§ 11. Свойство непрерывности совокупности
действительных чисел
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Свойство непрерывности
В § 10 мы установили, что всякое действительное число может
быть задано в виде бесконечной десятичной дроби. Значительно
сложнее доказывается, что всякая бесконечная десятичная дробь
(без девятки в периоде) может служить записью некоторого действительного
числа. Доказательство этого утверждения тесно связано с так
называемым свойством непрерывности прямой линии.
Наглядная сущность свойства непрерывности прямой линии состоит
в том, что между отдельными точками на прямой нет никаких пустот.
Строго это свойство описывается одной из аксиом геометрии, так
называемой аксиомой непрерывности.
Раньше, чем сформулировать эту аксиому, введем некоторые
вспомогательные понятия.
Пусть на прямой даны два отрезка АВ и CD такие, что оба
конца С и D отрезка CD лежат на отрезке АВ (т. е^ внутри или
на концах его). Будем говорить, что отрезок CD вложен в отрезок
АВ.
Теперь представим себе, что нам дана бесконечная совокупность
отрезков АХВ\> А ф г> АъВг> А45 4,…, из которых каждый последующий
вложен в предыдущий. Предположим, кроме того, что длины отрезков
AiBit A становятся все меньше и меньше, неограниченно
близко подходя к нулю (например, длина AiBt равна у , длина А^В%
равна длина А%Вг равна у
и т. д. — см. рис. 36).
Т акая последовательность
промежутков называется стяги- Рис. 36.
бающейся.
Теперь мы можем сформулировать аксиому непрерывности.
Аксиома. Для всякой стягивающейся последовательности
промежутков на прямой существует точка, принадлежащая
всем промежуткам последовательности.
Как было сказано выше, сущность аксиомы непрерывности
состоит в том, что между точками, лежащими на прямой линии, нет никаких
пустот. Действительно, в аксиоме непрерывности как раз и утверждается,
что всякая стягивающаяся последовательность промежутков
«стягивается» к точке, а не к «пустому месту».
Легко видеть, что точка х , к которой «стягивается» стягивающаяся
последовательность промежутков, может быть только одна (рис. 7).
В самом деле, если бы таких точек оказалось две, М и N, то длина
каждого из промежутков последовательности была бы не меньше
длины промежутка MN и, следовательно, эти длины не могли бы неограниченно
приближаться к нулю.
239 Алгебра Свойство непрерывности совокупности действительных чисел, День учителя в библиотеке
Теперь легко доказать, что бесконечная десятичная дробь является
записью некоторого действительного числа.
Пусть дана бесконечная десятичная дробь, например,
2,1211211121111211111…
(мы взяли дробь с такой закономерностью следования цифр: первая
цифра есть двойка, вторая единица, затем двойка и дре единицы, затем
двойка и три единицы, затем двойка и четыре единицы и т. д. Ясно,
что эта дробь не является периодической и, следовательно, не может
являться записью рационального числа).
Рассмотрим на числовой оси отрезки Л05 0, Л3В3, Л3В3,
Л4В4 и т. д., левые концы которых изображают числа 2; 2,1; 2,12;
2,121; 2,1211 и т. д., а правые концы изображают числа 3; 2,2; 2,13;
2,122; 2,1212 и т. д.
Таким образом, за левые концы промежутков мы принимаем точки
Л0, Ах у Л2, . . . , изображающие последовательные «отрезки» данной
бесконечной десятичной дроби, а за правые концы — точки £ 0, £ 1»
В%, . . . , изображающие числа, полученные из «отрезков» данной дроби
посредством увеличения последней цифры на одну единицу.
Ясно, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий.
Далее, длины построенных отрезков равны соответственно 1; -щ;
т. е. эти длины неограниченно приближаются к нулю.
Следовательно, нами построена стягивающаяся последовательность ,
отрезков.
Обозначим через С точку, принадлежащую всем промежуткам этой
последовательности, а через х действительное число, соответствующее
точке С.
Тогда
и т. д.
Из этих неравенств мы заключаем, что «отрезки» 2; 2,1; 2,12;
2,121; . . . являются десятичными приближениями с недостатком к числу л;,
и следовательно, бесконечная десятичная дробь, соответствующая
числу х 9 совпадает с данной дробью 2,1211211121111…
Таким же образом можно рассуждать для любой другой бесконечной десятичной
дроби.
Действительно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (без девятки
в периоде) а0, оц а8 а8 а4… Здесь а0 обозначает целую часть дроби, at , а ,, а8,
а4,… последовательные цифры после запятой. Пусть ап = а0, а4 а8 аь… ап
есть «отрезок» этой дроби, bn = ап + jq* есть дробь, получающаяся из ап
240 Алгебра Свойство непрерывности совокупности действительных чисел, День учителя в библиотеке
увеличением последней цифры на одну единицу. Очевидно, что
0>\ ^ &2 ^ 0 8 ^ it* *^55 fl/j ^ •••) Ь± ^ Ьг • • • »
ап == дол *
Обозначим через Ai, А2, . . . , Ал , . . . точки на числовой оси, изображающие
числа al f 0 2, а8, . . . , 0 * , . . . , а через B i , £ 2, . . . , Вп , . . . точки, изображающие
числа Ъ\ , £2, . . •, Ьп , . . . Так как ап ^ 0 л + 1 < 0 л + 1 ^ £л при любом я,
отрезок Ал + 1 Вп + 1 вложен в отрезок Ал Вп , т. е. в последовательности отрезков
A iB i, А2 £*, • • • , Ап Вп , . . . каждый последующий отрезок вложен в предыдущий.
^
Далее, длина Ai£i равна ^1—f l iss-yy, длина А2 £ 2 равна jqq и т. д.,
т. е. длины построенных промежутков неограниченно приближаются к нулю..
В силу аксиомы непрерывности найдется точка С, принадлежащая всем построенным
отрезкам: Обозначим через х действительное число, соответствующее
точке С. Тогда, в силу того, что С принадлежит отрезку Ап Вп , заключаем,
что ап ^ х ^ Ь п при всех п. Из этих неравенств непосредственно следует, что
число х записывается данной десятичной дробью а0, ах. . . ап . . .
Из аксиомы непрерывности непосредственно вытекает следующая, теорем а,
которая, по сути дела, является алгебраической формулировкой аксиомы непрерывности.
Теорема эта выражает свойство непрерывности совокупности всех
действительных чисел.
Т е о р е м а . Пусть даны две бесконечные последовательности чисел ах,
0 2 г ,. •. t 0 д , 1 и 0 Ь±, &2 * Ьг * • • •» ^д»• • • такие, что а± ^ 0 2 ^ 0 2 ^
^ ап . . . ib x ^ Ъ2 ^ Ьг ^ ^ Ъп ^ . . . , Ъп > ап при всех п и разности
Ъп — ип неограниченно приближаются к нулю при безграничном увеличении
п. Тогда существует одно и только одно число х такое, что ап^ х ^ Ь п
при всех я.
Для доказательства этой теоремы достаточно представить себе ее условие
геометрически.
Рассмотрим на числовой оси отрезки (ап , Ъп). Так мы обозначаем отрезок,
концами которого являются точки, изображающие числа ах и Ьх, 0 2 и b2, as
и Ь%, . . . и т. д. Условие £л > ап означает, что для отрезка (ап , Ьп) точка ап
является левым концом, точка Ъп — правым. Условия « ! ^ a 2 и Ь х ^ Ь г означают,
что при переходе от отрезка (ах, bt) к отрезку (а2, Ьг) левый конец
может сдвинуться только вправо, а правый — только влево , т. е. отрезок
(а2, bs) вложен в отрезок (at , bt). Из неравенств а% ^ аь и Ъ% ^ Ьь заключаем,
что отрезок (я8, Ьг) вложен в отрезок (0 2, Ьа) и т. д ., каждый отрезок совокупности
(ах, bi), (я2, Ь2), (0 8 , Ьъ) ,. . . вложен в предыдущий.
Наконец, неограниченное уменьшение разностей Ьп — ап означает, что
длины отрезков (at , Ьх), (о2 , я2) , . . . , (ап , Ьп) неограниченно уменьшаются.
Таким образом, эти отрезки образуют стягивающуюся последовательность.
Согласно аксиоме непрерывности найдется одна и только одна точка х
(т. е. точка, изображающая некоторое действительное число х \ принадлежащая
всем отрезкам последовательности. Но то, что х принадлежит отрез-
ку (аП9Ья), как раз и означает, что ап ^ х ^ Ь п. Это неравенство выполняется
при любом значении я, так как точка х принадлежит всем отрезкам
рассматриваемой стягивающейся последовательности
241 Алгебра Свойство непрерывности совокупности действительных чисел, День учителя в библиотеке
Околоadmin
Comments