дома » Алгебра в школе » Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных уравнений, исходя из грубого приближения

Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных уравнений, исходя из грубого приближения

§ 7. Уточнение корня уравнения или решения системы
нелинейных уравнений, исходя из грубого приближения

ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Уточнение корня уравнения или решения системы
нелинейных уравнений, исходя из грубого приближения

При графическом решении корень уравнения или решение системы уравнений
определяется лишь грубо приближенно. Уточнение результата за счет
\величения масштаба не очень эффективно, так как повышение точности
требует пропорционального увеличения масштаба. Например, чтобы определить
новую значащую цифру после занятой в десятичном разложении корня,
т. е. увеличить точность в 10 раз, нужно и масштаб увеличить в 10 раз.

Однако существует весьма хорошо действующий алгебраический способ
для подобного рода уточнения. Мы не будем излагать его в общем виде,
а ограничимся только рассмотрением примеров его применения.
При ме р . Для уравнения х* — Ах 4* 1 = 0 известно приближенное значение
одного из корней х «=1,8. Требуется вычислить этот корень с большей
точностью.
Р еше н и е . Поступаем так. Положим х = 1,8 + К где Л — новая неизвестная.
Мы можем быть уверены, что h есть маленькое число, во всяком
случае меньшее, чем 0,1. Подставив в уравнение вместо х его выражение
через Л, получим
5,832 + 9,72h + 5,4Л2 + /г* — 7,2 — Ah + 1 = 0
или
— 0,368 + 5,72/г + 5,4/г2 + Л3 = 0.
Так как Л2 меньше h во столько же раз, во сколько h меньше единицы,
для приближенного вычисления h отбросим в полученном уравнении члены
с Л2 и Л8. Получим
л звя
— 0,368 + 5.72Л «= 0, h =» -Of™flZ- 0,06.
Итак,
* «в 1,8+ 0,06 = 1,86.
Для дальнейшего уточнения мы можем еще раз применить тот .же
прием. Положим лг«а1,86 + Ль Для hx получим, отбрасывая члены, содержащие
h\ и h\} приближенное уравнение
— 0,005144 + 6,3788hx = 0.
(При этом нет надобности вычислять коэффициенты при h\ и /if, ибо соответствующие
члены мы все равно отбрасываем.) Отсюда hx^ 0,0008 и, следовательно,
х ^ 1,8608.
Продолжая этот прием, мы можем получить значение корня уравнения
с любой степенью точности.
В общем виде идея метода такова. Если лг0 есть приближенное значение
корня данного уравнения, мы полагаем в уравнении лг = л*0 + /г и в полученном
уравнении относительно h отбрасываем члены, содержащие h выше,
чем в первой степени, и решаем приближенно получившееся уравнение первой
степени относительно h. Тогда число х х= х 0-{- h оказывается, вообще
говоря, значительно лучшим приближением к корню, чем исходное приближение
х 0. В случае надобности процесс можно повторить.
Пр име р . Для одного решения системы уравнений
( *3+ У = 9,
\ у = 2х* — 2 х— 3

339 Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных уравнений, исходя из грубого приближенияПлан кабинета математики.

известны приближенные значения х «з 2,2, у ъа 2,0. Найти решение с большей
точностью.
Р еш е н и е . Будем действовать тем же способом, как при уточнении
корня одного уравнения с одним неизвестным. Именно, положим х = 2,2 + h;
у = 2 ,0 + & и, подставив в уравнение, отбросим все члены, содержащие Л2,
&9, hk, так как эти величины значительно меньше самих h и k. Получим
4,84 + 4,4Л + 4 + 4£=»9,
2 + k «а 9,68 + 8,8Л — 4,4 — 2Л — 3.
Решив эту систему, получим — 0,03, 0,07. Таким образом, уточненными
значениями для х и у являются значения
х «й 2,2 — 0,03 = 2,17,
у ъ 2,0 + 0,07 = 2,07.
Для дальнейшего уточнения можно повторить тот же процесс.
Упражнения
1. Определить с точностью до 0,0001 все корни уравнения лг8—4лг -f-1 = 0 ,
исходя из приближений, найденных графически.
2. Определить с точностью до 0,01 все решения системы уравнений
9,
\ у = 2лг2 — 2л: — 3,
исходя из приближений, найденных графически.

340 Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных уравнений, исходя из грубого приближенияПлан кабинета математики.

,

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика