§ 2. Развитие мышления и речи на уроках
математики
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Способность четко, логически совершенно мыслить и ясно излагать
свои мысли в настоящее время требуется каждому. В этих
качествах нуждается руководитель предприятия и рабочий, ученый
78 Развитие мышления и речи на уроках математики
и инженер, педагог и экономист, врач и агроном. Вот почему вопросы
развития мышления и речи являются одними из основных в жизни
всей школы. Ими должны заниматься все преподаватели, внося в
это общее дело каждый свое, присущее его специальности. Математик
должен приучить к краткому и логически полноценному изложению,
литератор — к выразительной и эмоционально насыщенной
речи, историк — к последовательному изложению и умению
приводить отдельные факты в систему и т. д.
Математика для воспитания привычки к строгому мышлению и
четкой, логически совершенной речи имеет большие возможности.
Эти возможности проявляются и при изложении теоретического
материала, и при решении задач. Чтобы успешно ответить на тот
или иной теоретический вопрос, недостаточно только запомнить
определение или же рассуждение, которое было услышано на уроке
от преподавателя при доказательстве той или иной теоремы Здесь
нужно понимание сути дела и, следовательно, постоянная готовность
к дополнительным вопросам преподавателя, к изменению
обозначений, смене чертежа. Ученик должен показать в своем ответе
не только умение запоминать, а умение разобраться в структуре
рассуждений, смысле условий теоремы, выявлении основной идеи
доказательства, свою способность самостоятельно мыслить. И при
всем этом преподаватель математики должен отучать учащихся от
засоряющих речь, излишних предложений, нечетко выраженных и
логически необоснованных заключений.
Для того чтобы математическое познание доставляло удовлетворение,
необходимо проникнуть в суть идей этой науки и прочувствовать
внутреннюю связь всех звеньев рассуждения, что только
и позволяет понять глубокую и одновременно прозрачную логику
доказательства. Если хотя бы раз ученик достигнет ясности понимания
сути дела, внутренней связи понятий и рассуждений, то после
этого ему будет трудно удовлетвориться суррогатом знаний, который
дает заучивание без понимания, зубрежка без вдохновения.
К состоянию полной ясности предмета изучения он станет стремиться
сам, без напоминаний и принуждения, поскольку у него
появится идеал знания. И тогда к нему придет удивительное открытие:
работа мысли требует несомненно меньших усилий и затрат
времени, чем зубрежка. Тем самым освобождается масса времени
для более глубокого понимания материала, а это в свою очередь
облегчает решение задач, самостоятельное проведение доказательств
теорем, которые давались с таким трудом при простом заучивании
без понимания идейной стороны дела.
На это обращал пристальное внимание один из выдающихся наших
математиков и педагогов А. Я. Хинчин. В его очень интересной
и содержательной статье «О формализме в преподавании математики»
говорится, что «одним из самых распространенных и тяжелых недостатков
(математической. —Б. Г.) подготовки до сих пор остается
формализм математических знаний и навыков. Этот недостаток
почти в разной мере препятствует достижению Всех тех целей,
79 Развитие мышления и речи на уроках математики
которые ставит перед собой преподавание математики в школе. Прежде
всего и острее всего это сказывается на непосредственном практическом
применении приобретенных знаний и навыков. Тот, кто вынес
из школы только внешние, формальные выражения математических
методов, не усвоив их содержательной сущности, при встрече
с реальной задачей будет, конечно, лишен возможности увидеть,
какие из этих методов могут быть применены к ее решению. Он не
сумеет, как мы говорим, математически поставить практическую
задачу; в значительной мере он окажется беспомощным и в решении
этой задачи, так как у него не выработалось привычки реально
осмысливать производимые формальные операции, вследствие чего
ни интересы стоящего перед ним практического задания, ни даже
математическое содержание возникшей проблемы не смогут руководить
им при выборе этих операций»1.
К сожалению, мы до сих пор еще не изжили формализма в усвоении
математических знаний, и при вступительных экзаменах в вузы
приходится постоянно сталкиваться с таким положением дела, когда
молодой человек бойко и заученно отвечает определение, но использовать
его в самой элементарной ситуации не может. Очень
часто на вопрос, чему равна величина 10lg5, ответа не получаешь,
и чтобы как-то смягчить обстановку, выпускник школы заявляет,
что без таблиц логарифмов он ответить на вопрос не может. Но,
спрашивается, при чем здесь таблицы, достаточно только использовать
само определение логарифма, которое им же самим было
дано безукоризненно точно.
«Не менее тяжким следствием формализма математических знаний
мы должны, наконец, признать и почти полную мертвенность,
бесполезность такого рода знаний в формировании научного мировоззрения
учащихся, которое должно являться одной из важнейших
задач нашей общеобразовательной школы. Вряд ли надо доказывать,
что знания и навыки, связанные лишь с внешней формой изучаемого
предмета и оторванные от его содержания, ни в какой мере
не могут влиять на идейное воспитание ученика, на формирование
его мировоззрения. В лучшем случае они способны только стимулировать
тренировку чисто формальных мыслительных способностей
»2.
А. Я. Хинчин дает исчерпывающее определение формализации
знаний, говоря, «что для всех проявлений формализма характерно
неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного
внешнего (словесного, символического или образного)
выражения математического факта над содержанием этого
фактам3. — ‘
В статье Хинчина имеется одно замечание, которое мне представляется
полезным, хотя оно и кажется достаточно очевидным,
1 Х и н ч и н А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963,
с. 106.
2 Там же, с. 107. «
3 Там же, с. 110*
80 Развитие мышления и речи на уроках математики
«Иногда приходится встречаться и с …недоразумениями в понимании
формализма. Так, формализм математических знаний порою
смешивают с обязательным для всех ступеней математической науки
требованием формально-логической строгости ее умозаключений.
Борьбу с формализмом хотят понимать как борьбу за изгнание из
школьного преподавания математики требований формально-логической
строгости обоснования математических истин. Грубая вульгаризация
проблемы, основанная на терминологическом созвучии,
элементарное смешение здесь настолько очевидно, что вряд ли стоит
останавливаться на этих тенденциях. Это похоже на то, как если бы
мы в порядке борьбы с идеализмом потребовали изгнания из школьного
преподавания всякой идейности»*.
Рассматриваемая статья Хинчина мне представляется настолько
хорошей и богатой в идейном плане, что я не могу удержаться
от того, чтобы не сделать читателей моей книги совладельцами четких
и отточенных, литературно и логически совершенных его формулировок.
Например,.одна из них: «…у нас нередко смешивают
формализм математических знаний с явлением отрыва математической
теории от практики. Это последнее явление, также распространенное
в нашем школьном обучении, является, конечно, подобно
формализму, его тяжелым пороком. Однако смешение этих двух
недостатков, неотчетливое понимание имеющихся между ними существенных
различий принесло бы только вред борьбе с обоими
дефектами. Необходимо поэтому подвергнуть исчерпывающему
анализу вопрос о взаимоотношении между формализмом и отрывом
теории от практики в математической подготовке учащихся.
Дело обстоит, при некотором, вполне допустимом в данный момент
упрощении, следующим образом. В математике, как во всякой
науке, исходным источником знания, первой ступенью его, служит
внешний мир, объективная материальная действительность; абстрагированные
от нее отношения и формы, т. е. содержательные математические
понятия и закономерности; образуют в построении здания
математики его вторую ступень; наконец, используемые математикой
в целях научного анализа внешние выражения этих
понятий и закономерностей, весь арсенал ее формально-символических
записей, дефенитивно-четких словесных формулировок и наглядных
образов составляют собой третью, внешне-формальную
ступень этого здания. Первая ступень есть для математики источник
ее исследований; вторая образует собою подлинный предмет этих
исследований, а третья служит их орудием. Отрыв теории ог практики
означает разрыв связи между первой и второй ступенями, отрыв
математического исследования от его живого источника — материальной
действительности. Напротив, явление формализма есть
нарушение правильной связи между второй и третьей ступенями.
Орудие исследования здесь как бы перестает быть орудием и ста-
1 Х и н ч и н А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963,
с. 112—113.
81 Развитие мышления и речи на уроках математики
выхолащивается.
Заучивается и запоминается внешнее, формальное,
символическое выражение содержательного математического факта,
сам же этот факт либо вовсе отсутствует в сознании, либо присутствует
вне всякой связи со своим формальным выражением, никак
не ассоциируется с ним в представлении учащегося»1.
Я считаю, что довольно большое заимствование из статьи
А. Я. Хинчина было весьма полезным, поскольку позволило нам
увидеть, что формализм знаний мешает мышлению, выработке привычки
размышлять самостоятельно, не боясь при этом первоначальных
трудностей.
Для того же, чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно,
чтобы привить им твердую привычку надеяться в решении возникающих
затруднений на собственные силы и привить им уверенность
в практически неограниченных возможностях их способностей,
необходимо заставить их пройти через определенные трудности, а
не подавать им все в готовом и до конца разжеванном виде. К сожалению,
нередко школа стремится облегчить путь обучения настолько,
что учащиеся проходят дистанцию от первого до последнего дня
школьной жизни, ни разу всерьез не продумав узловые моменты
теории, не сосредоточив своих умственных сил на самостоятельное
преодоление трудностей, встречающихся при решении задач или
же осмысливании условий теорем. Основная трудность перекладывается
на плечи преподавателей, которые в каждый момент должны
быть готовы дать консультацию учащемуся по любому поводу. И
вместо того, чтобы приложить к преодолению встретившихся затруднений
собственные усилия, учащиеся не так уж редко предпочитают
использовать такой доступный и легкий способ, как консультация
учителя.
По этому поводу хорошо сказал А. Я. Хинчин: «Когда речь заходит
о «самостоятельной работе», то прежде всего говорят о консультациях.
Побольше консультаций! Что это значит реально? Реально
это значит, что студент, не понявший какой-либо мелочи на
лекции или в учебнике, вместо того чтобы самостоятельно разрешить
возникшее недоразумение, что иногда требует не более десяти минут,
приучается немедленно обращаться к преподавателю, чтобы получить
готовый ответ. Реально это значит, что студент, которому нужна
какая-то теорема, вместо того, чтобы самостоятельно разыскать
ее доказательство, пересмотрев три-четыре учебника (все мы знаем,
как воспитывают такие розыски), идет к преподавателю и получает
законченное указание: книга такая-то, страница такая-то. И это
называют мерами к стимулированию самостоятельности»2.
Для нас несущественно, что слова Хинчина были обращены к
1 Х и н ч и н А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963,
с. 111—112. ‘
2 Там же, с, 113.
82 Развитие мышления и речи на уроках математики
значительной
мере относятся и к школьникам.
Несомненно, что учащийся, не приученный к самостоятельному
преодолению трудностей, к постоянному поиску выхода из затруднений,
будет вынужден через всю жизнь нести груз неполноценности,
будет использовать потребность иметь под боком кого-то, кто поможет
ему, даже в простейших ситуациях. Для общества такой человек
будет балластом, потому что он ничего не сможет сделать самостоятельно,
а постоянно станет требовать помощи от других, поскольку
он привык получать ее в школе и вузе от преподавателей.
Отсутствие формализма в приобретенных знаниях является
только необходимым, но далеко не достаточным условием развитого
мышления. Оно требует не только отсутствия формализма, но
и привычки к полноценной аргументации выдвигаемых положений,
к недопустимости логических скачков в рассуждениях, к последовательному
проведению всех необходимых доводов для получения
окончательного заключения.
Мы прекрасно знаем, как часто при обсуждении даже очень важных
дел ограничиваются приведением двух-трех аргументов в
пользу того или иного решения и не заботятся о полноте приведенных
соображений. Однако зачастую такого аргументирования, как
правило, бывает недостаточно. Подобное случается и в науке, особенно
когда вновь открытый метод дает прекрасные результаты.
Тогда, почти обязательно, этот метод возводится в абсолют и перестают
интересоваться условиями его применимости. В частности,
нередко при решении прикладных вопросов забывают об основных
требованиях, без которых метод не приносит пользы или вообще
не используется. Поясню сказанное одним примером.
Лет двадцать — двадцать пять назад ряд наших газет опубликовал
статьи, в которых рассказывалось об идеях линейного программирования
и об огромных возможностях этой теории для выбора
наиболее экономических решений практических задач. Общий рассказ
был проиллюстрирован задачей об экономии на транспортных
расходах, которые можно получить при распределении песчаных
карьеров и грузовых пристаней между 216 крупными стройками
того времени для снабжения песком. Оказалось, что при этом удавалось
добиться снижения транспортных расходов на 20 ООО рублей
в день. Далее сообщалось, что это решение осуществлено и
внедрено в жизнь.
Нет сомнений, что это решение правильно. Однако реальная
жизнь сложнее и при внедрении следовало учитывать не только мощность
карьеров, но и ряд других обстоятельств: наличие подъездных
путей, погрузочных машин, скорость погрузки.
Позднее, лет через шесть после этой статьи, в газете «Труд»
я прочитал статью, в которой рассказывалось об огромных потерях
от простоев автотранспорта на песчаных карьерах из-за отсутствия
подъездных путей. Нередко случалось, что мощный самосвал за
смену успевал сделать лишь одну ездку на стройку.
83 Развитие мышления и речи на уроках математики
В практических задачах важно учитывать не один какой-либо
аспект задачи — в данном случае суммарное уменьшение общего
пути ездок и тем самым уменьшение расхода бензина, амортизации
автотранспорта, возможности песчаных карьеров осуществить погрузку
без образования очередей. Без учета этих дополнительных
факторов экономия на расходе бензина съедалась более или менее
полностью простоями.
Хотелось бы подчеркнуть еще раз, что транспортная задача по
перевозке песка была решена правильно, но это только один аспект,
который приводит к экономии, если все условия задачи выполнены.
В данном случае не было выполнено одно из условий — возможность
осуществлять погрузку нужного числа машин на некоторых из
карьеров. Сложные задачи, с которыми теперь приходится встречаться,
не позволяют какой-то один аспект вырывать из всех существующих
связей и только на нем основывать подсчет экономии. В
действительности следовало решать задачу так называемой теории
операций (исследования операций), которая как раз и подходит
комплексно, рассматривая всю совокупность причин, действующих
на экономичность решения.
Математические методы и результаты имеют ограниченное поле
применимости. Поле действия теоремы определяется теми условиями,
которое содержатся в ее формулировке. Теорему Пифагора,
доказанную для прямоугольных треугольников на евклидовой плоскости,
уже нельзя переносить на другие поверхности. Например,
на сфере для прямоугольных треугольников теорема Пифагора не
имеет места. Учащиеся должны уяснить, что не любой математический
расчет приводит к правильным результатам, а лишь тот, который
соответствует реально существующим условиям. Каждый
педагог-математик стремится по мере сил и возможностей к развитию
мышления’учащихся. Очень важно научить учащихся видеть, что
из формулировки теоремы нельзя выкинуть ни одного слова, поскольку
этим самым будут нарушены логические связи, и можно
будет построить контрпримеры.
В непосредственной связи с развитием мышления находится
воспитание культуры речи. Нередко преподаватели внимательны
только к тому содержанию, которое излагает учащийся, но не очень-
то следят за тем, как он говорит. Такой подход не может считаться
оправданным. Математик не может быть безразличным не только к
содержанию, но и к форме ответа. Нельзя считать, что воспитание
культуры речи находится только в руках преподавателей русского
языка и литературы. И то; что может сделать учитель математики,
порой затруднительно для преподавателя истории или литературы.
Действительно, именно на уроках математики школьник должен
привыкать к краткой, четкой, логически отточенной речи. Именно
в математике следует приучать к тому, что даже в обычной речи
следует избегать слов и фраз, не несущих смысловой, нагрузки.
Каждому человеку приходится выражать словами свои мысли,
желания, Впечатления, и во всех случаях нужно добиваться того,
84 Развитие мышления и речи на уроках математики
чтобы мысль передавалась точно и без искажения. А для этого не*
обходимо, чтобы второстепенные детали и лишние слова не затемняли
основного содержания, приучиться произносить только то,
что необходимо для пониманий дела.
.У некоторых учащихся есть склонность к украшательству своей
речи. Им кажется, что это красиво и они приближаются к
литературным достоинствам великих мастеров слова. В связи с
этим мне хотелось бы напомнить следующие слова Лобачевского,
которые он, как помощник попечителя Казанского учебного округа,
писал в предписании директору училищ Саратовской губернии
(1846 г.): «…усмотренная в некоторых учениках наклонность к
риторическим украшениям, нестрогости выражений и дикая фантазия…
возлагают также на учителя словесности обязанность заботиться,
чтобы сочинения были писаны ясно, изобиловали бы количеством
мыслей, а не украшений, которые допускать только тогда,
когда ими выражается особенная мысль или действительно усиливается
выражение. Темы для сочинений, по преимуществу, должны
касаться истории, которой нравственное влияние для молодых
людей так полезно по примерам высоких добродетелей и подвигов,
увлеченных полезным успехом и награжденных благодарностью
современников и потомства»1.
Слова Лобачевского актуальны и теперь. Мне хотелось бы обратить
внимание на заключительные слова цитаты, в которых он рекомендует
воспитывать молодых людей на примерах достойных дел
исторических личностей. К этому мы еще вернемся, когда будем обсуждать
значение истории математики для воспитания молодого
поколения.
Однажды мне пришлось присутствовать на одном очень интересном
докладе крупного специалиста в своей области. К сожалению,
этот доклад много потерял от привычки докладчика произносить
через пять — десять слов свои «так сказать». Минут через десять
после начала доклада многие слушатели стали подсчитывать, сколько
раз он произнесет «так сказать» за три или пять минут. По ходу
рассказа он упомянул об одном крупном профессоре-медике, но
получилось нечто вроде насмешки: «так сказать профессор». Доклад
в значительной мере потерял в убедительности как раз из-за злоупотребления
паразитическим словосочетанием.
К сожалению, у многих имеется привычка к «мычанию»: человек
не может вовремя найти нужное слово, и перерыв заполняет длительным
«ммм…». Этот недостаток легче исправить у детей, чем у
взрослых.
Весьма распространено также злоупотребление иностранными
словами. Это не только не красит речь* но нередко бывает причиной
затруднений у слушателей. Родной язык достаточно богат, чтобы
без нужды не пользоваться словами и выражениями, которые не
1 Л о б а ч е в с к и й Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руководство
Казанским университетом. Фрагменты. Письма. М.—Л.: 1976, с. 506.
85 Развитие мышления и речи на уроках математики
свойственны ему, и его засорение должно считаться признаком
бескультурья.
Преподаватель не может проходить без внимания мимо недостатков
речи учащихся. И если школьник будет знать, что любой недостаток
его речи будет замечен, любая алогичность в его рассуждениях
будет отмечена, он станет внимательнее относиться к тому, что
и как он говорит, и с детства привыкнет следовать в своей речевой
практике замечательной узбекской поговорке: «Человек!
Прежде чем пропустить слова через нижнюю часть головы, пропусти
их через верхнюю».
Конечно, чтобы воспитывать речь школьника, преподаватель
сам должен владеть ею безукоризненно. Каждое слово учителя,
каждый сделанный им жест должны содействовать восприятию учащимися
предмета изложения, процессу запоминания. Речь не должна
быть слишком быстрой, поскольку за ней трудно следить многим
учащимся. Но она не может быть и излишне медленной, так
как при таком изложении может потеряться нить изложения.
Если преподаватель рассказывает так, что его не приходится переспрашивать,
удается сэкономить время на ненужных вопросах и
ответах, вызванных торопливым изложением, когда теряется не
только время, но и цельность представления о том, что излагает
учитель.
Однажды студенты Львовского университета решили оценить,
насколько больше успевает за время лекции один профессор, которого
за быстроту речи и порывистость движений они прозвали
«атомной энергией», по сравнению с другим, казавшимся им очень
медлительным. Каково же было их изумление, когда оказалось, что
последний успевал излагать примерно на 15—20% материала больше,
чем «атомная энергия». Дело в том, что медлительный профессор
не произносил лишних слов, и его не переспрашивали* все содержание
укладывалось в голове слушателей сразу. За пулеметной же очередью
слов другого профессора студенты не успевали следить, и
чтобы понять, о чем идет речь, им приходилось много раз прерывать
лекцию вопросами и просьбами о повторении.
Учитель не должен забывать, что четкая речь и мысль доступнее
для понимания, чем мысль расплывчатая, речь неправильная, переусложненная
множеством придаточных предложений и отвлекающих
украшений. Речь учителя должна быть не только грамматически,
литературно правильной, но и эмоционально насыщенной.
Учащиеся от общения с учителем должны получать внутреннюю
убежденность в беспредельной важности того, что он им сообщает,
веру в собственные силы, интерес к предмету и стремление к познанию.
Человеческая речь может обладать исключительной выразительностью,
она может немногими словами рисовать яркие образы,
давать представление о сложнейших движениях мысли людей, помогать
пониманию сложнейших явлений, звать на подвиги и оставаться
в памяти людей на долгие годы. Но для этого нужные слова долж
86 Развитие мышления и речи на уроках математики
ны произноситься в соответствующие моменты и с соответствующей
интонацией. И то, что сегодня прозвучало как нечто потрясшее
воображение, завтра или в другой обстановке, при другом составе
слушателей уже не произведет впечатления. Оратор и преподаватель
должны быть немного и психологами, чтобы уметь улавливать
настроение аудитории и уметь воспользоваться настроением слушателей,
чтобы увлечь их своим рассказом и повести за собой. Тот,
кто лишь отбывает повинность, кому не дороги ученики или слушатели,
на это не может быть способен. Слушателя необходимо уважать,
и он должен убедиться, что лектор, учитель приходит к нему
лишь с той цепью, чтобы сделать его совладельцем собственных знаний
и показать новые пути в науке, образовании, практической деятельности.
Математика может в силу своих специфических особенностей, а
потому и должна содействовать выработке у учащихся привычки к
полноценному мышлению и к четкой, ясной, выразительной и логически
полноценной речи. Это им поможет впоследствии в их жизни
доносить свои мысли до сознания других людей в неискаженном виде,
поможет им избавиться от множества затруднений, которые связаны
с неумением правильно и однозначно излагать свои мысли,
87 Развитие мышления и речи на уроках математики
Околоadmin
Comments