§ 1. Уравнение n-й степени с одним неизвестным

ЧАСТЬ II. ГЛАВА11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Уравнение n-й степени с одним неизвестным

Оп р е д е л е н и е . Уравнением п-й степени с одним неизвестным
х называется уравнение
аъхП Ч* а\^п^1 + а%хп~* -j- an-iX -}- ап = 0, (1)
где а0, аи … , ап — любые комплексные числа, а0 Ф 0, п — натуральное.
Изучение уравнения (1) в общем виде выходит за рамки школьного
курса алгебры. В этой главе рассматриваются лишь некоторые
свойства уравнения (1) и, кроме того, изучаются некоторые его
частные виды.

§ 2. Деление многочлена относительно x; на x— а

Те о р ема . Остаток от деления многочлена относительно х
на двучлен х — а равен значению этого многочлена при х,
равном а.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разделим многочлен я-й степени
йцх* + aix»-1 … -f- ап^ х -f- ап (1)
на двучлен лг — а. Как известно, частным (неполным) в этом случае
будет многочлен я — 1 степени
Ь^х11″1 + Ьхх п~* + … -f- Ьп_и (2)
а остатком — некоторое число г. Так как делимое равно делителю,
умноженному на частное, плюс остаток, то
а0х п 4 — в!*»-14 — … 4 — an_tx 4 — в„=
= ( х — а) (Ь0х п~14 — Ь^х»-* 4 — … 4 — bn_t) 4 — г. (3)
Равенство (3) есть тождество, оно справедливо при любых значениях
х . В частности, оно справедливо и при х — а. При лг = о.
первое слагаемое правой части равенства (3) обращается в нуль,
а потому
айап 4 — aian-14 — . .. 4 “ an-ia + ап=

473 Уравнение n-й степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

Сл е д с т ви е . Для того чтобы многочлен относительно х
делился на двучлен х — а, необходимо и достаточно, чтобы
число а было корнем этого многочлена, т. е. чтобы при х — а
многочлен обращался в нуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Необходимость. Пусть многочлен (1) делится на х — я, т. е.
остаток г равен нулю. Тогда на основании равенства (4)
a^ci? —I- a^d1 * -j- … -J- an_\a -J- an = 0, (5)
т. e. a — корень многочлена (1).
Достаточность. Пусть а — корень многочлена (1), т. е. имеет
место равенство (б). Тогда на основании равенства (4) г = 0 , т. е.
многочлен (1) делится на двучлен х — а.
Рассмотрим вновь тождество (3). Если в правой части его раскрыть
скобки и сделать приведение подобных членов, в результате
должен получиться тот же многочлен, что и в левой части. На этом
основании, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х 9
получаем
Ьь = а0,
Ь\ аЬ§ = Яд,
b% — ab\ =
bn- 1 dbn~% —- ап- и
r— abn^ = a n.
Перепишем эти равенства так:
= Ло>
Ь\ = ab0 -f- alf
Ь<ъ = ab\ -|- а%,
bn-i — аЪп-г + арг-ь
r= a b n_t + an.
показывают, что коэффициенты частного
• • • > Т> удобно вычислять последовательно
одно за другим. Эти вычисления обычно располагают следующим
образом:
Полученные равенства
и остаток, т. е. Ь0, Ьь 62,
а0
ай = Ь0

474  Уравнение n-й степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

Пример. Разделить многочлен
2xi — 3je3 -f- лг* — 5дг— 1 на х — 3.
Решение.
2 —3 1 —5- —1
2 3 10 25 74
Первый коэффициент 2 второй строки просто сносится (5Ф = а^).
Второй коэффициент 3 получен так:
2 • 3 -j- (—3) = : 3 (Ьцй -f- щ = Ь{),
Третий коэффициент 10 получен так:
3 • 3 — f -1 sss 10 (5|в -|- % =
и т. д. Неполное частное равно
2jc3 + 3jc*-f 10jr-f-25.
Остаток 74.
При мер. Найти значение многочлена
Зле5 — 2 х * -\-х*— 11 при дг== — 2.
Решение . Искомое значение многочлена равно остатку от деления
многочлена на лг-{-2
3 0 —2 1 0 -^11
3 —6 10 —19 38 —87
В двух местах первой строки потребовалось вписать 0. Объясняется
это тем, что делимое имеет следующий вид:
3*в + 0 • я4 — — f Ох — 11,
Обычно члены, коэффициенты которых равны нулю, пропускаются.
Здесь их пропускать нельзя.

475 Уравнение n-й степени с одним неизвестным. Кабинет Математики.

Околоadmin