дома » Алгебра в школе » Общие свойства колец

Общие свойства колец

Глава III. Кольца

11 Общие свойства колец

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

litres728_90

Ассоциативным кольцом называется непустое множество R, на котором заданы две бинарные алгебраические
операции + и •, удовлетворяющие следующим аксиомам:
1) (R, +) — абелева группа;
2) (R, •) — полугруппа;
3) (a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb для всех a,b,c E R (умножение дистрибутивно по сложению).
Структура (R, +) называется аддитивной группой кольца R, а (R, •) — его мультипликативной полугруппой. Если
(R, •) — полугруппа с единицей (моноид), то говорят, что R — кольцо с единицей 1.
В дальнейшем все кольца, если специально не оговорено, предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей.
При необходимости подчеркнуть роль единицы кольца R ее обозначают через 1r. Будем говорить, что R — кольцо
без единицы (или предкольцо), если наличие единичного элемента в R не предполагается. В таком случае единичный
элемент игнорируется, даже если он существует.
Кольцо называется коммутативным, если ab = ba для всех a,b E R.
Если в вышеприведенном определении аксиома 2) устранена или заменена другой — в зависимости от конкретной
задачи, — то говорят о неассоциативных кольцах.
Непустое подмножество K кольца R без единицы называется подкольцом, если из того, что s,t E K, следует
s — t E K и st E K, т.е. если K — подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы
кольца. Для кольца R с единицей к этим двум условиям добавляется еще одно: 1 E K.
Нейтральный элемент группы (R, +) называется нулем кольца R и обозначается через 0. Если R состоит из одного
элемента, то 0 = 1, ив этом случае R называется нулевым кольцом.
Если ab = 0 при a = 0 и b = 0 в кольце R, то a называется левым, а b — правым делителем нуля. Сам нуль в кольце
R = 0 — тривиальный делитель нуля.
Элемент a кольца R называется центральным, если ax = xa для всякого x E R.
Кольцо, не имеющее ненулевых делителей нуля, называется кольцом без делителей нуля (областью целостности,
или просто областью). Ненулевое коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется коммутативной
областью.
Так же, как в полугруппах, элемент a кольца называется идемпотентом, если a2 = a.
Кольцо R с условием a2 = a для любого a E R называется булевым.
Идемпотент e = 0 кольца называется примитивным., если e не может быть представлен в виде суммы двух ненулевых
ортогональных идемпотентов. Говорят, что идемпотенты e и f кольца ортогональны, если ef = fe = 0.
Кольцо называется нормальным, если все его идемпотенты центральны.
Элемент x кольца R называется нильпотентным, если xn =0 для некоторого натурального числа п.
Кольцо без ненулевых нильпотентных элементов называется редуцированным кольцом.
Кольцо R называется регулярным, если каждый элемент его мультипликативной полугруппы регулярен.
Пусть R — кольцо с 1 = 0. Элемент a E R называется обратимым (или делителем единицы), если существует
элемент a-1 E R со свойством aa-1 = a-1a = 1. Если ab = 1 или ba = 1, то говорят об элементах, обратимых
справа или слева.
Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением или телом. Таким образом,
в теле всегда 1 = 0. Коммутативное тело называется полем.
Если (R, +, •) и (S, 0, х) — два кольца, то они называются изоморфными, если существует биекция f: R S,
сохраняющая операции, т.е. f (a + b) = f (a) 0 f (b), f (a • b) = f (a) х f (b) для всех a,b E R и f (1r) = 1s. Изоморфизм
кольца на себя называется его автоморфизмом.

Задачи

11.1. Покажите, что в определении:
а) кольца аксиома коммутативности сложения выводится из остальных аксиом;
б) кольца без единицы аксиома коммутативности сложения не выводится из остальных аксиом;

63 Общие свойства колец.

в) кольца без единицы аксиома существования противоположного по сложению элемента не выводится из остальных
аксиом.
11.2. Пусть f: R — S — изоморфизм колец. Проверьте, что:
а) если R — коммутативное, то и S — коммутативное и наоборот;
б) R не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда их не имеет S;
в) если v — обратимый элемент в R, то f (v) обратим в S и f (v-i) = (f (v)) l.
11.3. 1) В любом кольце есть подкольцо, изоморфное одному из колец Z, Zn.
2) Если в кольце R нет делителей нуля, то в R есть подкольцо, изоморфное одному из колец Z, Zp (р — простое
число).
11.4. Пусть A — некоторое множество и a — произвольный его элемент. Определите кольцевые операции в A так,
чтобы получилось кольцо (без единицы) и роль нуля в нем играл элемент a.
11.5. 1) Сколькими способами на множестве из двух элементов можно определить две бинарные операции «сложения
» и «умножения» так, чтобы получилось кольцо без единицы?
2) Сколькими способами на множестве {a, b, с} можно определить две бинарные операции «сложения» и «умножения
» так, чтобы получилось кольцо без единицы, и роль нуля в нем играл элемент a?
3) Сколькими способами на множестве {a, b, с, d} можно определить две бинарные операции «сложения» и «умножения
» так, чтобы получились неизоморфные кольца без единицы?
11.6. Если R — кольцо и r,s € R, то:
а) 0 • r = r • 0 = 0; б) (—r)s = r(—s) = —(rs);
в) (—r)(—s) = rs.
11.7. Если в кольце R каждое из уравнений ax = b, ya = b (a,b € R, a = 0) обладает хотя бы одним решением, то
R является телом, причем если 1 € R, то достаточна разрешимость только одного уравнения.
11.8. 1) Во всяком кольце законы дистрибутивности выполняются и для разности, т.е. (a — b)c = ac — bc, c(a — b) =
ca — cb, где полагаем a — b = a + (—b).
2) В кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.
11.9. Для элемента a кольца R и целого числа п положим
a + … + a, если n ^ 1;
0 при п = 0;
—a — … — a , если n ^ —1.
Покажите, что для любых a,b € R выполняются равенства n(ab) = (na)b = a(nb).
11.10. Если элементы a и b кольца переставимы, то a переставим с —b, ab и b-i (если последний существует). Если
a переставим с b и c, то он переставим с элементами b + c и bc.
Кольцо называется чистым, если каждый его элемент есть сумма идемпотентного и обратимого элемента.
11.11. Кольцо R локально (см. введение в § 13) тогда и только тогда, когда R чистое кольцо и не имеет идемпо-
тентов, отличных от 0 и 1.
11.12. Пусть e — такой идемпотент кольца R, что eRe и (1 — e)R(1 — e) чистые кольца. Тогда R — чистое кольцо.
11.13. Если R — чистое кольцо, то таково же кольцо матриц M(n,R) для любого п ^ 2.
11.14. Любой элемент кольца R есть сумма п, п > 1, обратимых элементов тогда и только тогда, когда любой
элемент факторкольца R/J(R) есть сумма п обратимых элементов (J(R) — радикал Джекобсона кольца R, см.
введение в § 13).
11.15. Для любого кольца R всякая диагональная матрица над R порядка ^ 2 есть сумма двух обратимых матриц.
11.16. 1) Для любого кольца R любая п х п матрица над R, п > 1, есть сумма как трех, так и четырех обратимых
матриц.
2) Существует кольцо R такое, что не всякая матрица порядка 2 над R есть сумма двух обратимых матриц.
11.17. Всякий линейный оператор векторного пространства V над полем F есть сумма двух обратимых линейных
операторов, исключая случай, когда dim^ V = 1 и F = Z2.
Кольцо R называется п-чистым, где п — фиксированное натуральное число, если каждый его элемент есть сумма
идемпотента и п обратимых элементов. Упражнения 11.18 и 11.19 обобщают 11.12 и 11.13.
11.18. Пусть e — такой идемпотент кольца R, что eRe и (1 — e)R(1 — e) — п-чистые кольца. Тогда R — п-чистое

64 Общие свойства колец.

11.19. Если R — n-чистое кольцо, то n-чистым будет кольцо матриц M(к, R) для любого к ^ 2.
11.20. Все центральные элементы кольца R образуют подкольцо Z(R). Оно называется центром кольца R.
11.21. Матрица A является центральным элементом в кольце M (п, R) тогда и только тогда, когда A — скалярная
матрица, т.е. A = aE для некоторого a € Z(R) (E — единичная матрица порядка п). В частности, Z (M (n,R)) =
Z(R).
11.22. Определим противоположное (или дуальное) кольцо R° к заданному кольцу R. Множества элементов у
колец R° и R совпадают, операции сложения в R° и R также совпадают. Операция о умножения в R° определяется
по операции умножения в R следующим образом: для любых x,y € R° полагаем x о y = yx. Убедитесь, что R°
действительно является кольцом.
11.23. Кольцо M(п, R) (п > 1) изоморфно своему противоположному кольцу.
Если R — кольцо, то можно рассмотреть всевозможные многочлены
f (x) = ao + aix + a2x2 + … + anxn, n ^ 0,
относительно переменной x (x € R) с коэффициентами ao, ai,… ,an из R; если an =0, то n называется степенью
многочлена f (x). Предполагается, что ax = xa для любого a € R. Если g(x) = bo + bix + … + bmxm, то сумма
h(x) = f (x) + g(x) означает многочлен
h(x) = (ao + bo) + (ai + bi) x + … + (ak + bk) xk,
где к = max (n, m) и где коэффициенты ai или bi предполагаются равными 0, если индекс i больше, чем степень
соответствующего многочлена.
Умножение f (x) и g(x) определяется по правилу: q(x) = f (x)g(x) = ^ crxr, где cr = ^ aibj.
r=o i+j=r
Над кольцом R можно также определить (формальные) степенные ряды
ao + aix + … + anx + … — «»У ^ anx (an € R)
n=o
от переменной x. Определение операций с многочленов на степенные ряды переносится непосредственным образом:
^ anxn + ^ bnxn = ^ (an + bn) xn,
n=o n=o n=o
anxn • bmxm = ^~^ crxr, где cr = anbm.
n=o m=o r=o n+m = r
Определим также (формальный) ряд Лорана от переменной x над кольцом R как выражение
a.nxn + an+ixn+l + … + akxk + … = ^ akxk (ak € R),
k=n
где n — любое целое, возможно, отрицательное число. Сложение и умножение рядов Лорана происходит аналогично
сложению и умножению степенных рядов.
11.24. Множество всех многочленов образует кольцо R[x], ассоциативно-коммутативное, если соответствующими
свойствами обладает кольцо R. Аналогично определяется кольцо многочленов R[xi,… ,xn] от переменных
xi,… ,xn.
Множество всех степенных рядов с указанными сложением и умножением образует кольцо; оно называется кольцом
степенных рядов от переменной x над кольцом R и обозначается через R [[x]]. Можно определить степенные ряды
от нескольких переменных.
Множество всех рядов Лорана с указанными сложением и умножением образует кольцо, называемое кольцом рядов
Лорана R {x) от переменной x над кольцом R.
11.25. 1) Многочлен с коэффициентами из коммутативного кольца R является нильпотентным элементом в кольце
R [x] тогда и только тогда, когда все его коэффициенты — нильпотентные элементы в R.
2) Приведите пример степенного ряда над кольцом R с нильпотентными коэффициентами, который не был бы
нильпотентным в кольце R [[x]].
11.26. Многочлен с коэффициентами из коммутативного кольца R обратим в R [x] тогда и только тогда, когда его
свободный член обратим в R, а остальные коэффициенты — нильпотентные элементы.
11.27. Кольцо рядов Лорана над полем является полем.
11.28. 1) Каждый элемент кольца Zn либо обратим, либо является делителем нуля (см. 11.40 (г)).

65 Общие свойства колец.

2) Zn является полем тогда и только тогда, когда п = p — простое число.
3) Zn содержит ненулевые нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда п делится на квадрат натурального
числа > 1.
11.29. Кольцо из 5 элементов с ненулевым умножением изоморфно Z5.
11.30. Если P — поле, то в кольце M(n,P) вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля.
11.31. Пусть R — кольцо, и a,b E R. Докажите, что:
а) если элементы a и b обратимы, то элемент ab также обратим и (ab)- 1 = b-1 a-1;
б) если элементы ab и ba обратимы, то a и b также обратимы;
в) если R не имеет делителей нуля и произведение ab обратимо, то a и b обратимы, в общем же случае из обратимости
элемента ab не следует обратимость a и b;
г) если обратим элемент 1 + ab, то обратим и элемент 1 + ba;
д) нильпотентность элемента a влечет обратимость элемента 1 + a.
11.32. В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент обратим, либо число необратимых элементов
бесконечно.
11.33. Пусть x — обратимый справа элемент некоторого кольца. Следующие условия эквивалентны:
а) x обладает более чем одним правым обратным;
б) x необратим;
в) x — левый делитель нуля.
11.34. Кольцо R будет телом тогда и только тогда, когда для любого a = 1 найдется элемент b E R такой, что
a + b — ab = b + a — ba = 0.
ab 11.35. Покажите, что матрицы^ b
а) с a,b E F3 образуют поле из 9 элементов и что мультипликативная группа этого поля — циклическая порядка 8;
б) с вещественными a и b образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.
11.36. Матрицы ^ 2<b b ^ с рациональными a и b образуют поле, изоморфное полю Q(^2).
11.37. Множество 2м всех подмножеств множества M является коммутативным кольцом с 1, все элементы аддитивной
группы которого имеют порядок два, относительно операций симметрической разности A + B = AAB и
пересечения AB = A П B. Это кольцо называется кольцом всех подмножеств множества M.
11.38. Пусть R — произвольное кольцо, X — произвольное множество. Тогда через RX обозначают кольцо функций.
Его элементами являются функции f: X R, а операции сложения и умножения определяются следующим
образом: если f,g E RX и x E X, то (f + g) (x) = f (x) + g(x), (fg) (x) = f (x)g(x). Убедитесь, что RX действительно
кольцо.
11.39. Если все элементы коммутативного кольца имеют общий делитель a, то кольцо обладает единицей.
11.40. Пусть R — конечное кольцо (не обязательно с 1). Тогда:
а) если R не содержит делителей нуля, то оно является телом;
б) если R содержит единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;
в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля;
г) если R имеет единицу, то всякий его элемент либо обратим, либо является делителем нуля;
д) если \R\ = n, то na = 0 для каждого a E R.
11.41. Каково наименьшее число n такое, что существует некоммутативное кольцо без единицы с n элементами?
Примером неассоциативного кольца служит кольцо векторов трехмерного евклидова пространства, в котором операциями
служат обычные сложение и векторное произведение.
Хорошо известно, что в этом кольце для любых его элементов выполняются следующие соотношения:
(1) a2 =0 и (2) (ab) c + (bc) a + (ca) b =0 — тождество Якоби. Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям (1) и
(2), называется лиевым кольцом.
11.42. 1) Из вышеприведенного условия (1) вытекает закон антикоммутативности ba = -ab.
2) Если R — произвольное ассоциативное кольцо, то, сохраняя аддитивную группу этого кольца, а операцию
умножения xy заменяя операцией коммутирования x о y = xy — yx, получим лиево кольцо. Элемент [x, y] = xy —
yx часто называется коммутатором элементов x и y. Коммутатор [x,y] является билинейной знакопеременной
функцией от x,y. Это означает, что [x,y] = —[y,x], так что тождество Якоби [[x, y],z] + [[y, z],x] + [[2, x],y] = 0

66 Общие свойства колец.

2) Zn является полем тогда и только тогда, когда п = p — простое число.
3) Zn содержит ненулевые нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда п делится на квадрат натурального
числа > 1.
11.29. Кольцо из 5 элементов с ненулевым умножением изоморфно Z5.
11.30. Если P — поле, то в кольце M(n,P) вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля.
11.31. Пусть R — кольцо, и a,b E R. Докажите, что:
а) если элементы a и b обратимы, то элемент ab также обратим и (ab)- 1 = b-1 a-1;
б) если элементы ab и ba обратимы, то a и b также обратимы;
в) если R не имеет делителей нуля и произведение ab обратимо, то a и b обратимы, в общем же случае из обратимости
элемента ab не следует обратимость a и b;
г) если обратим элемент 1 + ab, то обратим и элемент 1 + ba;
д) нильпотентность элемента a влечет обратимость элемента 1 + a.
11.32. В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент обратим, либо число необратимых элементов
бесконечно.
11.33. Пусть x — обратимый справа элемент некоторого кольца. Следующие условия эквивалентны:
а) x обладает более чем одним правым обратным;
б) x необратим;
в) x — левый делитель нуля.
11.34. Кольцо R будет телом тогда и только тогда, когда для любого a = 1 найдется элемент b E R такой, что
a + b — ab = b + a — ba = 0.
ab 11.35. Покажите, что матрицы^ b
а) с a,b E F3 образуют поле из 9 элементов и что мультипликативная группа этого поля — циклическая порядка 8;
б) с вещественными a и b образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.
11.36. Матрицы ^ 2<b b ^ с рациональными a и b образуют поле, изоморфное полю Q(^2).
11.37. Множество 2м всех подмножеств множества M является коммутативным кольцом с 1, все элементы аддитивной
группы которого имеют порядок два, относительно операций симметрической разности A + B = AAB и
пересечения AB = A П B. Это кольцо называется кольцом всех подмножеств множества M.
11.38. Пусть R — произвольное кольцо, X — произвольное множество. Тогда через RX обозначают кольцо функций.
Его элементами являются функции f: X R, а операции сложения и умножения определяются следующим
образом: если f,g E RX и x E X, то (f + g) (x) = f (x) + g(x), (fg) (x) = f (x)g(x). Убедитесь, что RX действительно
кольцо.
11.39. Если все элементы коммутативного кольца имеют общий делитель a, то кольцо обладает единицей.
11.40. Пусть R — конечное кольцо (не обязательно с 1). Тогда:
а) если R не содержит делителей нуля, то оно является телом;
б) если R содержит единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;
в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля;
г) если R имеет единицу, то всякий его элемент либо обратим, либо является делителем нуля;
д) если \R\ = n, то na = 0 для каждого a E R.
11.41. Каково наименьшее число n такое, что существует некоммутативное кольцо без единицы с n элементами?
Примером неассоциативного кольца служит кольцо векторов трехмерного евклидова пространства, в котором операциями
служат обычные сложение и векторное произведение.
Хорошо известно, что в этом кольце для любых его элементов выполняются следующие соотношения:
(1) a2 =0 и (2) (ab) c + (bc) a + (ca) b =0 — тождество Якоби. Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям (1) и
(2), называется лиевым кольцом.
11.42. 1) Из вышеприведенного условия (1) вытекает закон антикоммутативности ba = -ab.
2) Если R — произвольное ассоциативное кольцо, то, сохраняя аддитивную группу этого кольца, а операцию
умножения xy заменяя операцией коммутирования x о y = xy — yx, получим лиево кольцо. Элемент [x, y] = xy —
yx часто называется коммутатором элементов x и y. Коммутатор [x,y] является билинейной знакопеременной
функцией от x,y. Это означает, что [x,y] = —[y,x], так что тождество Якоби [[x, y],z] + [[y, z],x] + [[2, x],y] = 0

67 Общие свойства колец.

можно записать в виде [[x, y], z] = [x, [y, z]] + [y, [2, x]]. Тождество [x, [y, z]\ + [y, [2, x]] + [z, [x, y]] =0 также называют
тождеством Якоби. Положим по индукции [xi,… , xn] = [[xi,… ,xn-i],xn], при этом обозначении справедливо
тождество [x, y, z, t] + [y, x, t, z] + [z, t, x, y] + [t, z, y, x] = 0.
Покажите, что если кольцо R удовлетворяет тождеству [x, y, z] = 0, то для любых натуральных чисел m, n,s,t в R
справедливы тождества:
[xm,y] = mxm-1 [x,y]
[xnym,xsyt] = (nt — ms)xn+s-1ym+t-1[x, y];
[xnyn,xsys] = 0.
3) Для кольца R с единицей следующие условия эквивалентны:
а) [a, b] E Z(R) для любых a,b E R;
б) [[a, b], c] = [a, [b, c]] для любых a,b,c E R;
в) [a, b, c ] = [a, c, b] для любых a, b, c E R;
г) [a, bc] = [a, cb] для любых a, b, c E R;
д) [[a, b]c, d] = [a, b][c, d] для любых a, b,c,d E R.
4) Всякое лиево ненулевое кольцо является кольцом без единицы.
11.43. Если A — ненулевая абелева группа, то кольцо эндоморфизмов End (A 0 A) некоммутативное.
11.44. В ассоциативном кольце R сохраним его аддитивную группу, а операцию умножения ab заменим операцией
симметрирования a • b = ab + ba. Покажите, что получается новое кольцо, в котором выполняются соотношения:
(1) a • b = b • a и (2) [(a • a) • b] • a = (a • a) • (b • a) (кольцо, в котором выполняются (1) и (2), называется йордановым).
В общем случае йордановы кольца неассоциативны. Заметим, что все ассоциативно-коммутативные кольца являются
йордановыми.
Пусть R — произвольное (не обязательно ассоциативное) кольцо. Дифференцированием кольца R называется всякое
преобразование 5 множества R, являющееся эндоморфизмом аддитивной группы R+ кольца R, т.е. 5 (a + b) = 5a+5b,
и удовлетворяющее условию д (ab) = (5a) b + a (5b), a,b E R.
Элемент a кольца R называется константой относительно дифференцирования д, если 5a = 0.
11.45. Покажите, что дифференцирования кольца R составляют лиево кольцо, а именно подкольцо лиева кольца
эндоморфизмов аддитивной группы R+ кольца R, т.е. проверьте, что:
а) нулевой эндоморфизм является дифференцированием;
б) если 5i и 52 — дифференцирования кольца R, то эндоморфизм его аддитивной группы 5i + 52 также будет
дифференцированием;
в) эндоморфизм —5, противоположный дифференцированию 5, сам будет дифференцированием;
г) лиево произведение 5i о 52 = 55 — 525i дифференцирований 5i и 52 само будет дифференцированием.
Покажите, что константы составляют в R подкольцо, а в поле — подполе.
11.46. Найдите все дифференцирования колец:
а) Z; б) Z[x]; в) Z[xi,… , xn].
11.47. 1) Булево кольцо R коммутативно и его элементы a удовлетворяют тождеству a + a = 0.
2) Коммутативное кольцо R является булевым тогда и только тогда, когда оно не имеет нильпотентных элементов
и (a + b) ab = 0 для всех a, b E R.
3) Пусть (B, +, •,’) — булева алгебра. Для a,b E B положим a 0 b = ab’ + a’b и a о b = ab. Тогда (B, 0, о) становится
булевым кольцом.
4) Пусть (R, 0, о) — булево кольцо. Положим a + b = (a 0 b) 0 (a о b) и ab = a о b. Тогда R становится булевой
алгеброй B. Кольцо, получаемое из алгебры B с помощью 3), совпадает с R. Применение описанной в 4) конструкции
к кольцу, указанному в 3), приводит к исходной алгебре B.
Более широкий класс образуют альтернативные кольца, т.е. те кольца, в которых ассоциативны все подкольца,
порожденные двумя элементами. Классический пример альтернативного кольца — алгебра Кэли (см. 12.75).
Если a,b,c — элементы некоторого кольца, то назовем ассоциатором этих элементов элемент [a, b, c] = (ab)c — a(bc).
11.48. Всякое кольцо, все подкольца которого, порожденные тремя элементами, ассоциативны, само ассоциативно.
Ассоциатор дистрибутивен по каждому своему аргументу. Далее, равенство [a, b, c] = 0 равносильно тому, что для
элементов a, b, c выполняется закон ассоциативности (ab) c = a (bc). Кроме того, следующие условия эквивалентны:
а) кольцо R альтернативно;
б) [a, a, b] = 0, [a, b, a] = 0, [b, a, a] = 0 для любых a, b E R;

68 Общие свойства колец.

в) в кольце R выполняются два тождества из трех, указанных в б).
Если в кольце элементы a, b, c подвергнуты некоторой перестановке, то ассоциатор [a, b, c] не меняется, если эта
перестановка четная, и меняет знак, если она нечетная.
11.49. Если e — идемпотент кольца R, то:
а) 1 — e — также идемпотент;
б) t = e + (1 — e)xe — также идемпотент для любого x € R; кроме того, для всякого такого t найдется y € R со
свойством e = t + (1 — t)yt;
в) множество eRe = {ere | r € R} — кольцо относительно операции умножения, индуцированной соответствующей
операцией кольца R;
г) е примитивен тогда и только тогда, когда кольцо еЯе не содержит идемпотентов, отличных от 0 и е.
11.50. Все обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) относительно умножения. Найдите группу обратимых
элементов следующих колец:
а) Z; б) Zn; в) Z[i];
г) кольца верхних треугольных матриц над полем.
Будут ли группы U(Z4), U(Zg), U(Zg) циклическими?
Покажите, что группа U(Z[\/3]) бесконечна.
11.51. Пусть элементы a и b кольца R таковы, что ab = 1 и ba = 1. Покажите, что:
а) элементы b2 a2, ba — b2 a2, 1 — ba + b2a2 — идемпотенты;
б) в R при любом натуральном п можно указать п попарно ортогональных идемпотентов, т.е. таких идемпотентов
ei,… , en, что eiej = 0 при i = j.
11.52. Степенной ряд f = akxk обратим в кольце R [[x]] в точности тогда, когда ao — обратимый элемент
k=o
кольца R.
11.53. Числа ±1, ±i суть корни уравнения x4 = 1 над полем комплексных чисел. Рассмотрим уравнение x3 = 1.
Так как x3 — 1 = (x — 1) (x2 + x + 1, то его корнями будут 1 и (—1 ±у/—3)/2. Пусть ш = (—1 + у/ — 3)/2. Нетрудно
проверить, что ш2 = (—1 — д/ —3)/2 и что 1 + ш + ш2 = 0. Покажите, что множество Z[<J\ = {m + пш \ m,n € Z}
образует коммутативную область относительно сложения и умножения.
Проверьте, что комплексно сопряженное число ш совпадает с ш2. Используя это, докажите, что кольцо замкнуто
относительно комплексного сопряжения.
П , б , , — 1 + \/—3 (2m — п) +п^—3
Покажите, что всякое число m+пш можно записать в более явном виде m+пш = m+n————————- 2———-= 2———- .
Используя это, докажите, что:
а)) кольцо Z^п]г с [о ]в падает с кольцом чисел вида 2————р— -+— ———- , где р и q — целые числа одинаковой че-тности;
б) Z[V —3] является подкольцом в Z^];
в) число 3 не является простым в Z^].
Пусть Zp — множество формальных степенных рядов вида £ = so + siP + … + snPn + …, где р — некоторое
фиксированное простое число, а sn =0,1,… ,р — 1; £ называется целым p-адическим числом. Если Z = ro + Г1р +
… + Гпрп + … — другое целое р-адическое число, то сумма £ + Z = qo + qlP + … + qnPn + …, произведение
£Z = qo + qiр + … + ПП + … определяются так: qo = so + ro — кэр, qn = sn + rn + kn-i — knр, qo = soro — mop,
q’n = sorn + sirn-i +… + snro + mn-i — mnP (n = 1,2,…), где целые числа ko, kn, mo, mn однозначно определяются
тем условием, что все числа qo, qn и qo, q’n лежат между 0 и р — 1. Получающаяся так коммутативная область Zp
называется кольцом целых p-адических чисел. Отметим, что \Zp\ = 2^0.
11.54. 1) Противоположным к числу
£ = snTJn + Sn+lPn+l + … (sn =0)
является число
— £ = (р — ^)рП + (р — sn+l — 1 ) р П+1 + ….
2) Обратный элемент £-i для £ = so + s^ + … + snVa + … существует если и только если so = 0, его можно найти
методом неопределенных коэффициентов, группа U(Zp) состоит из всех таких чисел £.
3) Множество Zp^ «дробных» р-адических чисел вида ^ SnPn, 0 ^ sn < р, образует уже поле p-адических чисел.

69 Общие свойства колец.

Пусть R — кольцо, G — группа. Определим групповое кольцо RG группы G над кольцом R. Его элементами
являются всевозможные формальные конечные суммы вида ^ rgg, Гд E R, а операции определяются формулами:
geo
Ysrg g +Y; sgg = Y;(rg + sg) g,
geo geo geo
I V r g ) ^ shh\ = ^ utt, где Щ = ^ rgsh E R.
\geO J \keO J teo gh=t
11.55. Покажите, что RG является кольцом для любого кольца R и любой группы G, причем это утверждение остается
справедливым, если G — произвольная полугруппа с единицей. Кольцо многочленов R [x] является частным
случаем этой конструкции (в качестве G нужно взять полугруппу, состоящую из всех неотрицательных степеней
x).
Отображения r re, r E R (e — единичный элемент группы G), и g 1g, g E G, являются, соответственно,
вложением (см. § 12) кольца R в кольцо RG и вложением группы G в группу обратимых элементов кольца RG.
Элементы r и g отождествляют с их образами при указанных вложениях. Получается, что единичный элемент e
является единицей в RG.
11.56. Групповое кольцо ZG называется целочисленным. Если G — циклическая группа порядка 2 или 3, то обратимые
элементы целочисленного группового кольца ZG исчерпываются элементами ±g (g E G). Это не так для
группы G порядка 5.
11.57. Если G — конечная группа, то кольцо ZG имеет делители нуля и в нем нет идемпотентов, кроме 0 и 1.
11.58. Пусть G — конечная группа. Тогда если элемент n • 1, где n = \G\, обратим в кольце R, то элемент
(n • 1)-1 g является идемпотентом в групповом кольце RG.
geo
В упражнении 11.24 введено кольцо многочленов R [x] от переменной x над кольцом R. В следующих трех упражнениях
указываются новые операции умножения многочленов. При этом получаются другие кольца многочленов.
11.59. Пусть а — некоторый автоморфизм кольца R. Сохраним прежнее сложение многочленов и зададим новое умножение
многочленов равенством xa = a(a)x (a E R) и его следствиями (смысл этого поясняется ниже). Проверьте,
что множество всех многочленов с данными операциями сложения и умножения образует кольцо. Оно называется
кольцом косых многочленов от переменной x над кольцом R и обозначается R [x, а]. Ясно, что для тождественного
автоморфизма а кольцо R [x,a] совпадает с R [x]. Разберитесь, как умножаются многочлены в кольце R [x,a].
В силу дистрибутивности для этого достаточно определить значение произведения axm • bxn. Проверьте, что оно
равно aam (b) xm+n.
11.60. Пусть 5 есть дифференцирование кольца R (см. 11.45). Тогда множество всех многочленов от переменной x
над кольцом R является также кольцом относительно обычного сложения многочленов и умножения, которое определяется
равенством xa = ax + 5 (a) (a E R) и его следствиями. Это кольцо называется кольцом дифференциальных
многочленов и обозначается R [x,5]. Проверьте, что R [x,5] действительно кольцо. Вычислите произведение axm
на bxn в этом кольце.
11.61. Конструкции колец многочленов из упражнений 11.59 и 11.60 можно объединить следующим образом. Пусть
снова а — автоморфизм кольца R. Отображение 5: R R называется а-дифференцированием кольца R, если
5 (a + b) = 5(a) + 5(b) и 5 (ab) = 5(a^(b) + a5(b) для любых a,b E R. Докажите, что получится кольцо многочленов,
обозначаемое R ^^,5], если сохранить то же сложение, а умножение задать равенством xa = а(a)x + 5(a)
(a E R) и его следствиями. Если а — тождественный автоморфизм, то приходим к кольцу дифференциальных
многочленов R [x,5], а при 5 = 0 получаем кольцо косых многочленов R ^,а]. Выясните, как перемножаются в
кольце R [x, а, 5] axm и bxn.

70 Общие свойства колец.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика