Основные понятия теории абелевых групп

19.14. Так как р-адическая топология группы A хаусдорфова, если и только если р] pkA = 0, то эквивалентность условий
k
а) и б) очевидна. Из б) следует, что hp(a) = то в том и только в том случае, когда a =0. Учитывая также неравенство
hp(a + b) ^ min(hp(a), hp(b)), получаем, что: 1) \\a\\ ^ 0 для любого a 6 A, 2) \\a\\ = 0, если и только если a = 0, 3)
\\a + b\\ ^ max(\\a\\, \\b\\) для всех a,b 6 A.
Таким образом, \\a\\ — норма на группе A. Чтобы доказать импликацию в) ^ г), заметим, что из свойств нормы следует,
что S(a, b) = \\a — b\\ — метрика на A, при которой база открытых множеств состоит из множеств {b 6 A \ S(a, b) < e(-k+1)} =
a + pkA. Таким образом, в) ^ г), а импликация г) ^ а) очевидна.
19.22. Предположим, что выполнены условия а) и a3 6 KerY3. Тогда Y4a3a3 = взYзaз = 0. Следовательно, a3a3 = 0. В силу

189 Основные понятия теории абелевых групп. 

того, что верхняя строка точна, существует элемент a2 G A2 со свойством a2a2 = a3. Откуда $2Y2a2 = y^a2a2 = y^a^ = 0.
Нижняя строка точна, поэтому в^1 = y2a2 для некоторого b1 G B1, а так как у1 — эпиморфизм, то y1a1 = b1 для некоторого
a1 G A1. Таким образом, y2a1a1 = вlУlal = в^1 = y2a2, откуда a1a1 = a2. Это означает, что a3 = a2a2 = a2a1a1 = 0, т.е.
y3 — мономорфизм.
К б) применимы похожие рассуждения (они известны под названием «диаграмный поиск»). Условия а) и б) влекут в).
19.24. а) Если нужный р существует, то из равенства п = ap следует, что вп = flap = 0 и поэтому условие утверждения
необходимо. Обратно, если вп = 0, то Im п С Ker в. Так как Im a = Ker в и a — мономорфизм, то определено отображение
р = a-1п группы G в A. Гомоморфизм р является искомым. Если р’: G ^ A — другое отображение с теми же свойствами,
то ap’ = п = ap. Так как a — мономорфизм, то р’ = р.
б) Доказательство в определенном смысле двойственно а).
19.30. Пусть Ap состоит из всех элементов a G A, порядок которых равен степени простого числа p. Тогда Ap — подгруппа. В
группе Api +.. . + Apk всякий элемент аннулируется произведением степеней чисел p1, … , pk, значит, Ap^Api +.. . + Apk ) = 0
при p = p1, … , pk, поэтому подгруппы Ap порождают в A прямую сумму 0 Ap. Покажем, что всякий элемент a G A лежит
p
в 0 Ap. Пусть o(a) = m = pi … pПп, где pi — различные простые числа. Числа mi = mp- r% (i = 1, … , п) взаимно просты,
p
поэтому существуют такие целые числа 51,… , sn, что sm1 + … + snmn = 1. Имеем a = S1m1a + … + snmna, где mia G Ap,
следовательно, a G Api + … + Apn С 0Ap.
19.34. Пусть в: B ^ C — эпиморфизм, F — свободная группа, p: F ^ C. Для всякого xi из системы свободных образующих
{xi}iei группы F выберем такой элемент bi G B, что вbi = pxi. Соответствие xi ^ bi (i G I) можно продолжить до
гомоморфизма ф: F ^ B. Для него выполнено равенство вФ = р, следовательно, группа F проективна.
Пусть G — проективная группа и в: F ^ G — эпиморфизм свободной группы F на G. Тогда существует такой гомоморфизм
ф : G ^ F, что вФ = 1g. В частности, ф — инъективное отображение на прямое слагаемое группы F, т.е. группа G изоморфна
прямому слагаемому группы F, но подгруппы свободных групп свободны.
19.37. Если A = B 0 C и a = b’ + c’ (b’ G B, cc G C), то pa = pb’ + pc’ = b + c дает pb’ = b. Обратно, если из pa = b + c следует,
что pb’ = b для некоторого b’ G B, то a — b’ G B 0 C, a G B 0 C, значит, A/(B 0 C) является группой без кручения. С другой
стороны, поскольку C есть B-высокая подгруппа, факторгруппа A/(B 0 C) обязана быть периодической, следовательно,
A = B 0 C.
19.46. Проверки требует только достаточность. Пусть {a1, a2, …} — система образующих группы A; A является объединением
возрастающей последовательности своих конечных подгрупп An = {a1, … , an}, п = 1, 2,…. Остается применить
теорему 19.2.
19.47. Предположим, что A = 0 An, где An — прямая сумма циклических групп одного и того же порядка pn. Цоколи
Sn = 0 Ai[p] с возрастанием п образуют убывающую цепочку, причем Sn состоит в точности из тех элементов подгруппы
S1 = A [p], которые имеют высоту ^ п — 1. Элемент a = (b1, b2, …) G ^QZp«, где bn G Zp«, имеет высоту ^ n — 1 только при
b1 = … = bn-1 = 0, поэтому каждая факторгруппа Sn/Sn+1 имеет порядок p. Из An[p] = Sn/Sn+1 следует, что группы An
конечны, поэтому группа A счетна. Полученное противоречие показывает, что A не является прямой суммой циклических
групп.
19.48. Пусть Sn — подгруппа в S = A [p], состоящая из элементов высоты ^ п — 1. Если A — прямая сумма циклических
p-групп, то Sn — прямая сумма цоколей всех прямых слагаемых порядка ^ pn, поэтому факторгруппа Sn/Sn+1 изоморфна
прямой сумме цоколей прямых слагаемых порядка pn в разложении группы A. Следовательно, число прямых слагаемых
порядка pn в разложении группы A в прямую сумму циклических групп равно рангу группы Sn/Sn+1. Подгруппы Sn
определяются независимо от прямых разложений, значит, мощность mpn множества прямых слагаемых порядка pn в любом
разложении группы A в прямую сумму циклических p-групп одинакова. Так как число mo прямых слагаемых вида Z в
разложении A в прямую сумму циклических групп равно рангу без кручения ro(A), то mo также однозначно определяется
группой A.
Из предыдущего доказательства следует, что для прямых сумм циклических групп мощности mo и mpn для всевозможных
п G N составляют полную и независимую систему инвариантов.
19.51. Пусть сначала A — прямая сумма циклических p-групп, и пусть B С A; A является объединением возрастающей
цепи A1 С A2 С … своих подгрупп, где в подгруппе An высоты элементов ограничены, например, числом kn. Подгруппа
B является объединением возрастающей цепи B1 С B2 С . . . , где Bn = B П An. По теореме 19.2 группа B — прямая сумма
циклических групп. Пусть A — произвольная прямая сумма циклических групп. Если T = t(A), то B П T = t(B). Теперь
B/(B П T) = (B + T)/T С A/T, где A/T — свободная группа. Поэтому группа B/(B П T) также свободна. Следовательно,
B = (B П T) 0 C для некоторой свободной подгруппы C группы B. По доказанному, B П T — прямая сумма циклических
p-групп. Значит, B также — прямая сумма циклических групп.
19.52. Предположим, что A = (a1, a2, …) — счетная группа без кручения, каждая подгруппа которой, имеющая конечный
ранг, свободна. Обозначим через An множество, состоящее из всех элементов a A, зависящих от {a1, . . . , an}, и нуля.
Ранг подгруппы An будет ^ п. Так как r(An+1) ^ r(An) + 1, то или группа A имеет конечный ранг (в этом случае
утверждение тривиально), или существует такая подпоследовательность Bn последовательности групп An, что r(Bn) = п и
A — объединение возрастающей цепи 0 = Bo С B1 С B2 С … . Теперь Bn+1/Bn — группа без кручения ранга 1 с конечным
числом образующих. Следовательно, Bn+1/Bn = Z. Откуда Bn+1 = Bn 0 {bn+1) для некоторого bn+1. Элементы b1,b2, …
порождают прямую сумму 0{bn) = A.

190 Основные понятия теории абелевых групп. 

19.53. Пусть N — пересечение ядер всех гомоморфизмов п: A ^ Z. Тогда группа A/N изоморфна счетной подгруппе прямого
произведения бесконечных циклических групп. По теореме 19.3 она свободна, значит, N служит для A прямым слагаемым.
Единственность подгруппы N вытекает из того, что если M — какое-то прямое слагаемое группы A, не имеющее свободных
факторгрупп, то его проекция на F должна быть нулевой. Поэтому M С N.
19.56. Пусть D — делимая группа, A С B и £: A ^ D. Рассмотрим все подгруппы G, A С G С B, для которых существует
продолжение 9: G ^ D гомоморфизма £. Частично упорядочим множество пар (G, 9), полагая (G, 9) ^ (G’, 9′), если
G С G’ и 9 — ограничение гомоморфизма 9′: G’ ^ D на G. Множество этих пар не пусто и индуктивно. По лемме Цорна в
рассматриваемом множестве существует максимальная пара (Go, 9o). Если Go С B и для элемента b 6 B \ Go имеет место
включение nb = g Go при некотором минимальном n > 0, то nx = 9og для некоторого x D в силу делимости группы D.
Отображение ь: c + rb ^ 9oc + rx (c 6 Go, 0 ^ r < n) является гомоморфизмом группы (Go, b) в группу D. Если nb 6 Go
при n = 0, то ^ь является гомоморфизмом группы (Go, b) в группу D при произвольном x 6 D (на r тогда ограничений не
накладывается). Значит, предположение Go С B противоречит максимальности пары (Go, 9o), т.е. Go = B и 9o = £.
19.57. По 19.56 для естественного вложения a: D ^ A и тождественного отображения 1d : D ^ D существует такой
гомоморфизм п: A ^ D, что na = 1d. Откуда A = D ф Ker п. Если для подгруппы B С A имеет место равенство D П B = 0,
то D + B = D ф B и существует гомоморфизм £: D ф B ^ D, совпадающий с тождественным на D и нулевой на B. Если в
предыдущих рассуждениях заменить 1d на £, то A = D ф Ker п, где B С Ker п.
19.58. Если D — максимальная делимая подгруппа группы A и A = D’ ф C, где D’ — делимая, а C — редуцированная
подгруппы, то D = (D П D’) ф (D П C’). Здесь D П C’ = 0, откуда D = D’.
19.59. Периодическая часть T группы D — делимая группа; значит, D = T ф E, где E — делимая группа без кручения.
Нужно показать, что каждая p-компонента Tp группы T есть прямая сумма групп Zp^, а E — прямая сумма групп Q.
Выберем в цоколе группы Tp максимальную независимую систему элементов {ai}iei. В силу делимости в группе Tp для
каждого i существует такая бесконечная последовательность элементов a^ , ai2, …, что a^ = ai, pai, n+1 = ain, n = 1, 2, …;
каждый элемент ai может быть вложен в подгруппу Ai = (ait, ai2, …) = Zp^ группы Tp. Так как (ai) — цоколь группы Ai
и элементы ai (i I) независимы, то подгруппы Ai порождают в группе Tp подгруппу A, являющуюся их прямой суммой:
A = ф Ai. Группа A является делимой подгруппой, и поэтому — прямым слагаемым группы Tp. Но A содержит цоколь
iei
группы Tp, значит, A = Tp.
Выберем максимальную независимую систему элементов {bj}jej в группе E. Так как E — делимая группа без кручения,
то при любом натуральном n существует ровно один элемент x 6 E, для которого nx = bj; значит, каждый bj может быть
вложен в подгруппу Bj = Q группы E. Поскольку {bj} — независимая система элементов, то подгруппы Bj порождают в E
подгруппу B, являющуюся их прямой суммой: B = ф Bj. А поскольку система {bj} — максимальная, то B = E.
jej
Число прямых слагаемых, изоморфных Zp^ или Q, в разложении группы D равно, соответственно, рангу r(Dp) или рангу
ro(D), это замечание заканчивает доказательство утверждения.

191 Основные понятия теории абелевых групп.