§ 4. Свойства нуля

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Свойства нуля

Известно, что число нуль обладает следующими свойствами:
Св о й с т в о 1. При любом вещественном а а -+0 = а.
Св о й с т в о 2. При любом вещественном а а* 0 = 0.
Св о й с т в о 3. Если произведение двух вещественных чисел
равно нулю, то хоть один из сомножителей равен нулю.
Этими же свойствами в совокупности комплексных чисел обладает
число 0 = 0 +- 0/. Действительно, пусть ot = a+-W. Тогда
1) a — f (0 + OO = (a + W) + (O-f 0i) = a + bi = T9
2) a.(0 + 00 = (a + W)*(0 + 00 = 0 + 0L
3) Предположим, что (a-\-bi)(c-\-di) — 0-J-0i и при этом
cl bi ^fc 0 -J- 0/. Тогда
c + di ~ 7 + T i= 0 + 0L
Итак, если произведение комплексных чисел равно то хоть
один из сомножителей a-j-W и c + di равен
Упражнения
1. Доказать, что — 1 + 3 / и — 1— 3/ удовлетворяют уравнению
** + 2jc+10 = 0.
2. Показать, что сложение, вычитание, умножение и деление действительных
чисел можно производить по правилам, установленным для комплексных
чисел.

§ 5. Геометрическое представление комплексных чисел

Известно, что вещественные числа изображаются точками числовой
оси. При этом каждое вещественное число изображается одной
точкой числовой оси, и, обратно, каждая точка числовой оси служит
изображением одного вещественного числа.

431 Свойства нуля. Кабинет Математики.

Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему
правилу: число а -}- Ы изображается точкой М (а, Ь) (рис. 97).
При таком представлении комплексных чисел каждое комплексное
число изображается одной точкой плоскости, и, обратно, каждая
точка плоскости служит изображением
одного комплексного
числа.
Каждая точка М {а, \Ъ) плоскости
единственным образом опре-.
деляет вектор ОМ. Поэтому возможно
и другое геометрическое
представление комплексных чисел,
при котором комплексное
число a-\-bi изображается вектором
ОМ (см. рис. 97).
Точки оси Ох служат изображением
действительных чисел, и
потому ось Ох называется осью действительных чисел или действительной
осью.
Точки оси Оу служат изображением чисто мнимых чисел, и потому
ось Оу называется мнимой осью.

§ 6 * Комплексные числа э тригонометрической форме

.Пусть М — точка, изображающая комплексное число а-\-Ы
(рис. 97). Обозначим буквой г длину вектора ОМ, а буквой а угол,
образованный вектором ОМ с положительным направлением вещественной
оси, отсчитанный от вещественной оси против часовой стрелки.
По теореме Пифагора
r = Va* + b \
Из тригонометрии известно, что а — г с os a; &=rsi n a . Отсюда
a -j- Ы = г (cos a -j- i sin a).
Правая часть последнего равенства представляет комплексное
число аА^Ы в тригонометрической форме.
Арифметическое значение — Т называется модулем, или
абсолютной величиной комплексного числа, и изображается знаком
|a + W|; а называется аргументом комплексного числа.
Если 0, то модуль a -f- Ы, по определению, — положительное
число. Модуль нуля равен нулю.
В силу того, что cos х и sin х являются периодическими функциями
с периодом 2%, аргумент комплексного числа имеет бесконечное
множество значений. Именно, если а есть аргумент данного

432 Свойства нуля. Кабинет Математики.

аргументом этого числа.
Пример. Представить в тригонометрической форме число 1—I.
Реше н и е . Здесь а = 1; b = — 1. Поэтому r = Y %’>
C0S« = J £ ; , t a . = _ j £ .
Наименьшее положительное значение а равно ^ — 9 поэтому
1— 1 = У 2 ( c o s ^ + isin I?-},
или, в общем виде,
1 — i = У~2 cos (2 4~ 1 sin + 2knj j ,
где k — любое целое число.
Этот же результат можно получить проще, если построить вектор,
изображающий число 1 — U и определить длину вектора }/~2
и угол образованный вектором с положительным направлением
действительной оси.
„ Те ор ема. Модуль произведения двух или нескольких комплексных
чисел равен произведению модулей сомножителей. Аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
{*! = /*! (cos <p! + *sin <р0,
аз = r2 (cos <р2 4 ~ i sin <р*).
Тогда
= гхгг [ (cos <Pj cos <р2 — sin (рг sin <ра) 4 —
+ i(cos (pt sin — f 1 s*n ?i cos Ъ) ]•
По известным формулам тригонометрии ,
aia2 = ГЛ [cos (cpt 4 — <р*) 4- i sin (9, 4 — сp2) ].
Методом математической индукции можно доказать, что теорема
справедлива для любого числа сомножителей.
Теорема. Модуль частного равен частному модулей делимого
и делителя. Аргумент частного равен разности аргументов
делимого и делителя.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть
at = Ti (cos ^ 4 — i sin (pt),
a2 = r2 (cos <p2 4″ 1 sin га v6 0.

433 Свойства нуля. Кабинет Математики.

Тогда
a t Гх cos <pi + f sin <pi r t ( cos <pt + i sin f t ) (cos <ft — / sin y > )
a , r * c o e 9 , + i s in <J>* r , ( COS <f, + 1 s in <Pi) ( COS <p, — i s in cps)
434 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [гл. IX
= (cos 9 , 4 — i sin ft) (cos (— 9 ,) + i sin (— 9 jJJ =
= [cos (<fi — + i sin (<Pi — ?a) ].
r%
r9
£ |
г*
Пример. Зная, что
cos 4 5 ° = sin 45° = cos 3 0 ° = — ^ — ; sin 30°== — i ,
найти cos 16° и sin 15°.
Решение.
cos 45° + / sin 45* , co ко
cos 30* + 1 sin ‘ + 30* = + t Sin 15 ,
значит,
n , V f i
cos l5 °-+isin 1 5 ° =—2_ —-— =У ~ 2 =
^ / 3 , 1 , / 3 + 1
2 ■*” 2 ‘
( l + l ) ( / 3 — l) _ , A s ( / 3 ~ + t ) + ( / 3 — 1 ) 1
C / 3 + / ) ( / 3 — i ) — K 4
Отсюда
4 sin 1 6 ° = V ^’4 — ^ .

434 Свойства нуля. Кабинет Математики.

Околоadmin