Трудная задача
ГЛАВА VI УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Сборник Математики На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности капирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. |
Текст просто для быстрого ознакомления с темой (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):
Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» из-
вестна многим, но мало кто из видевших эту картину
вникал в содержание той «трудной задачи», которая
на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным
счетом быстро найти результат вычисления:
145 Трудная задача
хорошо справлялись ученики того учителя, который с
сохранением портретного сходства изображен на кар-
тине, именно С. А. Рачинского, профессора естествен-
ных наук, покинувшего университетскую кафедру, что-
бы сделаться рядовым учителем сельской школы. Та-
лантливый педагог культивировал в своей школе
устный счет, основанный на виртуозном использова-
нии свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают
любопытной особенностью: 102+112 + 122 = 132 + 142,
Так как 100+121 + 144=365, то легко рассчитать
в уме, что воспроизведенное на картине выражение
равно 2.
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об
этой интересной особенности ряда чисел более ши-
роко: единственный ли это ряд из пяти последова-»
тельных чисел, сумма квадратов первых трех из ко-*
торых равна сумме квадратов двух последних?
РЕШЕНИЕ
Обозначив первое из искомых чисел через х, имеем
уравнение
Х2+ (х+1J+ (х+2J = (х+3J + (х+4J.
Удобнее, однако, обозначить через х не первое,
а второе из искомых чисел. Тогда уравнение бу*
дет иметь более простой Вид
(*— 1J+х2 + (х+1J= (х+2J+ (х+3J<
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:
х2—10*—11 = 0,
откуда
Существуют, следовательно, два ряда чисел, об*
ладающих требуемым свойством; ряд Рачинского
10, 11, 12, 13, 14
и ряд
—2, -1, 0, 1, 2.
В самом деле,
(—2J + (— 1J + О2 =
146 Трудная задача
Какие числа?
ЗАДАЧА
Найти три последовательных числа, отличающихся
тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше про-
изведения двух остальных.
РЕШЕНИЕ
Если первое из искомых чисел х, то уравнение
имеет вид
(х+1)*=х(х+2) + 1.
Раскрыв скобки, получаем равенство
из которого нельзя определить величину х. Это пока-
зывает, что составленное нами равенство есть тож-
дество; оно справедливо при любом значении
входящей в него буквы, а не при некоторых лишь,
как в случае уравнения. Значит, всякие три по-
следовательных числа обладают требуемым свой-
ством. В самом деле, возьмем наугад числа
17, 18, 19.
Мы убеждаемся, что
182—17- 19 = 324—323=1,
Необходимость такого соотношения выступает на-»
гляднее, если обозначить через х второе число.
Тогда получим равенство
т, et очевидное тождество»
147 Трудная задача
На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.
Школьная математика. Математика в школе.
Околоadmin
Comments