Тензорное произведение, плоские и регулярные модули

Поэтому существует однозначно определенный эпиморфизм р: A0 B ^ G, для которого g(a, b) = pe(a, b), где e — тензорное
отображение A х B ^ A 0 B. Функция e^ia, b), определенная на Ai х B, является билинейной, поэтому для каждого i
существует гомоморфизм ^i: Ai 0 B ^ A 0 B, для которого фi(пia 0 b) = e^ia, b). Гомоморфизмы ^i дают гомоморфизм
ф: G ^ A 0 B, для которого
фg (a, b) = ф (пia 0 b) = ^~^ фi(пia 0 b) = ^~^ e(^a 0 b) = e(a, b).
Следовательно, отображение ф обратно отображению р, т.е. р — изоморфизм.
18.7. Пусть a: Ar ^ Br — мономорфизм и ^2 ai 0 mi G Ker (a 0 1m ). Тогда согласно 18.6 существует конечно порожденный
подмодуль Mo С M, для которого ^2 ai 0 mi G Ker (a 0 1mq). Пусть Mo С M1 С M и M1 плосок. Согласно 18.6 б) ^2 ai 0 mi G
Ker (a 0 1mi ). Тогда ^ ai 0 mi = 0 G A 0r M1, откуда ^ ai 0 mi = 0 G A 0r M.
18.12. Очевидно, f сопоставляет элементу a G A отображение f(a): B ^ C, которое переводит элемент b G B в элемент
f (a 0 b) G C. Проверьте, что f(a), f и Ф: f ^ f — гомоморфизмы. Осталось проверить, что Ф — изоморфизм. Пусть
X: Ar ^ Homs(B, C) — гомоморфизм. Тогда (a, b) ^ (xa)(b) есть билинейная функция. Поэтому существует однозначно
определенный гомоморфизм f: A 0 B ^ C со свойством f (a 0 b) ^ (xa)(b). Отображение Ф: x ^ f является обратным к Ф.
18.21. а) ^ б). Если u = ^2 aimi G U П IM, то для t = ^ ai 0 mi G I 0r (M/U) имеем (p 0 1m/u ) t = ^2 ai 0 mi = 1 0 u =
0 G R 0r (M/U). Поэтому t = 0. Соответствие I х (M/U) Э (a,m) ^ am = am + IU G IM/IU задает R-сбалансированное
отображение, которое индуцирует гомоморфизм Л: I0r(M/U) ^ IM/IU. Поскольку t = 0, то 0 = Л (0) = Л (t) = ^2 aimi = u,
откуда u IU.
б) ^ а). Пусть для t = ^2 ai 0 mi G I 0r (M/U) имеем (p 0 1m/u) t = ^2 ai 0 mi = 1 0 ^2 aimi = 0, т.е. ^ aimi G U.
Значит, aimi = ^2 aj uj G IU, где uj G U. Тогда ^2 ai 0 mi — ^ aj 0 uj G Ker (p 0 1m ). Так как M плосок, то ^ ai 0 mi =
aj 0 uj. Следовательно, для y: M ^ M/U имеем t = (1i 0 y) ai 0 mj = ^2 ai 0 mi = (1i 0 y) aj 0 uj = ^2 aj 0 uj =
0. Следовательно, p 0 1m — мономорфизм.
18.23. Докажем этот результат сначала для свободного модуля rF. Пусть {xi \ i G I} — базис F. Если u = ^2 aixi G U,
ai R, то обозначим через I = aiR правый идеал, порожденный коэффициентами ai в представлении элемента u. Так
как идеал I конечно порожден, то по 18.22 U П IF = IU. Откуда u = ^2 bjuj, где bj G I, uj G U. Так как u G J(F) = J(R)F
(17.49), то uj = ^2 cjkxk, где cjk G J(R). Тогда u = ^2 aixi = ^2 ^2 bjcjkxk. Откуда ai = ^2 bjcji GIJ(R), т.е. I С IJ(R).
i j k j
Следовательно, I = IJ(R). Так как идеал I конечно порожден, то I = 0 (15.82). Значит, U = 0.
Пусть теперь P — прямое слагаемое свободного модуля F, F = P 0 P1. Если v: F ^ F/U — канонический эпиморфизм,
то F/U = v(F) = v(P) 0 v (P1), F/U = P/U 0 P1. Так как P/U и P1 — плоские модули, то F/U также плосок. Как было
показано, U = 0.
18.27. (^). Индукцией по числу п образующих подмодуля. Допустим, что любой подмодуль с числом образующих < п
является прямым слагаемым в M. Пусть F = G + L — п-порожденный подмодуль модуля M, где G — (п — 1)-порожденный,
а L — циклический подмодуль в M. Тогда M = G 0 H. Следовательно, F = F П (G 0 H) = G 0 T, где T = F П H. Так как
T = F/G = L/ (G П L), то T — циклический модуль. Поэтому существует прямое разложение M = T0 U. Поскольку T С H,
то H = T 0 W, где W = H П U. Откуда M = G 0 H = G 0 T 0 W = F 0 W.
18.28. Импликации а) ^ б) ^ в) ^ а) и эквивалентность в) г) проверяются непосредственно.
б) ^ д). f (M) = e1(M) и Ker f = (1 — e2) (M).
д) ^ а). Допустим, что M = Ker f 0 N = f (M) 0 L. Пусть t = f |N. Тогда t(N) = f(M). Следовательно, t — мономорфизм.
Возьмем такое g S, что g (x + y) = t-1(x) для всех x f(M) и y L. Тогда f = fgf.
18.29. б) ^ в). Условие f = gf2 влечет Im f П Ker f = 0. Так как a — fg (a) G Ker f, то a G Im f + Ker f для любого a G M,
т. е. M = Im f 0 Ker f.
в) ^ а). Если M = Im f 0 Ker f, то f индуцирует на Im f мономорфизм, который должен быть автоморфизмом, так как
f (M) = f (f (M)). Пусть g G S обратен к f \ f(M) на f(M) и аннулирует Ker f. Тогда если M Э a = x + y, где x G Im f,
y G Ker f, то f (a) = f (x) = fgf (x) = fgf (a) и fg (a) = fg(x) = x = gf (x) = gf (a), т. е. f = fgf и fg = gf.
18.31. Эквивалентность а) б) следует из 18.28.
в) ^ г) следует из того, что fS П vS — прямое слагаемое модуля vS.
г) ^ а). Пусть f G S, v = 1m — f. Так как fS + vS = S, то fS — прямое слагаемое модуля Ss. По 18.28 S — регулярное
кольцо.
а) ^ в). По 18.28 Ss — регулярный модуль. Поэтому конечно порожденный правый идеал X + Y кольца S является
циклическим прямым слагаемым модуля Ss. Поскольку отображение f (x, y) = x — y задает эпиморфизм f: X 0 Y ^ X + Y
с ядром X П Y, то X П Y изоморфен прямому слагаемому модуля X + Y. Следовательно, X П Y — циклический подмодуль
модуля Ss .
18.34. Пусть a G S и U — д.п. для Ker a в Q. Тогда Ker a + U — существенный подмодуль в Q и ao = a \ U — мономорфизм.
Если p: U ^ Q — вложение, то существует такой у G S, что p = yao. Откуда Ker a + U С Ker (aYa — a). Осталось заметить,
что aya — a G J(S) (17.47).
18.37. а) Если a = aca, то в качестве b можно взять cac.
б) Пусть a G Z(R) и a = a2b, b = b2a (см. а)). Так как идемпотент ba является центральным, то bx = b2ax = bxba = baxb =
xbab = xb для любого x R.

188 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.

в) b bRb для любого b I.
18.38. 3) (^). Пусть a = aba и c = cdc. Имеем ac = a(bacd)c = a(bacd)u(bacd)c для некоторого u 6 R. Откуда ac = ac(dub)ac.
(^). Очевидно, поскольку каждый идемпотент является регулярным элементом.
18.39. 1) (^). Так как S — строго регулярное кольцо, то f = eu, где e — центральный идемпотент кольца S, u —
автоморфизм модуля M. Тогда f (M) = e(M) и Ker f = Ker e = (1 — e) (M). Поэтому M = f (M) ф Ker f.
(^). Если f 6 S, g = f \ f (M), то g — автоморфизм модуля f(M). Для m 6 M по условию существуют такие x 6 M и
y 6 Ker f, что m = f (x) + y. Тогда f (m) = f (x) и f (M) = f (M). Пусть h 6 End M — такой, что h (w + z) = g- (w) для
w 6 f (M), z 6 Ker f. Тогда f = f 2h. Поэтому S — строго регулярное кольцо.
2) следует из 1).
3) Пусть M = B ф G = N ф F и e1: M ^ B, e2 : M ^ N — соответствующие проекции. Тогда G + N = G ф (B П (G + N)).
Поэтому справедливость данного утверждения вытекает из равенств B П (G + N) = Im (e^) и (G П N) ф F = Ker (e^).
Докажем, например, первое равенство. Пусть b = g + n, где b 6 B, g 6 G, n 6 N. Тогда n = b — g и b = e1(n) 6 e1(Ime2) =
Im (e1e2), т.е. B П (G + N) С Im (e^). Пусть теперь x 6 Im (e^) = e1(N), x = e1 (n), n 6 N. Если n = b + g, где b 6 B, g 6 G,
то e1(n) = b и x = b = n — g 6 (G + N) П B, значит, Im(e^) С (G + N) П B.
4) вытекает из 3) и 18.38 3).
5) Вытекает из того факта, что согласно 15.93 в этом случае все идемпотенты кольца S центральны.
(^). Пусть M = B ф C = N ф F и a: M ^ B, в: M ^ N — проекции. Если M Э a = n + f, n = b + c, где n 6 N, f 6 F,
b 6 B, c 6 C, то из условия следует, что b 6 N. Имеем ^в)2^) = aвa(n) = aв(b) = a(b) = a(n) = aв(a). Итак, ^в)2 = aв.
18.41. а) Проверяется непосредственно. б) Пусть H — циклический подмодуль модуля P. Тогда H — прямое слагаемое в
M. Поэтому f(H) = g (H) С P для некоторого g 6 EndM. Откуда f(P) С P. в) вытекает из б).
г) По а) существует такой подмодуль E модуля M, что H + C = H ф E. Так как (H + C) /H = C/ (H П C), то E является
циклическим. д) Индукция по числу образующих.
е) K является объединением счетной возрастающей цепи конечно порожденный модулей Hn, где Hn+1 = Hn + Cn, а Cn —
циклический модуль. По д) Hn + Cn = Hn ф En, где En — циклические модули. Пусть Eo = H1. Тогда K = фП^ En.
ж) По а) все подмодули модуля M являются регулярными. По теореме Капланского (теорема 17.2) M = ФieI Mi, где Mi —
счетно порожденные модули. Теперь можно применить е).
з) По теореме Капланского M — прямая сумма счетно порожденных модулей. По ж) M — прямая сумма циклических
регулярных модулей Mi. Каждый циклический проективный модуль Mi изоморфен прямому слагаемому модуля Rr. По д)
K — прямая сумма циклических прямых слагаемых проективного модуля M. Следовательно, K — проективный модуль.
18.42. 1) M — проективный модуль, поэтому по 18.41 з) достаточно показать регулярность M, т.е. что каждый его
циклический подмодуль H — прямое слагаемое в M. Существует n 6 N такое, что H С F = фП=1 Mj. Осталось показать
регулярность F. Индукцией по n. Пусть n > 1 и G = фП-1 Mj, G — регулярный модуль. Пусть f: F ^ Mn — проекция. Тогда
f (H) — циклический подмодуль регулярного модуля Mn, значит, Mn = f (H) ф N. Проективность Mn влечет проективность
f(H). Следовательно, G П H — прямое слагаемое в H: H = (G П H) ф E. Тогда f(E) = f(H) и G П E = 0. Откуда
G ф E = G ф f (H). Так как G П H — циклический подмодуль регулярного модуля G, то G = (G П H) ф L. Поэтому
G ф f (H) = (G П H) ф L ф E = H ф L. Тогда F = H ф L ф N.
2) следует из 1) и 18.41 з).
18.43. Импликация б) ^ а) проверяется непосредственно.
а) ^ б). По 18.42 2) M — регулярный модуль. Поэтому для каждого f 6 S конечно порожденный подмодуль f (M) — прямое
слагаемое в M. Согласно 18.33 6) S — регулярное кольцо.
а) ^ в). Пусть f = ^n=1 mibi 6 N П MI, где mi 6 M и bi 6 I. Конечно порожденный левый идеал Xn1 Rb порождается
некоторым идемпотентом e 6 R. Поэтому bi = aie для всех i = 1,… ,n, где ai 6 R. Тогда если m = ^ П=1 miai, то f = me 6 N
и f = fe NI. Поэтому N П MI С NI С N П MI.
в) ^ а). Пусть a 6 R, M = Rr, N = aR, I = Ra. Так как a 6 N П MI, то a 6 NI = aRa. Следовательно, a = aba для
некоторого b R.
18.45. B х A ^ B <S>r A, (b, a) ^ b <S>r a — S-сбалансированное отображение. Значит, эпиморфизм t существует.

189 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.