Свойства логарифмической шкалы

Смотреть только на досуге! 🙂

Одно из важнейших свойств логарифмической шкалы
заключается в том, что она периодична.
Поясним это. Если бы логарифмическую шкалу 1, . . . . 10
продолжить вправо для чисел 10, 20, 30, . . . , 100, то
пришлось бы от начала шкалы (от пометки 1) отложить
вправо отрезки, равные, точнее пропорциональные, соответственно
lg 20, lg30, lg 40, . . . . lglOO. Ho lg 2 0= = T -f-lg 2,
lg 30 = 1 lg 3 и т. д. Отсюда видно, что построение
дополнительной шкалы свелось бы к тому, что к первоначальной
шкале длиною, равной масштабу, пристраивалась бы
снова такая же шкала. Точно так же снова повторилась бы
шкала и для чисел от 100 до 1000 и т. д. •
То же самое можно заключить и о шкале для чисел,
расположенных слева от 1, например для чисел: 0 , 1; 0 ,2 ;
0,3; . . . ; 1; изображенная на рис. 103 шкала оказалась бы
смещенной влево на всю ее длину (250 мм). !
Этого и следовало ожидать, исходя из свойств десятичных
логарифмов: логарифмы чисел 0 ,02; 0 ,2; 2; 20; 200;
2000 и т! д. имеют одинаковые мантиссы; отличаются они
’лишь характеристиками. Производя те или иные операции
на линейке, мы в сущности оперируем с мантиссами, поэтому
нам достаточно иметь под руками логарифмическую шкалу
длиною 1— 10. Роль характеристик при вычислениях с помощью
линейки играют значности, которые подсчитываются
без линейки и позволяют найти искомый результат.
Таким образом, свойство периодичности позволяет заменить
бесконечную шкалу одним ее Отрезком, например
от 1 до 10.

300 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства логарифмической шкалы.

§ 160. О делениях на основной шкале.

На основной логарифмической шкале деления нанесены
от 1 до 2 через 0 ,01:
1,01; 1,02; 1.03; 1,04; 1,05 и т. д.;
от 2 до 4 через 0,02: —
2,02; 2,04; 2,06 и т. д.;
от 4 до 10 через 0,05:
4,05; 4,10; 4,15 и т. д.
Принято говорить, что «цена» мелкого деления на участке
от 1 до 2 равна 0 ,01, «цена» мелкого деления на участке
от 2 до 4 равна 0,02, а на участке от 5 до 10 равна 0,05.

§ 161. Установка и чтение чисел на основной
шкале (А и А,)

Прежде чем приступить к изучению различного рода
действий, производимых на логарифмической линейке, необходимо
научиться делать установку чисе# с помощью
визира и прочитывать числа, стоящие под наведенной визирной
линией.
При этом следует помнить, что на линейке нормального
типа можно поставить или прочитать три (редко четыре)
последовательные значащие цифры числа. Когда требуется
поставить на линейке число с ббль- . _ •
шим количеством цифр, его прихо- I
дится предварительно округлять. —,/•. I t ■ , , i —
НШШНШИШШШНШНШШШ’ШШШ
При установке уже округленного — ;п шишншшшшишнщнн ’» н
числа на линейке не принимаются ‘ ‘ ‘ Г 1 ‘ ‘ ‘■ ‘ 3’
во внимание нули, стоящие до пер- Т
вой значащей. цифры, и все нули, 2 — 3 — 8
стоящие в конце числа. Например, рис 104
установка чисел 238; 0,238; 238 000;
0,000 238 на линейке будет одна и та же. Каждое из этих
чисел читаем на линейке так: 2 — 3 — 8 .
Рисунок 104 показывает, как нужно ставить на линейке,
например, число 2 — 3 — 8.
Первая цифра 2 соответствует числу крупных делений,
вторая цифра 3 — числу делений второго разряда, третья
цифра 8 — числу мелких делений, т. е. делений третьего
разряда, их взято 4, так как в данном промежутке цена
одного мелкого деления равна двум единицам третьего разряда.

301 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства логарифмической шкалы.

На рис: 105 показана установка числа 4 — 0 — 5. Нуль
отражает отсутствие единиц второго разряда. —
Обратно, если нужно прочесть число, стоящее под наведенной
визирной линией, то называют ближайшую слева
цифру первого разряда, но-
г том ближайшую слева цифру
второго разряда и цифру
третьего разряда, которую
J в большинстве случаев при-
_ е _ ходитея прочитывать на
глаз. Рис. 106 изображает
Рис. 106. код визирной линией число
3 — 6— 5.
Напомним, что до тех пор, пока визирная линия не вышла
за пределы, например, промежутка 1— 2 , все отсчеты
будут начинаться , с цифры 1. Аналогично обстоит дело
с делениями второго разряда.
Точно так же устанавливаются и прочитываются числа
на соприкасающейся шкале движка, которую коротко будем
называть шкалой Лх.

§ 162. Умножение на линейке.

Умножение чисел на логарифмической линейке основано
на графическом сложении логарифмов этих чисел, так как
Igab — \ga-\~lgb.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть требуется умножить 2 на 3. Наводим визирную
линию на отсчет 2 на основной шкале Л. Под визирную
линию подводим единицу —’ начало шкалы Лг Берем визиром
отсчет 3 на шкале Л1 и ♦
под ним прочитываем на Г 1
шкале Л произведение 6 .
Схематически это умножение
изображено на
рис. 107.
2. Пусть надо умножить
8 на 5. Наводим визирную
линию на отсчет 8 шкалы А. Если подведем под визирную
линию начало шкалы Л р то отсчет 5 на шкале движка Д,
окажется за пределами шкалы Л, Это и понятно, потому
что при сложении мантисс логарифмов 8 и 5 получится число,

302 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства логарифмической шкалы.

ббльшее 1: tg 8 — f — lg 5 = 3 .9 0 3 — f -O ,6 9 9 = 1,602. Измерим
циркулем, насколько выступает пометка 5 на шкале Аг за пределы
основной шкалы А, и отложим этот отрезок на основной
шкале Л от ееначзла. Против конца этого отрезка
стоит на шкале А пометка 4. Этот отсчет следует в 10 раз
увеличить, так как число,
соответствующее логарифму
1,602, должно иметь в целой
части две цифры.
Тот же самый результат
проще получится так:
вместо начальной единицы
движка подводим конец
движка под отсчет 8 взятый по шкале А. Под отсчетом 5
шкалы движка можно прочесть на шкале А результат 40.
Схематически это умножение изображено на рис. 108.
Приведенные выше два примера имели своей целью пояснить
принцип умножения чисел на логарифмической линейке.

Более сложный случай умножения, когда результат не
может быть получен в уме:
. 0,0215-32,2.
Как видно из рис. 109, результат равен 6 — 9— 2. Возникает
вопрос, что означает первая цифра 6 , — — другими
словами, где достодитйД|Щидаушздцк^1Р. Можно произвести
грубую оценку полученного результата, округлив данные до
одной значащей цифры:
0,02 • 30 = 0,60.
Ясно, что первая цифра результата означает десятые доли.
На первых порах рекомендуется именно таким образом
делать грубую «прикидку» ожидаемого результата.

303 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства логарифмической шкалы.

В случаях, кбгда приходится находить. произведение большего
числа сомножителей или производить> еще н другие
действия помимо умножения, возникает потребность в другом
правиле оценки значимости в результате первой цифры, т. е.
оценки того, представляет ли первая значащая цифра сотни,
десятки или, быть может, тысячные доли и т. д. Введем
понятие значности числа.

304 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства логарифмической шкалы.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.