§ 7. Связь задачи об извлечении корня с задачей
об измерении отрезков
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Школьные знания точка ком математика
Рассмотрим задачу об извлечении корня с геометрической точки
зрения. Это поможет нам глубже понять, почему точное извлечение
корня из положительного числа часто является неосуществимой задачей,
если оставаться в области рациональных чисел.
Пусть, например, требуется найти У 2 . Представим себе, что мы
идеально точно построили график зависимости у = дг3, соединив непрерывной
линией все точки, ординаты которых равны кубам абсцисс
(рис. 30). Найдем на этом графике точку М с ординатой, равной 2.
С этой целью проведем через точку Р, взятую на оси ординат на
расстоянии 2 от начала прямую РР\ параллельную оси абсцисс. Эта’
прямая пересечется с графиком в искомой точке М. Тогда абсцисса
229 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
точки М должна равняться 3/ 2 , так как ее куб, согласно зависимости
у — х 9, должен равняться 2.
Итак, 3/ 2 есть абсцисса точки М, т. е. длина отрезка ON. Но,
с другой стороны, среди рациональных чисел 3/ 2 не существует. Как
же разрешить создавшееся противоречие?
С одной стороны, мы видим на чертеже
У 2, это есть абсцисса точки М, т. е.
длина отрезка ОМ Результат точного измерения
этого отрезка в выбранном масштабе
даст нам точное значение для
Зуг2. С другой же стороны, 3j/2 среди
рациональных чисел не существует.
Противоречие разрешается так. Не
всякий отрезок имеет длину, измеряемую
(в данном масштабе) рациональным числом,
так что совокупность рациональных
чисел оказывается недостаточной для
измерения длин любых отрезков.
Рис. 30. Если же мы так обобщим и расширим
понятие числа, что окажется
возможным каждому отрезку сопоставить число (из расширенной
совокупности чисел) в качестве длины этого отрезка, то в этой расширенной
совокупности чисел задача о точном извлечении корня любой
степени из любого положительного числа окажется разрешимой. Действительно,
естественно считать, что л/ а есть абсцисса точки графика
зависимости у — х п, ордината которой равна а, т. е. п/ а есть
длина некоторого вполне определенного отрезка.
§ 8. Измерение отрезков. Определение иррационального
и действительного числа
Измерение отрезка осуществляется посредством сравнения его с
некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Именно, если
длина отрезка АВ равна, например, 45 причем за единицу масштаба
принят отрезок CD, то это значит, что часть отрезка CD укладывается
на отрезке АВ ровно 45 раз. Таким образом, в рассматриваемом
случае найдется отрезок MN часть отрезка CDj такой,
что он укладывается на обоих сравниваемых отрезках целое число
раз — 23 раза на отрезке CD и 45 раз на отрезке АВ.
Вообще длина отрезка АВ при сравнении с единицей масштаба
CD выражается рациональным числом в том и только в том случае
230 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
если найдется отрезок MN, который укладывается на обоих отрезках
целое число раз. Именно, если MN укладывается на единице масштаба
CD п раз, а на отрезке АВ т раз, то длина АВ равна
(рис. 31). Обратно, если длина АВ равна ~ (при единице масштаба
CD), то -i- часть CD укладывается на CD п раз, на АВ — т раз.
Отрезок MN, укладывающийся целое число раз на отрезках CD
и АВ, называется их общей ме-
КН
MN
В
д
Рис. 31.
рой. Сами отрезки CD и АВ,
если они имеют общую меру,
называются соизмеримыми.
Итак, длина отрезка АВ
выражается рациональным числом
в том и только в том
случае, если отрезок АВ соизмерим с отрезком CD, принятым
за единицу масштаба.
Если бы оказалось, что любые два отрезка соизмеримы, то совокупность
рациональных чисел оказалась бы достаточной для измерения
любого отрезка. Однако это не так. Именно, существуют несоизмеримые
отрезки. В геометрии устанавливается, например, что
диагональ квадрата несоизмерима с . его стороной. Мы дадим почти
чисто арифметическое доказательство этой замечательной теоремы.
Из арифметики известно, что площадь прямоугольника (измеренная
в квадратных единицах масштаба) равна произведению длин его сторон
(измеренных в соответствующих линейных единицах). Конечно,’
это устанавливалось в . арифметике в предположении, что стороны
прямоугольника выражаются рациональ?
ными числами.
Примем за единицу масштаба сторону
квадрата ОАВС (рис. 32). Отложим
на продолжении сторон ОА и
ОС, от вершины О, отрезки OD и OF,
равные ОА. Тогда четырехугольник
ACDF будет квадратом.. Действительно,
все четыре треугольника АО АС,
AOCD, A ODF и A OF А, очевидно,
равны между собой и каждый из них
есть равнобедренный прямоугольный
треугольник. Поэтому, все 8 острых
углов этих треугольников, при вершинах
А, С, D, F равны 45°, и следовательно,
все углы при вершинах четырехугольника ACDF прямые.
Кроме того, из того же равенства треугольников следует, что
AC— CD — DF— FA.
231 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
Итак, ACDF есть квадрат. Допустим, что его сторона АС (являющаяся
диагональю квадрата ОАВС) соизмерима с единицей масштаба
ОА, и пусть длина АС равна рациональному числу а. Тогда площадь
квадрата ACDF равна а*.
С другой стороны,
пл. ACDF=A пл. О АС,
ибо квадрат ACDF составлен из четырех треугольников, каждый из
которых равен АО АС. Но точно из таких же треугольников, АО АС,
A ABC, A OF А и AFEA, составлен прямоугольник FEBC. Следовательно,
пл. F E BC = 4 пл. О АС = п л . ACDF. Вычисляя, получим
пл. FEBC=FC • СВ = 2 • 1 = 2.
Итак, если длина АС равна а, то а* = 2. Но, согласно теореме
§ 5, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.
Таким образом, допустив, что диагональ квадрата соизмерима с
его стороной, мы пришли к противоречию, тем самым мы убедились
в существовании несоизмеримых отрезков.
Следовательно, рациональных чисел недостаточно для целей измерения
отрезков. Именно, при любом выборе единицы масштаба найдутся
отрезки несоизмеримые с этой единицей, и потому длины их
не могут быть выражены в рацибнальных числах.
Однако наглядное представление о длине отрезка имеет смысл,
независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения
или нет. По своим свойствам длины отрезков совершенно аналогичны
числам. Так же, как и числа, их можно сравнивать по величине.
Далее, мы понимаем, что представляет собой сумма длин двух
данных отрезков — это есть длина отрезка, который может быть разбит
на два отрезка, равных данным. Таким образом, длины отрезков,
подобно числам, можно складывать.
Если отрезок соизмерим с единицей масштаба, то его длина есть
рациональное число. Будем считать, что длина отрезка, несоизмеримого
с единицей масштаба, тоже есть число, но только это число
является числом новой природы— «иррациональным», выходящим за
пределы совокупности рациональных чисел.
Совершенно такое же положение, как с измерением длин отрезков,
имеет место при измерении других величин, когда оно осуществляется
посредством сравнения с некоторой величиной, принятой за
единицу.
Так можно представить себе, например, кусок железа, вес которого
несоизмерим с единицей веса — граммом. Действительно, примем,
для простоты рассуждения, что удельный вес железа точно равен 7,8.
Тогда железный брусок, сечение которого равно точно 1 см*, а длина
равна длине диагонали квадрата со стороной 1 см, не может иметь
232 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
вес, выраженный в целых долях грамма. Действительно, вес такого
бруска должен равняться _/? = 7,8 d г, где d — длина бруска, и если
бы р выражалось рациональцым числом граммов, то d = y g выражалось
бы рациональным числом сантиметров, что, как мы видели, не имеет
места *).
Таким образом, для измерения веса тел рациональных чисел
оказалось тоже недостаточно. То же самое имеет место при измерении
любой величины, могущей изменяться непрерывно. Для
измерения таких величин тоже необходимо привлечение иррациональных
чисел.
Итак, иррациональные числа суть числа, служащие для измерения
величин, несоизмеримых с выбранной единицей измерения.
Такое определение вполне согласуется с представлением о понятии
числа как результата измерения величины. Ведь числа и должны
являться средством для описания результата измерений каких-либо
величин — длины отрезков, площадей, объемов, промежутков времени,
температуры, силы и т. д.
Введение иррациональных чисел совершенно аналогично введению
дробных чисел в дополнение к ранее изученным целым. Ведь и в арифметике
дробные числа появляются из потребности измерения величин,
допускающих дробление на равные части.
В дальнейшем при описании свойств иррациональных чисел, в частности
при описании способа их записи при помощи цифр (§ 10) и
свойств действий (§ 12 — 14), мы будем исходить из более узкого,
геометрического, определения иррационального числа. Именно, иррациональные
числа суть числа, служащие для измерения длин отрезков,
несоизмеримых с единицей масштаба.
Такое сужение задачи измерения (вместо любых величин мы рассматриваем
отрезки) не является существенным, так как процесс измерения,
посредством сравнения с единицей измерения, для любых
величин ничем не отличается от процесса измерения отрезков. Поэтому,
ограничиваясь геометрическим представлением об иррациональном
числе как о длине отрезка, мы не проигрываем в общности в
смысле широты возможных приложений, но выигрываем в простоте и
наглядности.
С геометрической точки зрения иррациональное число ничем не
«хуже» рационального. Например, нет никакого качественного отличия
между длиной диагонали квадрата, стороной которого является
единица масштаба, и диагональю прямоугольника, с длинами сторон
3 и 4, несмотря на то, что первая длина, как мы установили, есть
иррациональное число, а вторая равна рациональному числу 5.
*) Конечно, наше рассуждение идеализировано — мы отвлеклись от атомного
строения материи, представляя себе материю непрерывной, только при
этом отвлечении приведенное выше рассуждение имеет силу.
233 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
Действительно, рассмотрим квадрат ABCD, длина стороны которого равна
7, и впишем в него другой квадрат так, как показано на рис. 33. Площадь
ABCD равна 49, треугольники aDd и ЪсВ, будучи сложены по гипотенузе, образуют
прямоугольник с длинами сторон 3 и 4,
площадь которого равна 12. Треугольники аАЬ и
dcC вместе имеют площадь тоже 12.
Следовательно, площадь abed равна 49— 12 —
— 12 = 25 и потому a b ~ 5.
Мы дали выше определение только положительным
иррациональным числам. Отрицательные
иррациональные числа^определяют-
ся подобно отрицательным рациональным
числам. Именно, каждому положительному
иррациональному числу сопоставляется про-
Рис. 33. тивоположное ему отрицательное. Так же, как
для рациональных чисел, отрицательные иррациональные
числа можно связать с величинами направленных отрезков.
Все рациональные и иррациональные числа, положительные, отрицательные
и нуль, вместе называются действительными или вещественными
числами.
Присоединение к рациональным числам чисел иррациональных,
т. е. переход от совокупности рациональных чисел к совокупности всех
действительных чисел, является очередным и предпоследним шагом в
расширении понятия числа. Так же, как и предшествующие расширения
понятия числа (переход от натуральных чисел к любым рациональным
положительным числам целым и дробным; введение отрицательных
чисел), введение иррациональных чисел расширяет возможности приложений
математики. Следует отметить, что могущественные методы
так называемой высшей математики, изучающей прежде всего переменные
величины, изменяющиеся непрерывно, не могут быть обоснованы
без пользования всеми действительными числами.
Вместе с тем и в пределах самой алгебры введение иррациональных
чисел вносит общность и простоту. В частности, действие извлечения
корня из положительного числа, не всегда осуществимое в
области рациональных чисел, становится осуществимым всегда при
переходе в область чисел действительных, как мы увидим далее в § 14.
234 Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков, Школьные знания точка ком математика
Околоadmin
Comments