§ 11. Понятие о решении задач при помощи уравнений.
ГЛАВА I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.
Купить книги по математике за низкие цены:
Понятие о решении задач при помощи уравнений
Вернемся еще раз к задаче, которую мы рассмотрели в предыдущем
параграфе, для того чтобы сделать весьма важный вывод.
«На одной полке т книг, на другой п книг, на обеих полках вместе
р книг. Составить уравнение, выражающее зависимость между т, п,
р. Чему равно п, если т = Ь\ /7 = 20?»
Мы получили такой ответ: т-\- п = р \ если т = 5, р = 20, то п = 15.
Вторая часть ответа («если т = 5, р = 20, то п =15») означает,
что мы решили такую задачу:
«На одной полке 5 книг. Сколько книг на другой полке, если
на обеих полках вместе 20 книг?»
Каким же путем решена эта задача? Решение состояло из двух
частей: в первой части решения было составлено уравнение, выражающее
зависимость между числом книг на одной полке (т), числом
книг на другой полке (п) и числом книг на обеих полках вместе (р)\
36 Понятие о решении задач при помощи уравнений.
во второй части решения полученное уравнение было решено относительно
п при условии, что т = 5; р — 20.
Обратим на это внимание и перейдем к рассмотрению другой
задачи.
З а д а ч а . Какое расстояние проходит пароход вверх по реке за
10 часов, если скорость парохода в стоячей воде 14 км/час, а скорость
течения реки 3 км/час.
Р е ш е н и е . Это довольно простая задача, и она легко решается
арифметически. Действительно, за каждый час пароход продвигается на
11 км( 14 — 3=11). Значит, за 10 часов пароход проходит 110 км. Но
нам сейчас интересно решить эту задачу не арифметическим путем,
а алгебраическим, при помощи уравнений.
С этой целью используем уравнение, выражающее зависимость
между величинами S, V9 v и t, где S — путь (в км), пройденный пароходом
против течения реки за t час., если скорость парохода в стоячей
воде V км/час, а скорость течения реки v км/час. Вот это
уравнение (см. § 2):
Способ 1. По условию задачи £=10; V= 14; v = 3. Подставив
эти данные в уравнение (1), получим уравнение
Решив уравнение (2), имеем 5=110. Задача решена.
Способ 2. Решим уравнение (1) относительно 5. Имеем S = t(V — v).
По условию, 5= 10 • (14 — 3), т. е. 5=110.
Заметим, что и здесь решение задачи состоит из двух частей.
В первой части было составлено уравнение, выражающее зависимость
между величинами, входящими в условие задачи. Во второй части
решения это уравнение было решено относительно S при условии,
что t= 10; V = 1 4 ; г/ = 3. Обратим внимание на это и рассмотрим
еще задачу.
З а д а ч а . Через один кран ванна наполняется за 10 мин. Если
открыть оба крана, ванна наполнится за 4 мин. За сколько времени
наполнится ванна, если открыть только второй кран?
Р е ш е н и е . Мы используем уравнение
которое нами было составлено раньше (см. § 2, последняя задача).
Способ 1. По условию задачи здесь а = 10; t = 4; b неизвестно.
Подставив эти данные в уравнение (3), получим
37 Понятие о решении задач при помощи уравнений.
Так как слагаемое равно сумме без другого слагаемого, то
J _ _ J 1_ # _1___ 3_
Ъ 4 10 * Ь ~ 20 *
Так как делитель равен делимому, деленному на частное, то
38 Понятие о решении задач при помощи уравнений.
Теперь положим t = 4; а =10. Получим Ъ— 6•
_ 2 Ответ. 6 мин .
Рассмотренные задачи позволяют сделать вывод, что решение задачи
при помощи уравнений состоит из двух частей:
1) сначала составляется уравнение, выражающее зависимость между
величинами, входящими в условие задачи (как известными по условию,
так и неизвестной);
2) затем составленное уравнение решается относительно неизвестной
величины.
Задача 1. Объем куба, ребро которого 10 см, в 3 раза больше объема
прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит квадрат со
стороной 10 см. Определить высоту параллелепипеда.
Задача 2. Полная поверхность куба, ребро которого 5 дм, на 25 дм3
больше, чем полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, длина которого
5 дм, ширина 6 дм. Определить высоту параллелепипеда.
Задача 3. Пешеходу надо было пройти s км за три дня. В первый день
он прошел а км, во второй день на b км меньше, чем в первый, а в третий
день он прошел остальные п км.
1) Составить уравнение, выражающее зависимость между s, а, Ь, п.
2) Найти Ь, если s = 50; а = 20; /г =15.
3) Составить условие задачи, которая при этом решается.
Задача 4. Рабочий зарабатывал в день а руб. Его товарищ зарабатывал
в день на 8 руб. больше. Первый рабочий за Ъ дней получил на с руб. меньше,
чем его товарищ за d дней.
1) Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами,
входящими в условие задачи.
2) Найти су если а = 20; £ = 25; d = 37.
3) Составить условие задачи, которая при этом решается.
Задача 5. В одном киоске было а тетрадей, в другом Ь. Когда из первого
киоска продали с тетрадей, а из второго d тетрадей, то во втором киоске
стало в т раз меньше тетрадей, чем в первом.
1) Составить уравнение, выражающее зависимость между я, Ъ, с, d, т.
2) Заполнить таблицу:
3) Составить условия задач, которые решаются при заполнении 1, 2, 3, 4
и 5 строк таблицы.
Задача 6. В трех совхозах А тонн зерна. В первом а тонн, во втором на
b тонн больше, чем в третьем. В первых двух совхозах вместе в d раз больше,
чем в третьем.
1) Составить уравнение, выражающее зависимость между А, а , by d.
2) Использовать составленное уравнение для решения следующих задач:
а) В одном совхозе 100 тонн зерна, в другом на 400 тонн больше, чем в
первом, а в третьем в 4 раза меньше, чем в первых двух вместе. Сколько
тонн зерна во всех трех совхозах?
б) В трех совхозах 7200 тонн зерна. В первом из них 2000 тонн зерна. Во
втором на 800 тонн больше, чем в первом. Во сколько раз в третьем совхозе
меньше зерна, чем в первых двух вместе?
39 Понятие о решении задач при помощи уравнений.
Comments