дома » Алгебра в школе » Свойства комплексных чисел

Свойства комплексных чисел

§ 3. Свойства комплексных чисел

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Натуральная степень бинома (формула Ньютона)

Те о р ема 1 . Каковы бы ни были комплексные числа а, (3, у,
справедливы следующие равенства’.
а) = (переместительный закон сложения);
б) (a — р) —|— y= а (Р —J— -у) (сочетательный закон сложения);
в) ap = (3a (переместительный закон умножения);
г) (аР)т — а (Рт) (сочетательный вакон умножения);
д) a (Р —f— -f) = —{— a-y (распределительный закон умножения относительно
сложения).
До к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть а = а — \-Ы ‘, р = с-{-<Й. Тогда
a — f р= (а bl) — f (с — f d t)= (а -+• с) + ф -f- d) i,
р -f- a = (с + dt) — f (а -j- bl)= (c+ a) + ( d + b) I
Так как сложение вещественных чисел подчиняется перемести гель-
ному вакону, то
а с = с •}• а; b -j— d = d -J- b.
На основании правила равенства
(а + с) + (b + d) t = (с + а) Чт {d — f b%
т. е. a -|-p = p-f-a.
Таким же путем могут быть доказаны и остальные части этой
теоремы.
Опред еление . Вычесть из комплексного числа а комплексное
число р — это значит найти такое комплексное число у, чтобы
а = Р — И —
Те о р ема 2. Каковы бы ни были комплексные числа а и J3,
существует и притом только одно комплексное число, являющееся
разностью а — р.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть a = : a -{-#/; р = с + Предположим,
что разность a — р существует и равна x -{ -y i. Тогда по определению
вычитания,
а —|— bl = (с *“J— di) —|— (х +yi%
По правилу сложения,
a -j- bl = (с -J- х ) {d у ) I.

429 Свойства комплексных чиселКабинет Математики.

На основании правила равенства
с — \ — х — а, )
1 ( 1 )
Система (1) имеет единственное решение
х = а — су )
I ®
Это означает, что если разность существует, то она единственна
и вычисляется по, формулам (2).
Для того чтобы доказать, что разность на самом деле существует,
достаточно произвести сложение
(€ + di) + [ ( a r — c ) — \ — ( b — d ) i ]
и убедиться, что сумма равна а-\-Ы.
Опр е д е л ение . Разделить комплексное число а на комплексное
число р — это значит найти такое комплексное число 7, чтобы
« = Р т . ‘
Те о р ема 3. Каковы бы ни были комплексные числа а и jv
существует и притом только одно комплексное число, являющееся
частным от деления а на $, если только р 0 —j— 0г.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть a = a-f-W; $ = c-\-di\ p ^O- f -О/.
Предположим, что частное от деления а на р существует и равно
x — \- y i. Тогда, по определению деления,
a —j— b i= (с —j— di) (х -j— yi).
По правилу умножения,
а 4 — Ы = (сх — dy) -{- (су -}- dx) L
На основании правила равенства
с х — dy — aу )
dx-\~cy=zb. J ^
Ясно, что с9 иначе c — d — 0 и р = 0-{-*0/ (здесь не надо
забывать, что с и d — действительные числа; сумма квадратов действительных
чисел равна нулю только тогда, когда каждое из этих
чисел равно нулю). Система (3) имеет единственное решение
ac-\-bd be — ad , . ч
у = г^ г- И)
Это означает, что если частное существует, то оно единственно
и вычисляется по формулам (4).
Остается доказать, что частное на самом деле существует. Для
этого достаточно произвести умножение
‘ ас -\-bd * be — ad ;\
1 + d*’ т » са 4- d* 7
и убедиться, что произведение равно а -j- Ьи

430 Свойства комплексных чиселКабинет Математики.

Оп р е д е л ение . Числа а-\-Ы и а — Ы, действительные части
которых равны, а коэффициенты мнимых частей равны по абсолютной
величине и противоположны по знаку, называются сопряженными.
Деление комплексных чисел обычно производят посредством умножения
делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Поиме о 3 + * — (3+-*H1 п р и м е р . 1 — / — + Q—- 2 +2 4′ —- i 1 +I о j
Упражнения
1. Доказать, что сумма и произведение двух комплексных сопряженных
чисел вещественны.

431 Свойства комплексных чиселКабинет Математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии