§ 13. Умножение и деление действительных чисел
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Методическая библиотека учителя
Исходя из определения действительного числа, как длины отрезка,
естественнее всего определить произведение двух положительных чисел
а и Ъ как длину отрезка, получаемого известным из геометрии
построением первого члена пропорции ~ = у . _ Построение это
таково.
Отрывок из Камеди Клаб ‘Балкон наш’.
Берется произвольный угол POQ (рис. 39). На одной из его сторон
откладываются отрезок ОАГ, длина которого равна единице, и отрезок
ОМ с длиной а. На другой стороне
откладывается отрезок OL с
длиной Ь. Точки К и L соединяются
прямой линией. Через точку
М проводится прямая MN, параллельная
KL, пересекающая сторону
ОР в точке N. Длина ON
и есть х.
Действительно, если отрезки
ОМ и OL соизмеримы с единицей
масштаба ОК, т. е. их длины выражаются рациональными числами,
то в геометрии доказывается, что длина ON равна ab, так что умножение
действительных чисел, согласно данному определению, содержит
обычное умножение рациональных чисел как частный случай.
Можно доказать справедливость переместительного и сочетательного
законов умножения: ab — ba и (ab) с=±а(Ьс), а также справедливость
распределительного закона )для сложения с умножением а(Ь-\-с) —
= ab-\- ас9 но мы на этом останавливаться не будем.
Далее, если d, а, Ь— положительные действительные числа и а’^>а>
то d b^>ab. В самом деле, если а’^>а, то отрезок ОМ’ с длиной
d длиннее отрезка ОМ с длиной а
(рис. 40). Следовательно, и ON’
длиннее ONy т. е. db^>ab.
Далее, если a, b, d ,V — положительные
числа и d ^> a t b’^>b, то
п db’^>ab. Действительно, а’Ь’^>
ad > ab.
Последнее неравенство дает возможность
строить приближения к
произведению двух действительных чисел, если они заданы бесконечными
десятичными дробями. Именно, умножив приближения с недостатком
к положительным числам х и у , мы получим результат,
245 Алгебра Умножение и деление действительных чисел,
Методическая библиотека учителя
меньший чем х у , а если умножим приближения с избытком, то полупившийся
результат будет больше ху. Исходя из более точных приближений,
мы будем получать для х у все более тесные границы, так
что сможем получить х у с любой степенью точности.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим вопрос в общем виде. Пусть
Рт и Рт — десятичные приближения с недостатком и с избытком к числу х
с точностью до 9 и пусть qm и ‘ q’m — такие же приближения к числу у.
Тогда Рт ^ х < Р ‘т ‘> qm*£y<q’m и, следовательно, pmqm ^ x y < p ‘mq’m,
т* е* РтЯт и Р’тЯ’т являются приближениями к лгу с недостатком и с избытком.
Однако разность между этими приближениями может быть больше
и даже значительно больше, если числа х и у больше. Действительно,
Р’тЯ’т РтЯт = {рт РтЯт =
= Рт (Я’т — Рт) -j- — ^ Рт +Р’т j ,
т. е/э та разность приблизительно равна .
Например, умнощив w-значные десятичные приближения с недостатком
для чисел У 2 ~и У 3”, мы получим приближение с недостатком для У2~ +
+ УТГ с точностью лишь до [ у 2 ~ + т* е‘ с точн0стью около
3 единиц последнего знака.
Однако при беспредельном увеличении числа знаков m мы получим беспредельное
усиление точности, так что если нам известны бесконечные десятичные
дроби для множителей, мы можем построить любое Число цифр и
для их произведения.
— Действие деления положительных действительных чисел определяется
как действие, обратное умножению, т. е. как действие, посредством
которого по данному произведению и одному из сомножителей
определяется второй сомножитель.
При представлении действительных чисел в виде длин отрезков
отрезок, длина которого равна частному от деления длин двух данных
отрезков, строится подобно произведению. Именно, на рис. 3.9 нужно
считать отрезок ON данным, а отрезок ОМ искомым.
Приближения к частному получаются посредством деления приближения
с недостатком к делимому на приближение с избытком к
делителю и делением приближения с избытком к делимому на приближение
с недостатком к делителю, так как
Pm < <£ р’т в
Я’т У Ят
Так же, как при умножении, разность 4 м-— -4п- беспредельно
Ят Я т
уменьшается при безграничном возрастании числа десятичных знаков т.
Распространение умножения и деления на любые действительные
числа, положительные и отрицательные, делается по обычным, правилам:
246 Алгебра Умножение и деление действительных чисел,
Методическая библиотека учителя
абсолютная величина произведения или частного равна соответственно
произведению или частному абсолютных величин. Произведение и частное
двух чисел, имеющих одинаковые знаки, положительно. Произведение
и частное двух чисел, имеющих противоположные знаки,
отрицательно. Действие деления на нуль по-прежнему остается невозможным
и в области всех действительных чисел.
247 Алгебра Умножение и деление действительных чисел,
Методическая библиотека учителя
Comments