Упорядоченные группы.

53 Упорядоченные группы.

а) если x, y € P(G), то xy € P(G);
б) если x € P(G), z € G, то z-ixz € P(G).
Свойство а) означает, что P(G) является моноидом.
9.8. Пусть H — подмножество группы G, удовлетворяющее условиям:
а) если x, y € H, то xy € H; б) e € H;
в) если x € H, причем x = e, то x-i € H;
г) если x € H, z € G, то z-ixz € H.
Тогда в G можно ввести такую упорядоченность, относительно которой H будет положительной частью группы
G.
Подполугруппа H группы G тогда и только тогда определяет линейную упорядоченность этой группы, когда она
помимо б) — г) также удовлетворяет условию:
д) для любого a € G или a € H, или a-i € H.
9.9. Всякая частичная упорядоченность группы G продолжается до максимальной (далее не продолжаемой) частичной
упорядоченности.
9.10. Групповой гомоморфизм ф частично упорядоченной группы G в частично упорядоченную группу F является
порядковым тогда и только тогда, когда ф^(G)) С P(F). Все у-автоморфизмы частично упорядоченной группы
образуют группу.
9.11. Пусть G — упорядоченная группа. Тогда:
а) если x, y € P-i(G), то xy € P-i(G);
б) если x € P-i(G), z € G, то z-ixz € P-i(G).
9.12. Частично упорядоченная группа будет линейно упорядоченной, если и только если P(G) U P-i(G) = G.
9.13. 1) Если P — подполугруппа группы G, удовлетворяющая свойствам б) — г) из 9.8, то множество P-i также
будет подполугруппой с этими свойствами, причем P П P-i = e.
2) Если P и Q — подполугруппы группы G, удовлетворяющие свойствам б) — г) из 9.8 и PnQ-i = e, то множество
PQ = {pq \ p € P, q € Q} также будет подполугруппой с этими свойствами.
3) Пересечение любой системы подполугрупп группы G, обладающих свойствами б) — г) из 9.8, само будет подполугруппой
с этими свойствами.
9.14. Из п. 3) задачи 9.13 следует, что если элемент a группы G содержится в хотя бы одной подполугруппе
со свойствами б) — г) из 9.8, то существует наименьшая подполугруппа Pa с этими свойствами, содержащая a.
Докажите, что максимальная упорядоченность группы G линейна тогда и только тогда, когда:
а) Pa существует для каждого a € G;
б) если b,c € Pa и b,c = e, то Pb П Pc = e.
9.15. Все максимальные упорядоченности абелевой группы без кручения линейны. В частности, всякая абелева
группа без кручения линейно упорядочена.
9.16. Если G — произвольная частично упорядоченная группа, у которой x ^ x2, то xn ^ xm имеет место, если и
только если п ^ m.
9.17. 1) Если в упорядоченной группе для любых двух элементов существует верхняя граница, то всякие два
элемента обладают и нижней границей.
2) Упорядоченная группа из 1) называется направленной. Если G — упорядоченная группа, то она является направленной
тогда и только тогда, когда для каждого x € G найдутся u, v € P(G) со свойством x = uv-i.
3) Частично упорядоченная группа G будет направленной тогда и только тогда, когда G = {P(G)).
9.18. Если абелева группа обладает двумя различными упорядочениями, то число ее упорядочений бесконечно.
9.19. Пусть Pi = {x + iy \ x > 0 или x = 0, y ^ 0}, P2 = {x + iy \ x ^ 0,y ^ 0}. Тогда Pi определяет линейный, а
P2 — решеточный порядок в C.
9.20. Пусть G — мультипликативная группа положительных рациональных чисел, P(G) — множество натуральных
чисел. Тогда G — решеточно упорядоченная группа.
9.21. Пусть G = R*, P(G) = {x € R \ x > 1}, то G — частично, но не решеточно упорядоченная группа.

54 Упорядоченные группы.

9.22. Пусть G — аддитивная группа многочленов над полем вещественных чисел, P(G) состоит из всех таких многочленов
ao + aix + … + anxn, у которых первый ненулевой коэффициент ai > 0. Тогда G — линейно упорядоченная
группа.
9.23. Пусть A — подгруппа группы R, B — наибольшая подгруппа группы R+ такая, что из r € B и a € A следует
ra € A. Рассмотрим множество T = {(r, a) \ r € B, a € A} с операцией умножения: (r,a)(r’,a’) = (rr’,ra’ + a).
Положим P(T) = {(r, a) \ r > 1, либо r = 1 и a ^ 0}. Докажите, что T — линейно упорядоченная группа, множество
элементов вида (1,a) образует подгруппу, изоморфную A, и при этом (r, b)(1, a)(r, b)-i = (1,ra), а множество
элементов вида (r, 0) — подгруппу, изоморфную B.
9.24. Подгруппа A частично упорядоченной группы G выпукла тогда и только тогда, когда в ней вместе со всяким
положительным элементом a содержатся все положительные элементы x группы G, удовлетворяющие неравенству
x ^ a.
9.25. Пересечение любого семейства выпуклых подгрупп частично упорядоченной группы — выпуклая подгруппа.
9.26. Ядро всякого гомоморфизма частично упорядоченной группы является выпуклой нормальной подгруппой.
9.27. Выпуклые подгруппы линейно упорядоченной группы составляют цепь по включению.
9.28. Если a — строго положительный элемент линейно упорядоченной группы G, то множество A всех таких
элементов x € G, что e ^ x ^ an при некотором натуральном п, и элементов, им обратных, есть минимальная
выпуклая подгруппа, содержащая a.
9.29. Наименьшая выпуклая подгруппа H частично упорядоченной группы G, содержащая подгруппу A, равна
AP(G) П AP-i(G).
9.30. Если A — выпуклая нормальная подгруппа частично упорядоченной группы G, то факторгруппу G = G/A
можно так частично упорядочить, что групповой канонический эпиморфизм G G будет порядковым.
Нормальная подгруппа H частично упорядоченной группы G тогда и только тогда является ядром некоторого
у-гомоморфизма, когда она выпуклая. Если ф — является у-эпиморфизмом G на G с ядром H, то факторгруппа
G/H у-изоморфна G.
9.31. Линейно упорядоченная группа тогда и только тогда будет архимедовой, когда для любой пары a, b ее строго
положительных элементов существует п € N со свойством an > b.
9.32. Группа Q допускает только два линейных порядка, которые взаимно обратные.
9.33. Группа Q у-проста.
9.34. Пусть G — группа, порожденная символами g(r), заданными для каждого r € Q, и удовлетворяющая определяющим
соотношениям
g(ri)g(r2) = g (r1 ^) g(ri) при ri > r2.
Покажите, что каждый элемент a = e из G однозначно записывается в виде a = g(ri)mi .. .g(rk)mk, ri < r2 < … <
rk, mi = 0.
Положим a > e, если mk > 0. Докажите, что G — некоммутативная линейно упорядоченная группа, имеющая
выпуклые подгруппы только следующих видов:
Ha = {a € G \ rk < a, a — вещественное число},
Ha = {a € G \ rk ^ a, a — рациональное число}.
Группа G является у-простой.
9.35. Если A и Ai — подгруппы группы R с ее естественным порядком, а ф есть у-изоморфизм A на Ai, то
существует такое вещественное число r > 0, что ф^) = ra для всех a € A. В частности, группа у-автоморфизмов
архимедовой группы изоморфна подгруппе группы R*+.
9.36. Пусть G = П Ai — прямое произведение частично упорядоченных групп и P = {a = (… ,ai,…) € G \ ai ^ e
iei
в Ai для всех i}. Покажите, что G — частично упорядоченная группа.
9.37. Докажите, что прямое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемо. Выведите из этого утверждения
упорядочиваемость делимых абелевых групп без кручения, и, значит, всех абелевых групп без кручения.
Система подгрупп, линейно упорядоченных по включению, называется полной, если она содержит объединение и
пересечение любого множества своих подгрупп. Подмножество H группы G называется инфраинвариантным, если
H С Hg или Hg С H для любого g € G. Система Е подгрупп группы G называется инфраинвариантной, если она
полная, e,G € Е и из H € Е следует H9 € Е для любого g € G.
Под скачком A С B полной системы Е понимается такая пара подгрупп A и B из Е, что между A и B нет других
подгрупп из Е.
9.38. 1) Каждый элемент g = e группы определяет скачок A С B в Е, если в качестве A взять объединение подгрупп
из Е, не содержащих g, а в качестве B — пересечение подгрупп, содержащих g.

55 Упорядоченные группы.

2) Если A С B — скачок инфраинвариантной системы, то A инвариантна (нормальна) в B и нормализатор N(A) =
N (B).
9.39. Система Е всех выпуклых подгрупп линейно упорядоченной группы G инфраинвариантна, и если A С B —
скачок из Е, то факторгруппа B/A изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел, а группа автоморфизмов
группы B/A, порожденная внутренними автоморфизмами группы N(A)/A, изоморфна подгруппе мультипликативной
группы положительных вещественных чисел.
Модуль \a\ элемента a линейно упорядоченной группы определяется равенством \a\ = max{a,a-i}.
Элемент a называется бесконечно малым по сравнению с b, обозначение a << b, если \a\n < \b\ справедливо для
всех целых п. Если не выполнено ни a << b, ни b << a, то a и b называются архимедовски эквивалентными.
9.40. В линейно упорядоченной группе:
а) архимедовски эквивалентные элементы определяют один и тот же скачок в системах выпуклых подгрупп;
б) a << b тогда и только тогда, когда существует выпуклая подгруппа, содержащая a и не содержащая b;
в) для любых элементов справедливо соотношение
\[a,b]\ << max{\a\, \b\}.
9.41. Коммутант линейно упорядоченной группы с конечным числом образующих содержится в собственной выпуклой
подгруппе.
Полугруппа H С G группы G называется инвариантной (нормальной), если x~1hx € H для любого x € G. Обозначим
через S(ai,… , an) инвариантную полугруппу, порожденную элементами ai,… , an. Если частичный порядок
^’ с полугруппой положительных элементов P’ продолжает частичный порядок ^ с полугруппой положительных
элементов P, то P С P’.
9.42. Частичный порядок P группы G тогда и только тогда продолжается до линейного, когда
(*) для любого конечного множества элементов ai,… ,an € G можно так подобрать значения для £i,… , £n, равные
±1, что
P П S(al1,… , a^) = 0.
Притом, если P удовлетворяет условию (*) и a € G, то либо PS(e,a), либо PS(e, a- i) определяет частичный
порядок P’ в G, который также удовлетворяет условию (*).
Группы, у которых всякий максимальный порядок является линейным, называются доупорядочиваемыми.
9.43. Группа упорядочиваема (доупорядочиваема) тогда и только тогда, когда каждая ее подгруппа с конечным
числом образующих упорядочиваема (доупорядочиваема).
Подгруппа H С G называется G-упорядочиваемой, если любой максимальный порядок группы G индуцирует на H
линейный порядок.
9.44. Группа G упорядочиваема тогда и только тогда, когда в ней существует инфраинвариантная система Е
подгрупп, удовлетворяющая условию: если A С B — скачок из Е, то факторгруппа B/A является N(A)/A-
упорядочиваемой (или N(A)/A-доупорядочиваемой). Притом в G существует порядок, при котором все подгруппы
из Е выпуклы.
9.45. Если факторгруппа G/H группы G по инвариантной линейно (частично) G-упорядоченной подгруппе H
линейно (частично) упорядочена, то в группе G можно ввести такой линейный (частичный) порядок, при котором
индуцированные порядки на H и G/H будут совпадать с заданными на них, и подгруппа H будет выпуклой в G.
9.46. Локально нильпотентные группы без кручения упорядочиваемы.
9.47. Свободные группы упорядочиваемы.
9.48. Каждая линейно (частично) упорядоченная группа является у-эпиморфным образом некоторой линейно (частично)
упорядоченной свободной группы.
Группа G, одновременно являющаяся топологическим пространством, называется топологической группой, если
умножение и операция взятия обратного элемента непрерывны в заданной топологии, т.е. для любых a,b € G и
любых окрестностей X и Y элементов ab и с- 1 найдутся такие окрестности U, V, W элементов a, b, с соответственно,
что UV С X и W-i С Y.
Линейно упорядоченную группу G можно превратить в топологическую группу, взяв в качестве базы окрестностей
топологического пространства G множество открытых интервалов (a,b) = {x € G \ a < x < b}. Топологию,
полученную таким образом, называют интервальной топологией, она хаусдорфова.
9.49. Линейно упорядоченная группа с интервальной топологией дискретна тогда и только тогда, когда в ней
имеется наименьшая выпуклая подгруппа, являющаяся циклической.

56 Упорядоченные группы.

Далее рассматриваются недискретные линейно упорядоченные группы.
9.50. Подгруппа H линейно упорядоченной группы G с интервальной топологией открыта тогда и только тогда,
когда H содержит выпуклую подгруппу.
9.51. Линейно упорядоченная группа G с интервальной топологией связна тогда и только тогда, когда G изоморфна
группе R с ее естественным порядком.
9.52. Линейно упорядоченная группа локально компактна тогда и только тогда, когда она имеет наименьшую
выпуклую подгруппу, изоморфную группе R.
Линейно упорядоченная группа называется порядково полной, если всякое ограниченное сверху множество ее элементов
имеет точную верхнюю грань.
9.53. Линейно упорядоченная группа порядково полна тогда и только тогда, когда она изоморфна группе R с ее
естественным порядком.
Пусть G — линейно упорядоченная группа с интервальной топологией. Говорят, что вполне упорядоченная последовательность
{ga \ a < А}, где А — порядковый тип последовательности {ga}, сходится к элементу g, если
для любого a > e, a € G, найдется номер ao(a) < А такой, что для всякого a > ao(a) выполняется соотношение
a-i < gg-1 < a.
Вполне упорядоченная последовательность {ga | a < А}, где А — порядковое число, называется фундаментальной
последовательностью, если для любого a > e, a € G, найдется номер ao(a), ao < А такой, что для всяких a, в,
ao < a < А, ao < в < А, выполняется соотношение a-i < gagв < a.
Линейно упорядоченная группа с интервальной топологией называется топологически полной, если для всякой
фундаментальной последовательности {ga \ a < А} найдется элемент g € G, к которому сходится эта последовательность.
9.54. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.
Всякая линейно упорядоченная группа G вкладывается в топологически полную линейно упорядоченную группу
G*, имеющую ту же систему выпуклых подгрупп, что и G.

57 Упорядоченные группы.