Курьезы и неожиданности

ГЛАВА II  ЯЗЫК  АЛГЕБРЫ. Курьезы и неожиданности .

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ

Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского

Сборник Математики

Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности каптирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

Курьезы и неожиданности

При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик мало- опытного математика. Приведем несколько примеров. 1. Найти двузначное число, обладающее следую- щими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше циф- ры единиц. Если из числа, записанного теми же циф- рами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27. Обозначив цифру десятков через х, а цифру еди- ниц — через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:

а после преобразований:
36 = 27.
У нас не определились значения неизвестных, зато
мы узнали, что 36=27… Что это значит?
Это означает лишь, что двузначного числа, удовле->
творяющего поставленным условиям, не существует

стр. 56 Курьезы и неожиданности. 

и что составленные уравнения противоречат одно
другому.
В самом деле: умножив обе части первого уравне-
ния на 9, мы найдем из него:

т. е. 4 = 2. Чисел, удовлетворяющих этой системе, не
существует. (Системы уравнений, которые, подобно
сейчас рассмотренным, не имеют решений, называют-
ся несовместными.)
II. С иного рода неожиданностью встретимся мы,
если несколько изменим условие предыдущей задачи.
Именно будем считать, что цифра десятков не на 4,
а на 3 меньше, чем цифра единиц, а в остальном оста-
вим условие задачи тем же. Что это за число?
Составляем уравнение. Если цифру десятков обо-
значим через х, то число единиц выразится через x+3.
Переводя задачу на язык алгебры, получим:

10(x+3) +х—[10x+ (x+3)]=27.
Сделав упрощения, приходим к равенству
27=27

стр. 56 Курьезы и неожиданности. 

Это равенство неоспоримо верно, но оно ничего не
говорит нам о значении х. Значит ли это, что чисел,
удовлетворяющих требованию задачи, не сущест-
вует?
Напротив, это означает, что составленное нами
уравнение есть тождество, т. е. что оно верно при лю-
бом значении неизвестного х. Действительно, легко
убедиться в том, что указанным в задаче свойством
обладает каждое двузначное число, у которого цифра
единиц на 3 больше цифры десятков:
14 + 27 = 41, 47+27=74,
25 + 27=52, 58 + 27=85,
36+27=63, 69+27=96.
III. Найти трехзначное число, обладающее следую-
щими свойствами:
1) цифра десятков 7;
2) цифра сотен на 4 меньше цифры единиц;
3) если цифры этого числа разместить в обратном
порядке, то новое число будет на 396 больше иско-
мого.
Составим уравнение, обозначив цифру единиц че-
рез х:

100x + 70+х—4—[ 100 (x—4) + 70+х]=396.
Уравнение это после упрощений приводит к равен-
ству
396 = 396.

Читатели уже знают, как надо толковать подоб-
ный результат. Он означает, что каждое трехзначное
число, в котором первая цифра на 4 меньше третьей1),
увеличивается на 396, если цифры поставить в обрат-
ном порядке’.
До сих пор мы рассматривали задачи, имеющие
более или менее искусственный, книжный характер;
их назначение — помочь приобрести навык в состав-
лении и решении уравнений. Теперь, вооруженные тео-
ретически, займемся несколькими примерами задач
практических — из области производства, обихода,
военного дела, спорта.

—-
‘) Цифра десятков роли не играла.

стр. 57 Курьезы и неожиданности. 

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Курьезы и неожиданности