§ 12.Умножение положительных и отрицательных чисел.

Глава II. Положительные и отрицательные числа.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Умножение положительных и отрицательных чисел выполняется по
следующему правилу.
П р а в и л о . Произведение двух неравных нулю чисел равно
произведению их абсолютных величин, взятому со знаком -j-, если
оба множителя имеют одинаковые знаки, и со знаком—, если
знаки множителей противоположны. Если один из сомножителей
равен нулю или оба равны нулю, то и произведение равно нулю.
Например,

Сформулированное правило в случае, если хотя бы один из сомножителей
является отрицательным числом, представляет собой определение
действия умножения и не может быть доказано.

63 Умножение положительных и отрицательных чисел. 

Однако легко на примерах показать его целесообразность.
З а д а ч а . Автомобиль, едущий по шоссе с постоянной скоростью
v км [час, проехал через центр города Н в 0 час. Где находится
автомобиль в момент времени t часов?
Р е ш е н и е . Для определенности будем считать, что шоссе идет с
юга на север. Рассмотрим его как числовую ось, направленную с
юга на север, а автомобиль — как точку, равномерно двигающуюся
по этой оси. За начало отсчета примем центр города Н. Координату
автомобиля обозначим буквой s. Так как автомобиль за 1 час проходит
v километров, за t часов он проходит vt километров. Следовательно,
s — vt.
Эта формула выведена в предположении, что v и t—положительные
числа, только в этом случае проведенное выше рассуждение
имеет смысл. Однако по смыслу задачи как v, так и t могут иметь
и отрицательные значения. Мы уже условились считать скорость
равномерного движения отрицательной, если движение происходит
в направлении, противоположном выбранному направлению прямой.
Мы условились и время считать отрицательным, если соответствующий
момент предшествует моменту времени, принятому за начало
отсчета.
Посмотрим, верный ли результат дает выведенная формула в случае,
если v или t принимают отрицательные значения.
Положим, что v = —30; t = 3.
В этом случае формула s = vt дает s =—90. Этот результат
соответствует действительности. В самом деле, v= — 30 означает, что
автомобиль движется с севера на юг со скоростью 30 км)час и
через 3 часа он окажется на 90 км к югу от города Н, т. е. его координата
будет равна —90, что и было получено из нашей формулы.
Положим теперь т; = 30, t = —3. В этом случае мы должны
ответить на вопрос, где находился автомобиль за три часа до того,
как он проехал через центр города //, двигаясь по шоссе со скоростью
30 км!час с юга на север. Очевидно, что он находился на
90 км к югу от центра города Н, т. е. его координата была равна — 90.
Формула тоже дает 5 = 30 •(—3) = —90.
Положим, наконец, v = —30, / = —3. В этом случае автомобиль
движется с севера на юг, и вопрос ставится о том, где он находился
за 3 часа до того, как он проехал через центр города //. Очевидно,
что он находился на 90 км к северу от начала отсчета, т. е. его
координата равнялась 90 в соответствии с формулой
5 = (—30) • (—3) = 90.
Таким образом, правило умножения позволяет распространить формулу
s = v-t, выражающую зависимость между s, v, t, на любые
значения скорости и времени.
Ответ. s = vt

64 Умножение положительных и отрицательных чисел. 

Целесообразность правила оправдывается и другими соображениями.
Одним из основных соображений является следующее. При действиях
над числами, а особенно над буквенными выражениями, играют важную
роль законы действий, сформулированные для положительных чисел
в § 6 гл. I. Из них к умножению относятся три закона;
1) п е р е м е с т и т е л ь н ы й з а к о н умножения:
ab = Ьа;
2) с о ч е т а т е л ь н ы й з а к о н умножения:
(ab) с —а (Ьс);
у S) р а с п р е д е л и т е л ь н ы й з а к о н умножения относительно сложения:
(a -J- Ь) с = ас -J- Ьс.
Все эти три закона остаются верными при действиях над любыми
рациональными числами.
Справедливость переместительного закона непосредственно следует
из правила умножения, так как в этих правилах порядок сомножителей
никакой роли не играет.
Справедливость сочетательного закона устанавливается так. Абсолютная
величина произведений (ab)c и а(Ьс), очевидно, равна произведению
абсолютных величин чисел а, Ь и с. Знаки произведений
(ab) с и а(Ьс) тоже одинаковы. Действительно, оба произведения
положительны, если все три числа положительны или одно положительно,
а два отрицательны. Оба произведения отрицательны, если все
три сомножителя отрицательны или один отрицателен, а два положительны.
Наконец, оба произведения равны нулю, если хотя бы один
из сомножителей равен нулю. Таким образом, во всех возможных
случаях
(ab) с = а(Ьс).
Доказательство справедливости распределительного закона требует
рассмотрения значительного числа частных случаев, связанных со
знаками чисел а, Ь, а~\~Ьу с и с возможностями обращения одного
из этих чисел в нуль. Поэтому мы ограничимся рассмотрением нескольких
численных примеров:
1) а = 5; Ь = —3; с =—2. В этом случае
(а + *)с = [5 + (-3)К-2) = 2.(-2) = -4;
ас -f Ьс = 5 (—2) + (—3).(—2) = —10 +6 = —4.
Мы получили одинаковые результаты.
2)а — —8; £—8; с = —3. В этом случае
(в-|_а)с = [(_8)+ 8] • (—3) = 0 • (—3) = 0;
ас + Ьс = (—8>(—3) + 8 • (—3) = 24 — 24 = 0.
8 Д, К. Фадцеев^И. С. Сошшский

65 Умножение положительных и отрицательных чисел.

Упражнения

Выполнить умножение:

66 Умножение положительных и отрицательных чисел.

Околоadmin