СВЯЗЬ ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ
ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ
К МАТЕМАТИКЕ

ЗИВ Б. Г. (Ленинград)

Скачать или посмотреть книгу онлайн
в формате PDF можете на странице Учебники Скачать.

Главная страница ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Изучение функциональной зависимости
пронизывает весь курс школьной математики. Учащиеся
строят графики функций, изучают их свойства,
решают задачи с использованием этих свойств.
Однако необходимо с учащимися рассмотреть, как
и где элементарные функции применяются на практике,
в смежных, науках. В этом случае ученики быстрее
убедятся в том, какое важное место в жизни современного
человека занимает математика, поймут и оценят
красоту и силу математических методов.
В настоящей статье приведены только некоторые
примеры приложения элементарных функций в физике,
предлагаемые автором на уроках в школе. В IX
классе были рассмотрены приложения квадратичной
и других степенных функций. Однако решение задачи
о движении тела, брошенного под углом а к горизонту,
в общем виде давалось в X классе, так как только
к этому времени учащиеся могли выполнять необходимые
тригонометрические преобразования. Примеры
практических приложений тригонометрических функций
были разобраны в конце курса IX класса, причем
тема „Колебания и волны“ по физике изучалась
одновременно с соответствующим материалом курса
математики. Это обеспечивало лучшее усвоение темы
и известную экономию времени.
Применение показательной и логарифмической
функций в физике рассматривалось в X классе.

54

При рассмотрении каждой функции вместе с изучением
ее свойств и построением графиков подробно
освещался вопрос о ее практических приложениях.
В большинстве случаев основные положения сообщались
учителем, а потом полученные знания закреплялись
при самостоятельном решении задач (как в классе,
так и дома). В необходимых случаях ставился
эксперимент, который наглядно иллюстрировал то или
иное явление.
Учащиеся с большим интересом работали на уроках,
где ставились вопросы связи математики с физикой,
так как в новом свете видели все то, что
изучали на уроках математики. Наибольший эффект
достигался в тех случаях, когда учащиеся самостоятельно
могли получить конкретный физический результат
известными им математическими методами.
Проверка знаний учащихся по этим разделам программы
давала, как правило, хорошие результаты.

I. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

1. В курсе физики подробно изучается равномернопеременное
движение и выводится зависимость пути
от времени:
На уроках математики целесообразно показать,
что в этом случае речь идет о квадратной функции
вида у = ах2 4- Ьх, и выяснить физический смысл параметров
а к Ե.
Интерес представляет и построение графика функции
(1).
Так, координаты вершины параболы (рис. 1):
Корни функции:
После этого следует отметить, что по смыслу задачи
область задания функции (1) է > 0, поэтому гра-
I. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
(1)
Կ 0, էշ — (а > 0 , v0 > 0). а
55

фиком этой функции может служить не вся парабола
а только часть ее, соответствующая է > 0.
При решении этой задачи чрезвычайно удобно ещ
раз подчеркнуть, что в математике изучается фунь

цияу = а х 2 + Ьх + с, в общем случае область ее опре
деления есть —оо < х < со, тогда как условие кон
кретной задачи может изменить эту область.
На опыте решения ряда задач мы убедились ւ
большой пользе параллельного применения аналити
ческого и графического способов решения.
Так, задача: „Через сколько секунд тело, брошен
ное вертикально вверх со скоростью 60 м/сек, дости
гает высоты 100 л*?“ ( g ^ 10 м/сек2) — приводит к такор
зависимости: /г = 60/ — 5/2 — и для заданного значения
Л = 100 м дает ответ: ^ = 2 сек и t2 = 10 сек.
График функции Л = — 5/2 + 60/ иллюстрирует этг
решения (рис. 2).
К тому же график показывает, что на высоте 180 м
тело будет только один раз — через 6 сек после бросания;
эта высота является наибольшей при заданной
начальной скорости. По графику можно быстро определить,
через сколько секунд тело будет на любой
высоте, меньшей 180 м. Таким образом, график хорошо
отражает физическую сторону явления.
2. Важное место занимают задачи, где требуется
написать уравнение траектории движения тела. Рассмотрим
две такие задачи.
З а д а ч а 1. Тело, брошенное горизонтально с накальной
скоростью 25 м/сек, упало на землю через

56

3 сек. С какой высоты (հ) брошено тел о? Какова дальность
полета? (рис. 3).
Движение в этом случае можно рассматривать как
сумму двух движений: равномерно-прямолинейного
вдоль оси абсцисс и равномерно-переменного вдоль оси
ординат. Пусть х н у — текущие координаты точки М:
у = հ
х = vt,
§էլ
2
Из первого уравнения имеем:
է = Հ — .
Тогда
у = — х 2 + Л. * W
Это уравнение траектории движения можно записать
в виде:
у = а х 2 + с.
Если подставить числовые данные, считая
g ж 10 м/сек2,
то
1
125
х + հ.
Дальность полета тела տ « 25 • 3 = 75 м.
57

С математической точки зрения дальность полета
тела есть положительный корень квадратичной функции
у — — — х՜ + հ.
125
Тогда при х = 75 у — 0. Отсюда можно определить
հ:
— + հ = 0 , /г = 4 5 м.
З а д а ч а 2. Тело брошено со скоростью v под углом
а к горизонту. Составить уравнение траектории
движения тела и построить ее (рис. 4).
Движение под углом к горизонту можно рассматривать,
как и в предыдущем примере, как сумму равномерно-
прямолинейного движения вдоль оси абсцисс
со скоростью v x — v cos а и равномерно-переменного
движения вдоль оси ординат с ускорением — g и начальной
скоростью v2 = v sin а.
За время է тело в горизонтальном направлении
пройдет путь
X = է>յ է
и в вертикальном направлении — путь
*у = v22 t — շ
Если вместо է подставить значение — , то мы по-
V,
лучим уравнение траектории движения тела:
Vt> Զ 2 Я 2 У = — X * х = X Խ а ———- ——X .
1»! 2v\ 2v2 COS2 а
Итак, траекторией движения тела, брошенного под
углом а к горизонту, является парабола вида:
— 0 „ g „ -х2 + xiga. (у = ах2 + Ьх).
2v2 COS2 a
Для построения графика этой функции учащиеся
должны использовать известные им приемы построения
параболы. Координаты вершины параболы:

58

Найдем корни функции у = — -——Я ՞—֊ -х 2 + x t g a :
2v2 cos2 a
x ( ——-——- + tg a ^ = 0,
V 2v2 cos2 a & J
X i = 0,.
2v2 cos2 a tg a v2 . ո ЛГ2 — —— — = — Sin 2a.
Я £
Для данной конкретной задачи областью определения
функции является
0 < х < — sin 2a (рис. 5).
g
Рассмотрение функции и ее графика позволяет ответить
на ряд практических вопросов. Прежде всего,
расстояние
АС = — sin 2a
g
указывает дальность полета тела, причем при a = 45°
дальность полета тела будет наибольшая (при a = 45°
sin 2a = 1).
Кроме этого, можно определить наибольшую высоту
полета тела по отношению к горизонту; она
определяется ординатой вершины параболы:
уп = V2 sin Ղа.
2g
Интересно также показать, что при углах бросания
а и 90°-—а дальность полета тела будет одинаковой.
Приведенные примеры показывают, как математическими
методами можно решать конкретные физические
задачи.

59

II. ФУНКЦИИ

у = х ~ \ у — х ~ 2 , у = х 2
В общем случае степенная функция может быть
записана так:
у = А х *,
где А и а — некоторые параметры.
На практике встречается очень много явлений, которые
могут быть описаны степенной функцией. В
качестве примера приведем некоторые из них.

1. Закон Ома:

Если Ս = const, то
Мы видим, что сила тока изменяется по закону
У = х ~ 1, х > 0 (рис. 6).
Если R ~ ֊*0 , то / —*• со, что приведет к короткому
замыканию. Если же / ?—» со, то / —>0.

2. Закон Бойля — Мариотта:

PV = const
при постоянной температуре Т.
Мы опять имеем степенную функцию вида у = а х ՜ 1
(рис. 7).
При изменении температуры I изменяется график
функции, так как величина постоянной зависит от Т.
60

3. Закон всемирного тяготения Ньютона

ք _ т , т 2
J г2 *
Сила взаимодействия двух т е л пропорциональна
произведению масс этих тел и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними. Этот
закон справедлив в том случае, если размеры тела
весьма малы по сравнению с расстоянием между ними.
В этом случае сила взаимодействия изменяется по
закону степенной функции у = а х ՜ 2, х > 0 (рис. 8).
Аналогично можно рассмотреть и закон Кулона,
устанавливающий силу взаимодействия между двумя
зарядами:
յ = * դ ֊ .

4. Испускание электронов накаленными
телами.

Испускание электронов металлами под влиянием
температуры называется термоэлектронной эмиссией.
Если эти электроны ускорить внешним электрическим
полем, то они образуют ток. Такой электронный ток
может быть получен в вакууме.
При постоянной температуре катода сила тока зависит
от разности потенциалов V. Используя данные
приборов, можно построить график зависимости / от
V (рис. 9).
На участке ОА сила тока с изменением V изменяется
по закону 3
/ = a V \
61

В этом случае мы имеем дело со степенной функ-
_з_
цией вида у = х 1 , х > 0.
III. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
В общем случае показательная функция может
быть записана так:
где а, А и к — параметры.
При помощи показательной функции описываются
многие важные процессы в природе.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Радиоактивный распад. Закон радиоактивного
распада состоит в том, что масса распадающегося
вещества уменьшается за равные промежутки времени
в одинаковое число раз.
Пусть в начальный момент мы имеем М0 г радиоактивного
вещества и пусть за какую-нибудь единицу
времени, скажем за один час, количество этого вещества
уменьшается в k раз {к > 1). Тогда через час
после начала наблюдения у нас останется Мп՝ — г
и k
этого вещества, через два часа — М0-— г, через три
часа — М0-— г и т. д. к3
Вообще через է часов {է — целое число) масса М
оставшегося вещества будет равна:
Мы получили эту формулу, считая, что время է
изменяется прерывно. Можно показать, что такой же
результат получится и в том случае, если время изменяется
непрерывно.
Таким образом, при радиоактивном распаде количество
вещества изменяется со временем по закону
показательной функции (рис. 10).
Постоянная а имеет определенное значение для
каждого радиоактивного вещества и характеризует
скорость распада этого вещества.

62

Однако в физике принято скорость распада характеризовать
периодом полураспада Т, т. е. тем временем,
за которое количество вещества уменьшается в
два раза (рис. 11).
Зная уравнение распада, можно легко найти период
полураспада Т:
Если строить график зависимости массы радиоактивного
вещества от времени в экспериментальных
условиях, то мы получим некоторую кривую. Как
убедиться в том, что эта кривая есть график показательной
функции? Для этого удобнее зависимость массы
М от времени է изображать на полулогарифмической
сетке:
Мы получили линейную зависимость 1 gM от времени
է. Таким образом, экспериментальные точки, нанесенные
на полулогарифмической сетке, должны лечь
на прямую линию (рис. 12).
При помощи этого графика легко определить период
полураспада радиоактивного вещества.
\
\
о о I Т
Рис. 10. Рис. 11.
М = М0а(;
при է = Т
Т = -— — — (0 < а < 1).
Ig а
М = М0а (;
\g M = \gM0 -\-t\ga.
63

Выше мы получили: Т =
1га
; \ga по графику
определяется как тангенс угла наклона прямой к оси է.
Если время է распада нам неизвестно, но известны
начальная и конечная массы М и М0 вещества, а также
постоянная распада а , то величина է может быть
найдена так:
М = М0а‘; а* = — \
° Afo
/ = loga м
м0
Таким образом, время является логарифмической
функцией отношения — . Отметим, что на этом урав-
нении основан метод датировки археологических находок,
определения возраста минералов по количеству
содержащихся в них радиоактивных веществ и т. п.
2. Поглощение света средой. Рассмотрим следующую
задачу: „Световой луч, проходя через пластмассовую
пластину, теряет 7 3 своей интенсивности. Чему
будет равна интенсивность светового луча, если он
пройдет через п таких пластин?“
Пусть /0 — интенсивность падающего света.
Тогда
1 1 — —з I о ,■ I շ = (Ч—з
интенсивности света после прохождения одной, двух,
трех и т. д. пластин.
64

После прохождения п пластин интенсивность света
будет равна:
.’Ложно показать, что с изменением толщины плас-
:;:ны интенсивность света изменяется по закону:
— 41)’
где л: — толщина пластины. Мы видим, что закон поглощения
света описывается показательной функцией
вида / = /0а*; 0 < а < 1 (рис. 13).
Аналогично происходит поглощение света при прохождении
его в глубины рек, морей и океанов.
Интересна следующая таблица.
X (м) — • 100 {%)
/о
0 100 (на п о в е р х н о с ти воды)
5 18
10 3 ,1
100 0,0000000000001
Мы видим быстрое падение интенсивности света
при его проникновении в глубины морей и океанов.
Если заданы интенсивность падающего света и интенсивность
его после прохождения пластины, то
можно найти соответствующую этим данным толщину
.V пластины:
/ = /0а*;
*о
х — 1°§а ~~ >
т. е. толщина пластины является логарифмической
функцией отношения — . Из приведенных примеров
/о
ясно, что логарифмическая функция повсюду сопутствует
показательной функции.
Б-98—3

65

 

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Интернет бизнес с нуля

КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, СВЯЗЬ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ