
называют бесконечно убывающей прогрессией. В действительности,
такая прогрессия будет убывающей в смысле определения, данного
в §3, если первый член ее положителен и 0 < ^ < ^ 1 ,

371 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Кабинет Математики.

Околоadmin