ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

§ 206. Свойства абсолютных величин.

В предыдущих главах нам уже приходилось иметь дело
с абсолютной величиной действительных- чисел. Вспомним,
что абсолютной величиной действительного числа а называется
само число а, если оно неотрицательно:
\а\ = а, если 0;
если же число а отрицательное, то его абсолютная величина
равна (— а):
\а\ — — а, если а < 0; ;
|— 51=7=5; ; 112| = 12. / ‘ / .
Св о й с т в о 1. Абсолютная величина суммы не
больше суммы абсолютных величин слагаемых:
Iа ~4~ ^ I -^1 ° И-
Знак равенства может иметь место только в тех случаях,
когда оба слагаемых одинаковы по знаку.
Пример ы. 1)|(—2 )+Д—8)| = |-—2 |+ |—8 |, 10 — 10;
2) 115 —f- (—3)| < 11 5 |- f |—3|, 1 2 < 18. Это свойство распространяется
на любое конечное число слагаемых.
Св о й с т в о 2. Абсолютная величина разности двух
действительных чисел не меньше разности абсолютных
величин этих чисел:

355  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.

Св о й с т в о 3. Абсолютная величина произведения
равна произведению абсолютных величин сомножителей-.
\ab\ = \a \ • \Ь\.
Пример. 13 — (—4) | = | 3 1 — | —4|, 12=12.
Свойс тв о 4. Абсолютная величина частного (дроби)
равна абсолютной величине делимого, разделенной
на абсолютную величину делителя:
I — |т
Пгг р име р . I— —£2-<
Св ой с т в о 5. Абсолютная величина степени с натуральным
показателем равна той же степени абсолютной
величины основания:

§ 207. Функциональная символика.

В краткой записи y — f (я) передается лишь общая мысль
о том, что переменная величина у есть .функция аргумента х
(см. § 44), но закон, по которому каждому значению аргумента
х ставится в соответствие определенное значение переменной
у, уловить из общей записи невозможно.
По-другому обстоит дело, если мы имеем определенную
(конкретную) функцию, например у = — 2 ^ . Записывая ее
сокращенно: у = / (х), мы буквой / обозначаем совокупность
трех действий: возведение значений аргумента в квадрат,
вычитание единицы из предыдущего числа и деление
единицы на полученную разность.
Если в каком-либо исследовании одновременно рассматривают
несколько различных функций одного и того же
аргумента х , то в символической (общей) записи они должны
быть обозначен^ по-разному. Например; / (х), <р(х), F(x)
и т. д. *
Обозначение / (а) означает число, получающееся при
подстановке в* функцию f (х) числа а вместо х; это число
называется частным значением функции.

356 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.

§ 208. Область определения функции.

Если функция задана аналитически, т. е. формулой, то при
изучении’ее свойств и построении графика важно сначала
решить следующий вопрос: какие значения может принимать
аргумент х , для того чтобы функция f { x ) имела вполне
определенное и действительное значение, или, по-другому,
каковы допустимые значения х?
Вопрос этот решается конкретное зависимости от характера
тех операций, которые надо произвести над аргументом
х , чтобы получить соответствующее ‘значение функции.
Пример 1. у = 2х3— х — |-3 .
Здесь х может принимать любое действительное значение,
так как операции: возведение в куб, умножение, вычитание,
сложение — всегда выполнимы над любым действительным
числом я в результате дают действительное число.
Говорят еще, что функция определена на всей числовой оси
или условно записывают:
ОО < X < -f-oo.
Приме р 2. у — У 2 х — х 2.
Последняя операция (действие) при составлении функций
есть извлечение квадратного корня; она требует, чтобы подкоренное
выражение было неотрицательным:
2 х —
Решая это _неравенство, найдем: 0<^х<^2, т. е. х изменяется
на отрезке [0, 2].
Приме р 3. у = ! ^~xi .
. Деление выполнимо, если делитель не равен .нулю:
1 — х 2Ф0, или х Ф ± 1.
Таким образом, допустимые значения аргумента $ — все действительные
числа, кроме ± 1-
Оп р е д е л ен и е . Совокупность всех значений аргумента
х , при которых Дания функция f i x ) имеет вполне

357 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.

определенные и действительные значения; называется ее областью
определения.
Например: 1) область определения функции у — 2х3 —
— х -f- 3 — вся числовая ось; 2) функция y = Y ^ x — х%
определена на отрезке [0, 2}; 3) функция у — ■
У 2х — х3
определена в промежутке (0, 2), так как хфО и хф 2 .

358 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ.