§ 7 . Вычисление рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Вычисление рациональных корней

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь — была
корнем уравнения q
OqX ti — ( — a \ X ^ x — j — . . . 4 ~ a n — i X a n =i= 0 (1)
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы р было делителем
свободного члена а„ a q было делителем старшего коэффициента
а0.
Дока з а т ел ь с т в о . Пусть ~ — корень уравнения (1), т* е*
имеет место тождество
a° ( f ) ~*»a i ( f ) + — — — + a» — i ( 7 ) + a»==:0′
Умножим обе части тождества на (р, получим
айр” 4- aipn lq — j-. .. + o.n-iPQn’ 1 + апЯп — &

482 Вычисление рациональных корней. Кабинет Математики.

Из тождества (2) имеем
— • = « о /-1 + a ^ q 4 — . . . + а»-!?»-1.
Правая часть равенства — целое число. Значит, ^ целое #
По условию, дробь ^ несократима, значит, ни одно простое число,
входящее в /?, в число q не входит. По этой причине ни одно
простое число, входящее в ру не может входить и в qn. Выходит,
что ап делится на р.
Из тождества (2) имеем
— ^ = а1Рп~’ + <кРп-*д+ . . . + а д » «1 •
Так как ни одно простое число, входящее в q9 не входит в р,
йлрп ^ число — т~ ~ может быть целым только тогда, когда а0 делится
на q.С л е д с т в и е 1. Если уравнение имеет целые коэффициенты
и старший из них равен единице, то рациональными корнями
такого уравнения могут быть только целые кисла.
Действительно, а0 = 1, a q — делитель а0. Значит, q = ± 1, а
тогда— целое.
Я
Сл е д с т в и е 2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами
являются делителями свободного клена.
Пример. Вычислить рациональные корни уравнения
2хг — Зх2 — Злг —(— 2 = 0.
Решение . Свободный член равен 2. Поэтому для р возможны
только следующие значения: 1, — 1, 2 и — 2.
Старший коэффициент равен 2. Поэтому для q возможны только
следующие значения: 1, — 1,2, — 2.
Составляя всевозможными способами несократимые дроби
найдем, что рациональные корни данного уравнения, если они имеются,
содержатся среди следующих чисел:
§ 7] ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 483
Подстановкой в уравнение легко выяснить, что из этих шести
чисел удовлетворяют уравнению 2, ^ и — 1.
Таким образом, уравнение имеет три рациональных корня:
— 2, Х<% —— у -Уд ==~ ‘ 1*
1/41б*

483 Вычисление рациональных корней. Кабинет Математики.

Д ля. испытания, является ли данное число корнем уравнения,
удобно пользоваться правилом сокращенного деления многочлена на
двучлен х — а. Для данного примера эти испытания проводятся так:
4 8 4 УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ [ г л . X!
2 —3 —3 2
2 —1 —4 —2
1
1 не является корнем уравнения, так как при делении левой части
уравнения на х — 1 в остатке получилось — 2.
Испытываем число 2
2 — 3 — 3 2
2 1 —1 0
2 — корень уравнения. В результате деления оказалось, что
2л;8 — Зл;2 — 3* + 2 — {х — 2) (2л;2 -|- х — 1).
Поэтому для отыскания остальных корней данного уравнения достаточно
решить уравнение
2 * 2 + л; — 1 = 0 .
Ответ. лг! = 2; лг2 = у ; лг3= — 1.
Пример. Найти рациональные корни уравнения
л;8 4 — 2 л г 2 — } — 4 л ; + 2 = 0.
Решение* Старший коэффициент уравнения равен единице,
поэтому рациональными корнями уравнения могут быть только целые
числа.
Делители свободного члена суть: 1, 2, — 1, — 2. Сразу видно,-
что никакое положительное число не может быть корнем данного
уравнения, так как при любом положительном значении х левая
часть уравнения положительна.
Остается испытать — 1 и — 2:
1 2 4 2
1 1 3 —1
1 1 2 4 2
1 0 4 —6
Ответ. Уравнение рациональных корней не
имеет*
Полученный в последнем примере результат означает, что корни
рассматриваемого уравнения иррациональные или мнимые.
Пример. Решить уравнение
дг4 — 2 л ;3 — f 2 л ;2 — 2л; + 1 = 0 .

484 Вычисление рациональных корней. Кабинет Математики.

Решение . Выясним прежде всего, не имеет ли уравнение рациональных
корней. Испытанию подлежат два числа 1 и — 1:
1 — 2 2 — 2 1 1
1 —1 1 —1 0
*1 = 1. Остальные корни данного уравнения являются корнями уравнения
третьей степени х®— х 4т |- х — 1 = 0:
1 —1 1 —1 1
1 0 1 0
* 2= 1 . Остальные корни данного уравнения являются корнями квадратного
уравнения * а -{-1 = 0.Ответ. * t = * 8= l ; х г= i; * * = —I.
Упражнения
1. Доказать, что уравнение 1 = 0 не имеет рациональных корней

485 Вычисление рациональных корней. Кабинет Математики.

Околоadmin