§ 10. Умножение нескольких многочленов. Алгебра.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Умножение нескольких многочленов следует производить постепенно,
объединяя множители каким-либо способом по два.
Пример.
(а + Ь)(а + 2Ь)(а — Щ = {{а + Ь)(а + 2Ь)]{а — ЗЬ} =
= (a2-f ab-f 2а&-f 2Ь2) (а — 36) = (а2-f-Заб + 262) (а — 36) =
= а3 — За2^ + За26 — 9а62 -f 2а62 — 663 = а3 — 7аЬ* — 663.
Расстановку квадратных скобок можно было, конечно, не делать, а
сразу приступить к умножению первых двух множителей.
Пример.
(х -f-1) (х -f- 2)(х -f- 3) (х -f- 4).
Выполним умножение, объединив первый множитель со вторым,
третий с четвертым: *
(х+1)(х + 2)(х + 3)(х + 4)= ,
= (х22х зс 2) (х* 4″ Ах —}— Зх —J- 12) =:
= (х2 + Зх + 2) (*2-f- 7*-f 12) =
= х4 -f- 7лг3 12х2 -f- Зх3 -{- 21 х2 -4- Ъбх 2дг2 -J- 1 Ах -|- 24 =
= х* -f- 10хн -f- 35х2 + 50х -f- 24.
Можно сразу производить умножение нескольких многочленов, руководствуясь
следующим правилом:
Чтобы умножить несколько многочленов, нужно составить всеми возможными
способами произведения членов, взятых по одному из всех перемножаемых
многочленов, & сложить полученные результаты.
Приведем один пример на это правило с подробной записью:
(а + Ь)(а + 2 Ъ) (а — 3Ь) »
= b*a*a -f- a-2b*a’-\- b’2b*a + a>a-(— 3b) +
+ b-a-(— 3b) + a-2b*(— 3b) + b-2b>(— 3b) =
= a3 + a2& + 2a26 + 2a&2 — 3a26>-3a&2 ~ 6a&3—66s = a8 — 7ab* — 6bK
Однако при пользовании этим правилом легко ошибиться, пропустив
какую-нибудь комбинацию членов перемножаемых многочленов. Поэтому этим
правилом следует пользоваться только в самых простых случаях, например
при перемножении двучленов*

88 Умножение нескольких многочленов.

Упражнения
Перемножить многочлены:
\. (x+2y — z)(2x—y + 2)(x — z). 2. (x—2y)(x + 2y)(x* + 4ys).
8. (x+y + z)\ 4. (a^-b)(a + 2b)(a + b)(a — 3b).

§.11. Умножение многочленов, содержащих одну букву

Члены многочлена, содержащего одну букву, целесообразно
располагать в порядке убывания показателей степеней, с которыми
эта буква в него входит. При этом если многочлен содержит так
называемый свободный член* т. е. слагаемое, не содержащее букв, то
его следует поставить на последнем месте. Например, многочлен
2а4 — а8 «4* 2 — За3 4~ после расположения его членов по убывающим
степеням принимает вид
— а* 4- 2а4 — За3 4~ а2 + 2.
Член многочлена, содержащий наибольшую степень буквы, называется
старшим членом многочлена. Показатель степени в старшем
члене называется степенью многочлена. Так, старший член
многочлена 2х4 — Зхъ— %х1—4 есть 2х1, и этот многочлен есть
многочлен четвертой степени. Считается условно, что «многочлены»,
состоящие только из свободного члена, т. е. числа, выраженные
цифрами, являются многочленами нулевой степени. ^
Очевидно, что при умножении многочлена, расположенного по
убывающим степеням, на какой-либо одночлен,’ зависящий от
той же буквы, получается в результате многочлен, также расположенный
по убывающим степеням.
При умножений, двух расположенных многочленов целесообразно
подписывать результаты умножения отдельных членов одного — многочлена
на другой друг под другом, сдвигая начало записи так,
чтобы подобные члены оказывались в одном столбце. В случае, если
степени идут не подряд, следует оставлять между соответствующими
одночленами пустые места, так как может оказаться, что, хотя в первой
строке одночлен, содержащий некоторую степень буквы, отсутствует,
в других ст]роках появятся одночлены этой степени.
Пример.
(о*4- а*_ а 4- 3) (а3— За24- 1) =
= а7 4-ав— я4-|-За3
— За* —За44-За3—9а2
4- а4 4- а2 — я 4~ 3 =
= а7—За64“«5—Зд44-6а3~—8а2—«4-3.
При такой записи умножение многочленов становится похожим
на умножение многозначных чисел. ^
Заметим, что из правила умножения многочленов следует, что
старший член произведения двух многочленов равен произведению

89 Умножение нескольких многочленов.

старших членов множителей. Следовательно, степень произведения
двух многочленов равна сумме степеней множителей. Так, при умножении
многочлена пятой степени на многочлен третьей степени мы
получим многочлен восьмой степени.
При умножении многочленов не очень высокой, степени рекомендуется
еще один способ, при котором результат можно писать сразу, без записи промежуточных
результатов. При пользовании этим способом некоторые несло
ные вычисления приходится производить в уме.
Рассмотрим один пример с подробным объяснением порядка действий.
П р и м е р . (*34- З*2— х — 3)(х2+ 5* — 4).
Р е ш е н и е . Старший член произведения данных многочленов равен
произведению их старших членов *3«*2=*5.
Далее, в произведение могут входить члены, содержащие х\ хь, x*t х
и свободный ЧЛ€Н.
Члены, содержащие xi
i получаются по следующей схеме:
(х*+ а*:2— л: — 3) (лга+ 5х— 4).
90 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ [ГЛ. ill
Здесь соединены скобками все те слагаемые данных многочленов, при умножении
которых получаются члены, содержащие л:4. Следовательно, коэффициент
л:4 в произведении равен 1 *5 + 3* 1 «=■ 8.
Члены, содержащие *3, получаются так:
(х*+ Зх2— х — 3) (*24“ 5х — ,4).
‘ — .1 „ — ‘* jywjj-ушс ««у
Следовательно, коэффициент при равен 1 * (?—4) 4-3*5 4 (—1) • I =10.
Коэффициент при л;2 в произведении
(х34- З*2— лг-^-3) (х2-{- 5х — 4)
равен 3. (—4) + (—1) .5 + Н3>‘• 1 == — 20.
Коэффициент при х в произведении
(х*+ $х*Тх—Щх^Зх^ 4)
равен (—3) «5 + (—1) • (—4) = — 1 1 . Наконец, свободный член равен
(-^3). (-*-4) 5=? 12. ,
Итак, произведение равно *5+8*44- 10*s— 20л:8— 11*4-12.
^ Ответ* хь-\- 8лг4+ Юх*—20лг3—11*4*12.
Конечно, при пользовании этим приемом не нужно переписывать произведение
(*3—З*2—х — 3)(лг84-5*— 4) Несколько раз, как мы это сделали
при объяснении. Нужно прямо выписывать члены результата умножения один
за другим, каждый раз сосредоточивая внимание на том, какие члены нужно
перемножить, для того чтобы получить х в данной степени, ц выполняя все
необходимые вычисления в уме.
В особенно простых случаях описанный прием можно применять и яри
умножении нескольких многочленов.
Прим ер, (* + 2)(лг4-3)(*4“5);=:л:*+ Ю*3-{-31* + 30.

90 Умножение нескольких многочленов.

В последнем примере мы сразу записали результат умножения, воспользовавшись
общим правилом умножения многочленов (§ 10): чтобы умножить
многочлены, нужно составить всеми возможными способами произведения их
членов, взятых по одному из каждого множителя, и сложить полученные
результаты. Старший член произведения равен произведению старших членов
множителей и, следовательно, равен х3. Далее смотрим, какие члены нужно
умножить, чтобы получить одночлен^, содержащие х2. Очевидно, что для
этого нужно из двух скобок взять первое слагаемое, а из третьей — второе
и сделать этот выбор всеми возможными способами. Следовательно, коэффициент
при х* равен 2 -{- 3 + 5 =.10,
Далее, х в первой степени получается при ‘умножении первого слагаемого
из одной скобки на вторые слагаемые из остальных двух. Поэтому коэффициент
при х равен 2-3 + 2-5 + 3-5 = 31. Наконец свободный член равен просто
произведению свободных членов 2-3-5 =30.
Упражнения *
^ ■ ■ ■ ■■
Перемножить многочлены^ * ;
1. (а2+ 2а + 5
2. (2а*+ Ва — 1),(а*+я2+ За —5).
3. (Ь —■ *4+ 63+ 62+ Ь + 1).

91 Умножение нескольких многочленов.

Околоadmin