Начала теории Галуа

31. Начала теории Галуа.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

Пусть K — поле, G = Aut K — группа автоморфизмов поля K. Обозначим через KG = {a е K | фа = а, ф е
G}. Подмножество KG С K называется неподвижным полем (или полем инвариантов) группы G (KG является
подполем поля K).
Группа автоморфизмов поля F над P называется группой Галуа поля F над P и обозначается Gal F/P (она состоит
из всех автоморфизмов поля F, оставляющих элементы из P неподвижными). Алгебраическое расширение F поля
P называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Тогда | Gal F/P| = [F : P]. Если F —
поле разложения многочлена f е P [x], то Gal F/P называется также группой Галуа многочлена f (x) над P и
обозначается через Gal(f).
Расширение Галуа K/L называется абелевым (соответственно — циклическим), если его группа Галуа абелева
(соответственно — циклическая).
Теорема 31.1. Пусть F — расширение Галуа поля P конечной степени над P, G = Gal F/P — группа Галуа,
Г = {H С G} — множество подгрупп в G и Е — множество промежуточных полей между F и P. Тогда
отображения
H w FH и K w Gal F/K
являются биекциями Г на Е и Е на Г. Кроме того, это соответствие Галуа обладает следующими свойствами:
1) Hi D H2 тогда и только тогда, когда FHl С FН2;
2) IHI = [F : FH], (G : H) = [FН : P];
3) H <G тогда и только тогда, когда FH нормально над P. В последнем случае Gal(FH/P) = G/H.
Теорема 31.2. Пусть K — расширение Галуа поля L, а F — произвольное расширение, причем K, F — подполя
некоторого другого поля. Тогда композит KF является расширением Галуа над F, а K — расширение Галуа
над K П F. Пусть H = Gal KF/F и G = Gal K/L. Если g е H, то ограничение g на K лежит в G и отображение
g w gIK дает изоморфизм H на группу Галуа поля K над K П F, т.е. H = Gal(K/(K П F)).
Теорема 31.3. Пусть K
i и K
2 — расширения Галуа над полем L с группами Галуа G
i и G
2 соответственно.
Предполагается, что Ki и K2 — подполя некоторого поля. Тогда K1K2 — расширение Галуа над L. Пусть
G — его группа Галуа. Отобразим G в Gi х G2 посредством ограничений, а именно g w (g|Ki, g|K2). Это
отображение инъективно. Если Ki П K2 = L, то это отображение есть изоморфизм.
Пример 1. Рассмотрим многочлен f (x) = x4 — 2 над полем Q. Он неприводим по критерию Эйзенштейна. Пусть
а — вещественный корень и i = у/—1. Тогда ± а и ± ia — четыре корня многочлена f (x) и [Q(a) : Q] = 4.
Следовательно, полем разложения этого многочлена будет K = Q(a,i). Нетрудно показать, что [K : Q] = 8. Группа
Галуа многочлена f (x) имеет порядок 8.
Существует автоморфизм т поля K, оставляющий Q(a) неподвижным и переводящий i в —i, поскольку K —
расширение Галуа над Q(a) степени 2. Имеем т2 = 1^, где 1^ — тождественный автоморфизм. В силу мультипликативности
степеней в башнях степени таковы, как указано в последовательностях:
Q —W Q(a) —W K, Q —W Q(i) —W K.
Таким образом, x4 — 2 неприводим над Q(i). Кроме того, K нормально над Q(i). Существует автоморфизм g поля
K над Q(i), отображающий корень a в ia. Несложно проверить, что автоморфизмы 1, g, g2, g3 различны и что
G4 = 1. Таким образом, g порождает циклическую группу (g) порядка 4. Так как т е G и (g) имеет индекс 2
в G, то G порождается элементами g и т, G = (g,t). Непосредственно проверяется, что tg = g3t, поскольку это
соотношение выполняется при действии на элементы a и i, порождающие K над Q. Это дает строение группы G.
Можно проверить, что структура подгрупп следующая

161 Начала теории Галуа.

Здесь H = (1,а2^), F = (1,а,а2,а3^, K = (1,ат), N = (1,а3т^, L = (l,a2,ar,a3r^, T = (1,а2тJ>, R = (1,т) и
5 = -(1, а2, т, а2т)■
Пример 2. Круговые многочлены. Поле разложения Гп над Q многочлена хп — 1 называется круговым или
циклотомическим. Так как все корни степени n из 1 образуют циклическую группу порядка n, то круговое поле
имеет вид Гп = Q(Z), где Z £ C — один из примитивных корней. Круговым многочленом, отвечающим Гп, называется
многочлен Фп(х) = (х — Z) степени ^(n), где произведение берется по всем примитивным корням £■ Имеем
равенства С
п— 1
хп — 1 = П (х — П = П $d(x), Фп(х) ^(xd — 1)^<п«
i=0 d\n d\n
xn 1
Так как Ф1(х) = x — 1 и Фп(х) = —^ , то Фп(х) можно вычислить рекуррентно. Все многочлены Фп(х)
П Фd(x)
d\n, d<n
унитарны и Фп(х) £ Z[x]. Поэтому эти формулы справедливы над любым полем, характеристика которого не делит
n. Хорошо известно, что Фр(х) = xp—1 + xp—2 + … + 1 неприводим для любого простого p■
Теорема 31.4. Круговой многочлен Фп(х) неприводим над Q и, таким образом, [Гп : Q] = ^(n). Кроме того,
круговое поле Гп обладает абелевой группой Галуа, изоморфной U(Zn).
Группа U(Zn) — абелева, поэтому каждое подполе в Гп нормально. Если заменить Q на какое-то поле P, то, в
общем случае, имеется лишь вложение в U(Zn), но не изоморфизм.
Вычисление группы Галуа для конкретного многочлена — непростая задача. Вообще говоря, Gal(/) — собственная
подгруппа в Sn.
Теорема 31.5. Пусть P — поле, char P = 2, f (х) £ P [х] — унитарный многочлен степени n ^ 1 с различными
корнями Bi в поле разложения F D P, S(f) = П (Bi — Bj). Тогда подполем в F, отвечающим Gal(f) П An, является
i<j
P(6(f)). В частности, Gal(f) С An тогда и только тогда, когда дискриминант A(f) = (6(f))2 — квадрат
элемента из P.
Пусть P — поле нулевой характеристики.
Теорема 31.6. Пусть корни Bi, i = 1,… ,n, многочлена f £ P [x] различны. Тогда неприводимость f над P
эквивалентна транзитивности Gal(f) на {Bi,… ,Bn}.
Теорема 31.7. Полиномиальное уравнение f (х) = 0 разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа
Gal(f) разрешима.
Под общим уравнением n-й степени понимается уравнение
с неопределенными коэффициентами, принадлежащими основному полю P.
Можно доказать, что общее уравнение сепарабельно и имеет группой Галуа симметрическую группу Sn- Группа
Sn имеет нормальную подгруппу An. Поскольку при n > 4 группа An проста, то нормальный ряд Sn D An D e
является композиционным. Следовательно, общее уравнение n-й степени при n > 4 неразрешимо в радикалах.
Хорошо известно, что при n = 2, 3,4 группа Sn разрешима, это обстоятельство лежит в основе формул для решений
уравнений второй, третьей и четвертой степени.
G
R N
х aixn— + a2xn—2 — … + (—1)nan = 0
Задачи
31.1. Проведите подробное доказательство примера 1 из введения к § 31.
31.2. Если P/K — абелево (соответственно — циклическое) расширение Галуа, то для любого промежуточного
поля K С F С P расширение F над K является абелевым (соответственно, циклическим) расширением Галуа
над K.
31.3. Пусть n,m — взаимно простые целые числа ^ 1. Докажите, что Гп П Гт = Q.
31.4. Найдите группу Галуа расширения

162 Начала теории Галуа.

а) C/R; б) (
в) L/K, где (L : K)=2;
г) Q(^2 + V3)/Q.
31.5. Пусть G — конечная группа автоморфизмов поля L и K = LG — поле неподвижных элементов. Покажите,
что L/K — расширение Галуа и Gal L/K = G.
31.6. Найдите круговые многочлены Фп^) при n = 1,2,… , 12. Покажите, что Фп(0) = 1 при п> 1.
31.7. Проверьте следующие свойства круговых многочленов:
а) если p — простое число и p|n, то Фрп^) = Фп (xp), если же p \ п, то Фрп^) = Фп (xp) /Фn(x);
б) если p — простое число, то Фрт (x) = Фр (хр ^ для любого целого m ^ 1;
в) если п = p^1 … pmmk — каноническое разложение, то
г) если п нечетно, то Ф2п^) = Фп (—x).
31.8. Пусть K — конечное расширение Галуа и F — произвольное расширение поля L. Тогда [KF : F] делит
[K : L].
31.9. Пусть a = \/2 — вещественный корень, ? — кубический корень из 1, не равный 1, скажем ? = +2^ , и
пусть в = ?a. Пусть, далее E = Q (в), F = Q (a). Покажите, что:
а) E = F;
б) [E : E П F] = 3 и, значит, E П F = Q;
в) EF = Q (a, в) = Q (a, ?) = Q (a, ^— 3) и [EF : F] = 2.
Поскольку 3 не делит 2, то этот пример показывает, что утверждение упражнения 31.8, как правило, неверно, если
K не является расширением Галуа над L.
31.10. Пусть P С K — расширение Галуа с группой G, F и L — два промежуточных поля, N = Gal K/F и
H = Gal K/L (считаем, что N,H С G). Покажите, что:
а) N П H = Gal K/FL;
б) неподвижное поле наименьшей подгруппы в G, содержащей N и H, есть F П L, т.е. F П L = K^N,H^.
31.11. Пусть Ki,… , Kn — расширения Галуа поля L с группами Галуа Gi,… , Gn, причем Ki+i П (Ki… Ki) = L
для каждого i = 1,… ,п — 1. Тогда группа Галуа композита Ki… Kn естественным образом изоморфна произведению
Gi х … х Gn.
31.12. Пусть K — конечное расширение Галуа поля L с группой G, причем G может быть представлена в виде
прямого произведения G = Gi х … х Gn, Ki — неподвижное поле группы Gi х … {е} х … х Gn, где группа из
одного элемента стоит на i-м месте. Тогда Ki — расширение Галуа поля L и Ki+i П (Ki… Ki) = L. Кроме того,
K = Ki …Kn.
31.13. Пусть K — поле и a е K , причем a не является квадратом в K. Тогда многочлен x2 — a не имеет корня в
K и поэтому неприводим. Пусть char K = 2. Тогда:
а) многочлен x2 — a сепарабелен;
б) если a — некоторый корень многочлена x2 — a, то K (a) — поле разложения, являющееся разложением Галуа с
циклической группой порядка 2.
31.14. Пусть K — поле, char K = 2, 3, f (x) е K [x] — многочлен степени 3. Тогда при помощи выделения полного
куба f (x) можно привести к виду f (x) = x3 + bx + c. Допустим, что f (x) не имеет корней в K. Тогда:
а) f(x) неприводим и сепарабелен в K;
б) если a — корень многочлена f (x), то [K (a) : K] = 3;
в) если L — поле разложения многочлена f (x) и G = Gal(f), то G = A3 или G = S3;
г) если G = S3, то K (a) не является нормальным над K;
д) G = S3 в точности тогда, когда дискриминант А = —4b3 — 27c2 многочлена f (x) не является квадратом в K.
31.15. Пусть поле K содержит корни п-й степени из 1, причем char K = 0 или char K = p, где p не делит п. Тогда:
а) для каждого 0 = a е K группа Галуа уравнения xn — a = 0 циклична;
б) если P/K — циклическое расширение поля K степени п, то P = K( tya) для некоторого 0 = а е K.
31.16. Пусть K — поле, 0 = a е K и char K = p. Тогда:

163 Начала теории Галуа.

произведение линейных множителей;
б) если поле K не содержит корни p-й степени из 1, то либо xp — а неразложим), либо а является p-й степенью в K
и имеет место равенство xp — а = xp — вр = (x — в) (xp-i + в xp~2 + … + вр_1).
31.17. Найдите группы Галуа многочленов над Q:
а) x3 — 12x + 8; б) x3 — 3x + 1;
в) x3 — 2x — 2; г) x3 + x + 1;
д) x4 + 4×2 + 2; е) x4 + x2 + 1;
ж) x3 + x2 — 2x — 1 (напомним, что дискриминант многочлена x3 — aix2 + а2x — аз совпадает с выражением
—4а! аз + а!а2 + 18а^2аз — 4а3 — 27а2).
31.18. Найдите группы Галуа многочленов:
а) x3 — 10 над Q (\/2) и над Q ( 3 ) ;
б) x3 — x — 1 над Q \—23).
31.19. Покажите, что круговое поле ri7 = Q ($), $i7 = 1, имеет циклическую группу Галуа G = GalT^/Q =
<^Ф | Ф16 = 1^>, порожденную отображением Ф: $ w $з (3 — примитивное по модулю 17 число). Следовательно, базис
поля деления круга состоит из 16 элементов: $, $з, $9, …. Существуют подполя степеней 2, 4 и 8. Им соответствует
ряд подгрупп:
G = Gi = (Ф) D G2 = {Ф2} D G3 = {Ф4} D G4 = {Ф8} D G5 = е.
31.20. Круговое поле Ti2 имеет группу Галуа, изоморфную Z2 0Z2, собственным подгруппам которой соответствуют
подполя Q(i), Q (\—3) и Q (^/3).
31.21. Убедитесь, что полем разложения многочлена x3 — 2 е Q[x] является
F = Q(a,s) = {1,a,a2,s,sa, sa2}^ = Q(9),
где a = ^2 — вещественный корень, s2 + £ +1=0, 9 = a + s. Группа Галуа имеет строение
G = GalF/Q = {g, t | g3 = е = т2, tgt = g2} = S3,
где g(s) = s, G(a) = sa, G(sa) = s2a, т(a) = a, т(s) = s2. Убедитесь, что в следующей таблице под каждой
подгруппой H С G выписано соответствующее ей неподвижное поле:
G (g) (t ) (gt ) (g2t ) е
Q Q(s) Q(a) Q(s2a) Q(sa) F
так что (g) = Gal F/Q (s), (t) = Gal F/Q (a), (gt) = Gal F/Q (s2a), (g2t) = Gal F/Q (sa).
31.22. Найдите группу Галуа над полем Q уравнения x8 + 1 = 0.
31.23. (Теорема о нормальном базисе). Докажите, что во всяком конечномерном расширении Галуа L поля K с
группой Галуа G существует такой элемент а, что множество {g (а) | g е G} является базисом поля L над K.
31.24. Пусть al,… ,ап — алгебраически независимые элементы над полем K; si,… ,Sn — элементарные симметрические
многочлены от ai,… ,ап, F = K (ai,… ,an) и f (x) = (x — ai). Группа G = Sn действует на F,
i=i
переставляя (ai,… , an). Покажите, что P = FG = K (si,… , Sn) и G = Gal F/P.
31.25. Всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей.
31.26. Группа Галуа всякого конечного расширения L поля Fp циклическая и порождается автоморфизмом x w
xp (x е L).

164 Начала теории Галуа.

Околоadmin