дома » Алгебра в школе » Сокращенное умножение по формулам. Алгебра.

Сокращенное умножение по формулам. Алгебра.

§ 12. Сокращенное умножение по формулам.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школеЕГЭ 2015 МатематикаБиблиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

knigi728x90

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ АЛГЕБРА

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

При умножении многочленов часто повторяются некоторые типичные
случаи, которые следует запомнить.
Формула 1. (А + Я)2 = А2 + 2AZ? + В2, т* е* квадрат суммы
двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение
первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
До к а а а т е А ь с т в р . ^ —
(А + Bf = (£-£ ВЦА 4-А*Ц*ЛВ + ВА + В* =
= А2 + 2Л£ + 52. * .
Формула 2. (Л — В)2 — А2 — 2AB-j-В*, т. е. квадрат разности
двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение
первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
{A — Bf~(A—B)(A«-B) = A*^AB—BA-\-B2 =
=А* —
Формула 3. — В) г= Л2 — В2 , т. е. произведение
суммы двух чисел на их разнос тьравно разности квадратов этих
чисел.
Доказательство.
ч (А + £)(А —5) = А2 + £А —А£ —£2 = А2 —£2.
Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул к
умножению многочленов. При пользовании формулами следует помнить,
что Л и В в формулах обозначают любые числа, й в частности, эти
числа могут быть выражены в виде одночленов или многочленов.

91 Сокращенное умножение по формулам.

Пример. (5лс2 — 7у2)2. Здесь можно применить формулу 2, принимая
5х2 = А, 7у* = В. Применяя эту формулу, получим
(5*2 — Ту2)2 = (5 х2)2 — 2-(5х2) (7у2) -f (7>2)2 == 25*4 — 70х2у* + 49у4.
Выписывать промежуточный результат с такой подробностью нет необходимости.
По мере развития навыков в пользовании формулами
нужно привыкать к возможно более краткой записи.
Пример. (Зх2у4-.У2)2* Применяя формулу 1, положив А = Зх2у,
В—у*, получим (Зх2у 4~.У2)2 — 9х*у2 4“ 6дг!у3 4 .У4*
При м е р. (бх -р 4у) (Ъх — 4у) = 25л;2 — 16у2. Здесь применена
формула 3 при А = 5х, В = 4у.
Рассмотрим теперь более сложный пример.
П р и м е р. (За 2b -f- 4с — d) (За 4“ 26 — 4с—\- d). Здесь прежде
всего можно применить формулу 3, полагая А = За 4- 26; В = 4с — d.
Сделав это, получим
(За + 26 + 4с — rf) (За + 26 — 4c + rf) = (За + 26)2 — (4с — d)2.
А теперь можно применить формулы 1 и 2 для дальнейших преобразований.
Получим
(За + 2 6)2 — (4с — df = 9а2 + 12а6 + 462 — 16с2 -f Scd — d\
Несколько реже, но все же достаточно часто приходится пользоваться
еще следующими формулами.
Ф о р м у л а 4. (А -|~Bf = Л3 4~ ЗА* В ЗАВ2 4~ В9, т. е. куб суммы
двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение
квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение
первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа.
Формула 5. (А — Bf — А3 — ЗА2# 4“ ЗАД2 — В3, т. е. куб разности
двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение
квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение
первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа.
Формула 6. (А + £)(А2 — А£ + £2 ) = А 3 + £3 .
Формула 7. (А — В) (А2 + AB -f- Б2 ) = А 3 — В3.
Формула8.(А-^54-С)2 = А2 + 52 + С24-2А# + 2Ае + 2Ба
Доказательства этих формул необходимо произвести самим учащимся.
Форму л а 6 читается так: произведение суммы двух чисел на
неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
Здесь «неполным квадратом разности» чисел А и В названо выражение
А2 — АВ В%. Название это не точное, но образное и связано
с внешним сходством выражения А2 — АВ 4~ В1 с выражением
А2 — 2АВ 4~ В2, являющимся квадратом разности чисел А ц В.
Таким же образом выражение А2 4- АВ-\^В*, участвующее в
формуле 7, называется неполным квадратом суммы чисел А и В на основании
внешнего сходства с выражением А2 4- 2АВ 4- В* = (А4~ Щ1*

92 Сокращенное умножение по формулам.

Так что формула 7 читается так; произведение разности двух чисел
на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.
Наконец формула 8 читается так: квадрат суммы нескольких
чисел равен сумме их квадратов плюс всевозможные удвоенные
произведения этих чисел, взятых по два.
Рассмотрим несколько примеров на применение формул 4—8.
Пример.
(2а 4- 3bf = 8а3 + 3 • 4а2 • М + 3 . 2а • 962 + 27Ь3 =
== 8а3 + 36а26 + 64ab* + 21
Пример.
(а-\-Ь — с)3= (а-(-#)3— 3 (a 4* bfc 4- 3 (а -f- b)c*— с3 =
= а3 + За26 + Заб2 + 63 — За2с — бабе — 3 ЬЧ + Зас2 + ЪЬс* — с\
Пример.
(бх + Ъу) (25лг* — 15 ху + 9у2) = 125лг3 + 27у3.
Здесь результат пишется сразу, как только обнаружено, что второй
множитель 2бх*—15ху-\-9у* есть «неполный квадрат разности»
чисел бх и Ъу.
Пример.
(лг24-^+ 1)2 = *4-}-^2 + 1 ’\-2хъ-\-2х*-\-2х=
= х*-\-2х3 + Зх* + 2х-\-1.
Здесь применена формула 8.
Пример. (2а — b)(2a-\-bf.
Решение. Решим этот пример тремя способами:
Способ 1. ‘
(2 а — Ь) (2а -}- bf = (2а Ь) (4а* 4~ 4а6 4- Ь*) =
z=8a3 + 8a*b-j-2ab* — 4a2b — 4ab* — bB = 8a3-(-4a*b — 2ab* — b3.
Здесь мы сначала преобразовали (2а ^bf как квадрат суммы, а затем
умножили многочлены по общему правилу умножения многочлена на
многочлен.
Способ 2.
(2а — Ь) (2а 4“ bf — (2а — Ь) (4а2 4“ 4ай &%)=
= (2а — Ь) (4а*4- 2а& 4- 6*4- 2аЪ) = 8а3 — Ъ3 4- 4а26 — 2аЬ\
Здесь мы разбили квадрат суммы 4а94~4д^“Ь^ на «неполный квадрат
суммы» 4a24-2a6-j”^a и одночлен 2ab, а затем воспользовались
распределительным законом и формулой 7.
Способ 3.
(2a — b)(2a-\-bf = (2a—b)(2a + b) • (2a4>6) =
— (4аз _ £ 2) (2а + й) = 8а3 + 4а26 — 2а£* — Ъ\
В заключение обзора формул сделаем следующее общее замечание.
Всякое преобразование произведения многочленов, которое совершается
при помощи формул 1—8, может быть проведено и без
применения формул, посредством общих правил умножения многочлена
на многочлен. Формулы 1-—8 позволяют только в некоторых
случаях упростить и сократить, вычисления. Поэтому, формулы 1—8
называют формулами сокращенного умножения.

93 Сокращенное умножение по формулам.

, Упражнения
Выполнить умножение многочленов при помощи формул:
1. (3ab — х2) (ЗаЬ + *3). 5. (3*—2у) (9х2 + §ХУ + 4У1). .
2. (* — 1) (х + 1) (.х3 + 1). 6. (2х + I)8.
3. (а + 6)3 (а — 6)2. (Решить . 7. (— а — £)2.
двумя способами.) 8. (х3 + 2л—1)а.
4. (а2 + Зад + Ь2) (а9 — ЗаЬ + Ъ3).
Решить относительно буквы лг следующие уравнения:
9. (a -f* Ь) х = я2— Ь2, 12. (а8 — 868): х = д — 26.
10. (За2 — 26)* = 9a4 — 63. 13. *:(Зр + а) = 9р3 — 3pq + q\
11. (2/7 -(- 3^) х = 4р3 + 12да + 9^8.

94 Сокращенное умножение по формулам.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика