§ 12. Решение задач при помощи уравнений.

ГЛАВА I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Простая математика онлайн.

До сих пор мы решали такие задачи, которые позволяли использовать
уравнения, составленные ранее. А как поступать в том случае,
когда уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими
в условие задачи, не было ранее составлено? Как составить
это уравнение?
Рассмотрим еще раз задачу, которую мы решили в предыдущем
параграфе.
З а д а ч а . Через один кран ванна наполняется за 10 мин. Если
открыть оба крана, ванна наполнится за 4 мин. За сколько времени
наполнится ванна, если открыть только второй кран?
Р е ш е н и е .
1) Ранее было составлено уравнение
1 + 1 = 1 (1) а т b t •
2) По условию задачи а =10; t = 4. Поэтому имеем
_L + ±=±

39 Решение задач при помощи уравнений. Простая математика онлайн

Главное здесь заключается в составлении уравнения (2). Это уравнение
выражает зависимость между величинами, рассматриваемыми в
задаче, как известными (10 и 4), так и неизвестной (b).
Для того чтобы сразу из условия задачи получить уравнение (2),
достаточно неизвестную величину (количество минут, в течение которых
ванна наполняется через второй кран) обозначить какой-нибудь
буквой и составить уравнение, выражающее зависимость между величинами,
входящими в условие задачи. При этом мы рассуждаем точно
так же, как мы рассуждали бы, решая такую задачу:
«Через один кран ванна наполняется за 10 мин., через другой
кран за b мин. Если открыть оба крана, то ванна наполнится за
4 мин. Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами,
входящими в условие задачи».
Разберем подробно еще одну задачу.
З а д а ч а . Из двух городов, расстояние между которыми 500 км,
вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них
шел со скоростью 40 км/час. С какой скоростью шел второй поезд,
если поезда встретились через 7 часов после их выхода?
Р е ш е н и е . В условие задачи входят четыре величины:
1) расстояние между городами (500 км),
2) скорость одного поезда (40 км/час),
3) время пребывания поездов в пути до их встречи (7 час.),
4) скорость второго поезда.
Три из этих величин известны, а четвертая (скорость второго
поезда) неизвестна и ее нужно найти. Обозначим эту величину буквой
v, т. е. будем считать, что скорость второго поезда v км/час.
Составим уравнение, выражающее зависимость между всеми четырьмя
величинами, входящими в условие задачи. При этом мы будем рассуждать
так, как мы рассуждали бы, решая такую задачу:
«Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них шел
со скоростью 40 км/час, другой со скоростью v км/час. Поезда
встретились через 7 часов после их выхода. Составить уравнение,
выражающее зависимость между величинами, входящими в условие
задачи».
Составим уравнение.
Первый поезд до встречи прошел 280 км (40-7 = 280), второй
поезд до встречи прошел 7v км. Вместе оба поезда прошли все
расстояние между городами 500 км. Значит,
280-f 7z/ = 50Q.

40 Решение задач при помощи уравнений.

Простая математика онлайн

Уравнение составлено. Решаем его:
7г> = 500 — 280; 7г> = 220; v = 31^-.
П р о в е р к а . Первый поезд до встречи прошел 280 км, второй
поезд прошел 220 км ^1у • 7 = 22oJ. Оба поезда прошли 500 км
(280 -j- 220 = 500). Задача решена правильно.
3
Ответ. Второй поезд шел со скоростью 31 — км/час,
Рассмотрим еще несколько задач.
З а д а ч а . Два пионерских отряда посадили вместе 50 деревьев.
Первый отряд посадил 26 деревьев. Сколько деревьев посадил второй
отряд?
Р е ш е н и е . Обозначим число деревьев, посаженных вторым отрядом,
буквой х. Тогда оба отряда посадили вместе (26 — j c ) деревьев.
Но, по условию, оба отряда посадили вместе 50 деревьев. Значит,
-26 + х = 50.
Решив это уравнение, получим * = 24.
П р о в е р к а . 26 -f- 24 = 50. Задача решена верно.
Ответ. 24 дерева.
За д а ч а . За несколько одинаковых книг, каждая из которых стоит
2 руб. 65 коп., уплачено 39 руб. 75 коп. Сколько куплено книг?
Р е ш е н и е . Обозначим число купленных книг буквой лг. Тогда
все купленные книги стоят 2,65л; руб.
По условию задачи, за книги уплатили 39 руб. 75 коп. Значит,
2,65* = 39,75.
Уравнение составлено. Решив его, получаем *=15.
П р о в е р к а . 15 книг по 2 руб. 65 коп. каждая стоят 39 руб.
75 коп. Задача решена верно.
Ответ. 15 книг.
З а д а ч а . За 5 одинаковых тетрадей и блокнот заплачено 2 руб.
Сколько стоит одна тетрадь, если блокнот стоит 1 руб.?
Р е ш е н и е . Обозначим буквой х стоимость тетради (в рублях).
Тогда 5 тетрадей стоят 5* руб., 5 тетрадей и блокнот стоят
(5*-{-1) руб. Значит,
5*-|~1=2; 5*=1; * = 0,2 руб.
П р о в е р к а . 5 тетрадей стоят 1 руб., 5 тетрадей и блокнот
стоят 2 руб. Задача решена правильно.
Ответ. Тетрадь стоит 20 коп.
З а д а ч а . Токарь должен был выполнить заказ, рассчитанный по
норме на 29 рабочих дней. Проработав 5 дней и выполняя каждый
день установленную норму, он начал работать новым способом и

41 Решение задач при помощи уравнений.

досрочно закончил выполнение заказа. Во сколько дней токарь выполнил
весь заказ, если новый способ повысил производительность его
труда в 4 раза.
Р е ш е н и е . Предположим, что новым способом токарь работал
х дней. Тогда за эти х дней он выполнил 4х дневных нормы. Кроме
того, он старым способом выполнил 5 дневных норм. По условию
задачи весь заказ был рассчитан на 29 дневных норм. Значит,
4х + 5 = 29.
Уравнение составлено. Решая его, имеем
4х = 24; х = 6.
Выходит, что новым способом токарь работал 6 дней, а весь
заказ он выполнил за 11 дней.
П р о в е р к а . За 5 дней работы старым способом выполнено
5 дневных норм, за б дней работы новым способом выполнено 24 нормы.
Всего за 11 дней выполнено 29 норм. Задача решена верно.
Ответ. Весь заказ выполнен за 11 дней.
Сравнивая решение последней задачи с решениями трех предыдущих
задач, можно обнаружить следующее различие. В каждой из
трех предыдущих задач мы буквой х обозначали искомое число.
Так, в первой из них спрашивалось, сколько деревьев посадил
второй отряд, и мы буквой х и обозначили число деревьев, посаженных
вторым отрядом. Во второй из них спрашивалось, сколько
куплено книг, и мы буквой х как раз и обозначили число купленных
книг. В третьей задаче спрашивалось, сколько стоит одна тетрадь,
и мы и здесь буквой х обозначили искомое число.
Совсем иначе поступили мы при решении последней задачи.
В условии задачи спрашивалось: «Во сколько дней токарь выполнил
весь заказ?» Мы же буквой х обозначили число только тех дней,
в течение которых токарь заканчивал работу новым способом. Почему
же мы так поступили? Мы заметили, что так проще составляется
уравнение и что, зная число дней, в течение которых токарь
заканчивал выполнение заказа, нетрудно будет прибавить 5 дней,
использованных на выполнение первой части заказа.
Впрочем, вот и другое решение, где буквой х обозначено искомое
число.
В т о р о е р е ш е н и е последней задачи. Предположим, что весь
заказ токарь выполнил в х дней. Тогда он новым способом работал
(х — 5) дней. За (х — 5) дней он выполнил 4 (х — 5) норм. За х дней
он выполнил [5 -f- 4 (х — 5)] норм. Значит,
5 + 4(х — б) = 29.
Уравнение составлено. Решая его, имеем
4 (х — 5) =24; х — 5 = 6; х= 11.
Ответ. Весь заказ выполнен в 11 дней.

42 Решение задач при помощи уравнений.

Теперь мы можем сделать следующий вывод:
В ы в о д . Решение задачи при помощи уравнений состоит из
следу ющих частей: а) составления уравнения, б) решения уравнения,
в) проверки решения.
Упражнения
Составить уравнения по условиям задач и решить их.
Задача 1. Если к удвоенному неизвестному числу прибавить 1,75, то получится
2,3. Найти неизвестное число.
Задача 2. Разность между утроенным неизвестным числом и 3,7 равна 0,8.
Найти неизвестное число.
Задача 3. Частное от деления неизвестного числа на 2,5 равно 1,3. Найти
неизвестное число.
Задача 4. Найти делитель, если делимое равно 12,5, а частное 0,5.
Задача 5. За 12 открытых писем по 25 коп. и несколько марок по 40 коп.
заплачено 5 руб. 80 коп. Сколько куплено марок?

43 Решение задач при помощи уравнений.

Околоadmin