ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

Главная страница Математические олимпиады.
Сборники Математики Скачать бесплатно

Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно). Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше. А тексты на страницах сайта Вам помогут находить нужные темы с помощью поисковой формы ниже:

99. В плоскости дано п > 3 точек, причем никакие три точки

не лежат на одной прямой. Существует ли окружность, проходящая
по крайней мере через 3 данные точки и не содержащая
внутри себя ни одной из остальных? (Чехословакия)
100. Дано п положительных чисел 0 о с 2 таких,
что а 1-а2 — . . . — а„= 1.
Докажите, что
( 1 + а 1) ( 1 + а 2) . . . ( 1 + а „ )> 2 » (ГДР)
101. В плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не
лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек существуют
такие 4 точки, которые являются вершинами выпуклого
четырехугольника. (Польша)
102. Докажите неравенство
t / л _ 5 1 П х \ t / л С 0 5 * \ j
ь \ 4 s i n a / ь \ 4 c o s a /
для всех значений х и а, удовлетворяющих условиям
0 < x < y , (СССР)
103. Пусть т — выпуклый плоский многоугольник, периметр
которого I, а площадь S. М (R)—множество точек пространства,
удаленных от т на расстояние не более R, Р(/?) — объем тела
М (R).
Докажите, что V (R) = ^ Р 3+ I j Р 2+ (25) R.
Точка С удалена от фигуры т на расстояние не более R,
т. е. С принадлежит М (R), если у фигуры т найдется точка D,
расстояние от которой до С не превышает R. (СССР)
104. При каком расположении двух бесконечных прямых
круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е.
будет целиком лежать в одной плоскости)? (СССР)
105. Дан ящик сахарного песка, чашечные весы и гирька
в 1 г. Как возможно быстрее отвесить покупателю 1 кг сахару?
(Укажите схему уравновешиваний.) (СССР)

40 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

106. Найдите х, если
sin 3jc-cos (60° — 4jc) + 1
sin (60°—7x) — cos (30° + x) + m = o.
где tn—данное действительное число. (Румыния)
107. Сколько действительных решений имеет уравнение
х = 1964 sin х—189? (ГДР)
108. Существует ли натуральное число г, которое можно
двумя различными способами записать в виде г = х\-\-у\, где х,
у — натуральные числа, удовлетворяющие неравенству х^ .у?
(Чехословакия)
109. Определите цифры х, у, г, если известно, что равенство
х х . . . х—у у .. .у — г г . . .г
2п цифр п цифр п цифр
имеет место по крайней мере для двух различных значений натурального
числа п. Найдите все значения п, для которых это
равенство остается справедливым. (Болгария)
110. Пусть at > 0, а2 > 0, . . . , ап > 0. Докажите неравенство
С1п ( ^ » + ^77+ • • • + 7Г<Г + — + • • • + \®1а2, “1^3 а1аП а2а3 7(*2^а“П + • • • + а“ П — 1а—П)/ ^
^ . / 1 1 1
^ Va i + °s а 1 + °з а 1 + ° п
+ — J L — + . V
° 2 + а З а 2 + а « а п — 1 + а п /
и найдите условие, которому должны удовлетворять числа а{
( (= 1, 2, . . . , п), чтобы имело место равенство. (Югославия)
111. Найдите наибольшее число областей, на которые рассекают
круг отрезки, соединяющие п точек, лежащих на его
окружности. (Польша)
112. На окружности даны точки А, В, С, D такие, что А В—
диаметр круга, a CD—нет. Докажите, что прямая, соединяющая
точку пересечения касательных к окружности в точках С
и D с точкой пересечения прямых АС и BD, перпендикулярна
прямой АВ. (Польша)
113. На плоскости дан круг К с центром 5 и радиусом 1 и
квадрат с центром М и со стороной, равной 2. Пусть XY —
гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника XYZ.
Какую фигуру заполнят вершины Z треугольников XYZ, если
X пробегает весь круг и Y—весь квадрат Q? (Чехословакия)
114. Пусть ABCD и A’B’C’D’—два параллелограмма, произвольно
расположенные в пространстве, и М, N, Р, Q—точки,
делящие отрезки АА’ , ВВ’, СС’ , DD’ в одинаковом отношении.
а) Докажите, что MNPQ—параллелограмм

41 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

б) Найдите геометрическое место центров параллелограмма
MNPQ, когда М пробегает отрезок АА ‘ . (Последовательные
вершины параллелограммов обозначены в алфавитном порядке.)
(Румыния)
115. Решите уравнение:
s in х 1 c o s* р ’
где р—действительный параметр. Исследуйте, при каких значениях
параметра существуют решения и сколько. (Венгрия)
116. Постройте треугольник, если известны радиусы вневпи-
санных окружностей. (Венгрия)
117. Даны три конгруэнтных прямоугольника. Их центры совпадают,
а плоскости взаимно перпендикулярны. Каждая прямая,
по которой пересекаются плоскости двух прямоугольников, содержит
по одной из средних линий этих двух прямоугольников,
причем длина этих линий различна. Рассмотрим выпуклый многогранник,
вершины которого совпадают с вершинами прямоугольников.
а) Определите объем этого многогранника.
б) Может ли многогранник оказаться правильным и если
может, то каково условие этого? (Венгрия)
118. Докажите, что объем V и боковая поверхность S любого
прямого кругового конуса удовлетворяют неравенству
когда возможно равенство? (Болгария)
119. Пусть Р и Р’ — равновеликие параллелограммы, стороны
которых а, Ь и а’, Ь’ удовлетворяют неравенствам а ‘ а
причем отрезок Ь’ может быть целиком помещен в Р.
Докажите, что Р и Р’ равносоставлены и могут быть разложены
на четыре попарно конгруэнтных многоугольника.
(Болгария)
120. Три грани тетраэдра—прямоугольные треугольники, а
четвертая грань не тупоугольный треугольник. Докажите, что:
1) необходимым и достаточным условием того, чтобы и четвертая
грань была прямоугольным треугольником, является
предложение, что ровно два из плоских углов при одной вершине
тетраэдра—прямые;
2) если все грани тетраэдра прямоугольные треугольники, то
объем тетраэдра равен ~ произведения трех наименьших ребер,
не принадлежащих одной грани. (Болгария)
121. В зале находится п ^ 2 человек.
Докажите, что в зале найдутся два человека, которые имеют
среди присутствующих одинаковое число знакомых (предполагаем,
что, если А—знакомый В, тогда В—знакомый Л; не считаем
никого знакомым самому себе). (Польша)

42 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

122. а) Докажите неравенство
(а1 + й2 «Ь • • • + я*)2 ^ k (я2 + — • • + я|), (1)
где натуральные и аг, ак произвольные действительные
числа.
б) Используя неравенство (1), докажите, что если действительные
числа alt . . . , ап удовлетворяют неравенству
°i + а2 • • • + ап ^ V ( п— 1) (ai + ■ • • + fl«)« (2)
то все числа аг, . . ап неотрицательны. (Чехословакия)
123. В плоскости дана окружность с центром 5 и радиусом 1.
Пусть ABC—произвольный треугольник, для которого окружность
является вписанной, и пусть
\SA | < | S f i | < | S C | .
Найдите геометрическое место:
а) вершин А таких треугольников;
б) » В » » ;
в) » С » » . (Чехословакия)
124. Данное натуральное число N раскладывается на сумму
нескольких последовательных целых чисел.
а) Найдите все такие разложения для JV = 500.
б) Найдите число этих разложений для N = 2a 3P5v (a, (5, у —
натуральные числа). Какие из этих разложений содержат только
натуральные числа?
в) Найдите число этих разложений для произвольного натурального
N. (Румыния)
125. Докажите, что если п—целое положительное число, то:
а) Ig (n + 1) > +
б) Ig (я!) > jff- ‘y + J + !)
dg — символ обычного десятичного логарифма). (Румыния)
126. Решите уравнение и исследуйте его решения для различных
значений т:
| х2 — 11 + 1 х2 — 4 1 = тх.
Какие пары целых чисел (х, т) удовлетворяют данному равенству?
(Румыния)
127. Длины сторон а, Ь, с треугольника ABC образуют
арифметическую прогрессию. Арифметическую прогрессию образуют
и длины сторон треугольника Л^СД.
Кроме того, Л = Л,. Докажите, что треугольники подобны.
(Болгария)
128. В больший из двух внутренне касающихся кругов вписан
равносторонний треуготьник. Из его вершин проведены каса-

43 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

касательных
равна сумме длин двух других. (Болгария)
(29. Найдите все пары положительных целых чисел (х, у),
удовлетворяющих уравнению 2х = 3^ + 5. (Болгария)
130. Коэффициенты а, Ь, с, d полинома ах3 bx2 сх+ d —
целые числа, причем ad—нечетное и Ьс—четное число. Докажите,
что хотя бы один корень полинома нерациональный.
(Польша)
(31. В окружность вписан четырехугольник A BCD. Докажите,
что центры тяжести треугольников ABC, CD A, BCD, DAB
лежат на одной окружности. (Польша)
132. Докажите, что четыре перпендикуляра, опущенные из
середин сторон вписанного четырехугольника на противоположные
стороны, пересекаются в одной точке. (Польша)
(33. Даны две концентрические окружности радиусов г и Д.
Каково наибольшее число окружностей, одновременно касающихся
двух данных окружностей и не пересекающих друг друга?
Покажите, что это число заключено между
3 V R + V r , 63 R + r /n
» 2 0 ^ ’ (Румыния)
(34. На йдите действительные решения уравнения
V х2 2рх—р2—V х2 — 2 рх—р2= 1,
где р — положительное действительное число. (Чехословакия)
(3 5 . В плоскости дан правильный п-угольник AlAs…A„
(п^ З ) . Сколько имеется тупоугольных треугольников Л,ЛуЛА?
(Чехословакия)
(36. Дана последовательность целых чисел
^ 1» П2, • •-, CLn, п ^ 2,
Докажите, что существует такая подпоследовательность
о*,, Os,, о*, Oftm, причем 1 ^ ky ^ fe2 ^ ^ km ^ n, что число
о*, + a*, + • • • нацело делится на п. (Чехословакия)
(37. В плоскости даны пять точек, из которых никакие три
не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены
друг с другом либо красным, либо синим отрезком так, что никакие
три из этих отрезков не образуют треугольника одного цвета.
а) Докажите, что:
1) из каждой точки выходит ровно два красных и два синих
отрезка;
2) красные отрезки образуют замкнутую линию, которая содержит
все пять заданных точек (точно так же синие отрезки).
б) Покажите, каким способом нужно соединить пять точек
красными и синими отрезками, чтобы были выполнены условия
задачи. (Чехословакия)

44 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

138. Какое максимальное число шаров радиуса у можно поместить
в прямоугольный параллелепипед размером 10x10x1?
(Югославия)
139. Алфавит состоит из п букв. Какова максимальная длина
слова, если:
а) в нем две рядом стоящие буквы всегда различны;
б) из него нельзя пол>чить вычеркиванием букв слова вида
abab, где афЪ ? (Югославия)
140. П>сть
f (а, Ь, с) =
Докажите, что
\Ь— а\ . Ь-\~а 2 I . 16— а | . Ь + а
| ab | ab с I » * J ab \ ab
f(a, Ь, с) = 4ш а х | у , (Югославия)
141. Сколько имеется наикратчайших отрезков среди всех
прямых, которые делят площадь данного треугольника ЛВС на
2 равные части? Найдите длину кратчайшего из этих отрезков,
считая стороны а, Ь, с треугольника ABC данными. (Румыния)
142. Два зеркала образуют двугранный угол с раствором а.
Внутри угла стоят свеча и наблюдатель. Сколько изображений
свечи видит наблюдатель? (СССР)
143. Дан четырехугольник площади S со сторонами а, Ь,
с, d. Докажите, что
(СССР)
144. п школьников с номерами от 1 до л расположены в порядке
1, 2, . . . . п. По команде каждый может либо один раз
с кем-нибудь поменяться местами, либо остаться на месте. Можно
ли в результате двух команд получить расположение п, 1, 2,
. . . , и—1? (СССР)
145. Фигуру площади 1, вырезанную из бумаги, разделили
на 10 частей и покрасили эти части 10 разными красками. Затем
фигуру перевернули на обратную сторону и тоже разделили на
10 частей (каким-то другим способом). Докажите, что эти части
можно покрасить теми же 10 красками (разные части—разными
красками) так, что сумма площадей кусков, покрашенных с обеих
сторон в один и тот же цвет, будет не меньше 0,1. (СССР)
в46. Докажите, что в выпуклом шестиугольнике площади S
всегда можно провести диагональ, отсекающую от него треугольник
площади, не превосходящей ~ S . (СССР)
147. Выбрали сто последовательных натуральных чисел, каждое
возвели в восьмую степень. На какие две цифры оканчивается
сумма этих степеней? (СССР)

45 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

148. Даны вершина А и центр тяжести М треугольника ABC.
Найдите геометрическое место вершин В, таких, что /_А, /_В,
/_С треугольника ABC одновременно удовлетворяют условиям:
4 0 °<Л<7 0 ° , 4 0 °< /?< 7 0 ° и 40е< С < 70е. (СССР)
149. В тетраэдре все пары скрещивающихся ребер взаимно
перпендикулярны. Докажите, что все шесть середин его ребер
лежат на одной сфере. (СССР)
150. Можно ли на деревянный куб нанести 100 (или 200)
точек так, чтобы точки при всех вращениях куба переходили
в себя. Докажите свой ответ. (СССР)
151. Найдите все х, для которых
1 / 3Г
sin x -f sin 2х + . . . + sin п х ^ . — ^
при любом значении п. (СССР)
152. В группе переводчиков, каждый из которых знает один
или несколько иностранных языков, 24 владеют японским, 24 —
малайским, 24—персидским. Докажите, что можно выделить
подгруппу, в которой ровно 12 человек владели бы японским,
ровно 12—малайским и ровно 12—персидским. (СССР)
153. Дан линейный двучлен l(z) = Az-{-B с комплексными
коэффициентами А к В. Известно, что максимальное значение
\1{г) \ на отрезке —1 < х < 1 (у = 0) действительной оси комплексной
плоскости z = x-\-iy равно М.
Докажите, что при любом г
| / ( z ) |<Mp,
где р—сумма расстояний от точки Р = г до точек
Ql (z= 1) и Qs (z = — 1). (СССР)
154. На окружности с центром О радиуса 1 от точки А0
отложим точки Лх, Л2, . . . , Лв99, Л1900 так, что A0OAk = k
(в радианной мере). Затем окружность в точках Л0, Alt . . . , Л1000
разрезается. Сколько различных по длине дуг при этом получится?
(СССР)
155. Докажите, что для любой пары векторов f u g пространства
имеет место неравенство
ap + bfg+cg2^ 0 (А)
в том и только в том случае, если выполняются условия
а ^ 0 ; с ^ 0 ; 4 а с ^Ь 2. (В)
(Венгрия)

46 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

156. В равнобедренном треугольнике ABC \АВ\=\АС\ и
В АС = 20°. Обозначим через D ту точку ребра АВ, для которой
\ AD\ = \CD\, а через Е ту точку ребра АС, для которой
| ВС | = | СЕ\.
Найдите величину угла CDE. (Венгрия)
157. Докажите, что если а и Ь—положительные действительные
числа, т—целое число, то
( 1+ y ) W+ ( I + • £ ) » > 2Я+Г. (Польша)
158. Полином Р(х) = а0хкА’О1хк~1-\- ■ ■ • + где а0, ах, . . . , a k
целые, называют делящимся на т, если Р (а ) кратно m для
каждого целого значения х.
Покажите, что если Р (х)—делящийся на т, тогда k\a0
кратно т.
Докажите также, что если ав, к, т—положительные целые,
такие, что k\a0 кратно т, тогда может быть найден полином
Р (х) = авхк +а 1хк~1 + . . . -\-ак, делящийся на т. (Англия)
159. Даны точка О и три длины х, у, г. Докажите, что
равносторонний треугольник ABC такой, что |ОА| = х; \ОВ\ = у,
| ОС \ = z существует тогда и только тогда, если x-J-yZ^z\ у -J-
4 — z ^ x ; z + (точки 0\ А\ В\ С лежат в одной плоскости).
(Англия)
ISO. Пусть [а] — целая часть числа а, т. е. наибольшее целое
непревосходящее а, и (а) = а—[а] дробная часть. Покажите, что
числа (10″V2), где ri = 0; 1; . . . все (попарно) различны.
(Швеция)
161. Два парохода идут по морю с постоянными скоростями
по фиксированным направлениям. В 9.00 расстояние между ними
20 миль, в 9.35— 15 миль и в 9.55— 13 миль. В какой момент
времени расстояние между пароходами минимально и каково
это расстояние? (Швеция)
162. Дано простое нечетное число р. Найдите необходимое
и достаточное условие того, что сумма квадратов р— 1 последовательных
натуральных чисел делится на сумму этих чисел.
(Чехословакия)
163. В пространстве расположены п точек так, что любые
три из них являются вершинами треугольника, один из углов
которого больше 120°. Докажите, что эти точки можно обозначить
буквами Aj, А2, …, Ап таким образом, что каждый из
углов AiAjAk больше 120°, если i < j < k. (Чехословакия)
(6 4 . В пространстве даны 6 таких точек Ру, j — 1; 2; . . . ; 6,
что никакие четыре из них не находятся в одной плоскости.
Каждый отрезок прямой PjPk Цфк) окрашен в черный или
белый цвет. Докажите, что существует хотя бы один треугольник
PjPkPlt стороны которого были бы одного цвета. (Швеция)

47 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

(6 5 . Докажите, что имеется бесконечное множество целых
положительных чисет, которые не могут быть записаны как
сумма квадратов трех целых чисел. (Швеция)
(6 5 . Найдите все действительные числа X, для которых
уравнение
sin4x—cos4x=A (tg4x—ctg4x):
а) не имеет ни одного решения;
б) имеет только одно решение;
в) имеет только два решения;
г) имеет больше двух действительных решений в промежутке
О < х < у . (ГДР)
167. Докажите, что 1 + -^ — + -р -+ • • • + т ) г < (Венгрия)
168. Пусть на плоскости даны 4000 точек, таких, что никакие
три из них не лежат на одной и той же прямой. Докажите, что
в этом случае можно нарисовать на плоскости 1000 четырехугольников
без общих точек, но чтобы их вершины были бы данными
точками. (Венгрия)
169. Вершины многоугольника с п + 1 сторонами расположены
на сторонах правильного многоугольника с п сторонами так, что
периметр многоугольника с п сторонами был разделен на равные
части. Как нужно выбрать эти точки, чтобы площадь многоугольника
с п + 1 сторонами была:
а) наибольшей;
б) наименьшей? (Голландия)
170. х„ х2, х3, х4, хъ—целые положительные числа, которые
удовлетворяют соотношениям:
{ Х4 -j- х2 —|— х3 —|— х4 х3 = 1000,
I х,—х2 + х3 —х4 + х5 > 0,
I xt 4-х2 —х3+ х 4—х5 > 0,
— xi + х2 + х3 — х4 -)- х5 > 0,
х4—х2 + х3-}-х4—х5 > 0,
— Xj+ хг — х3 + х4 + х5 > 0.
а) Найдите наибольшее значение степени (Xj + Xg)**4-**.,
б) Сколькими разными способами можно выбрать х4, х2, х3, х4, х6,
при которых достигается это наибольшее значение? (Голландия)
(71. Один мальчик построил для своего поезда-игрушки замкнутую
рельсовую сеть, не имеющую перекрестков и прямых
отрезков. У него имеется большое число равных рельсов, имеющих
форму четверти окружности. Некоторые из них расположены
так, что поезд проходит их по направлению часовой стрелки,
а другие поезд проходит в направлении, обратном движению
часовой стрелки.

48 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

Покажите, что в рельсовой сети четное число тех и других
видов рельсов и что число всех рельсов кратно четырем.
(Голландия)
172. Пусть hn — апофема правильного n-угольннка, вписанного
в круг радиуса R . Докажите, что(п+ 1 )hn + 1—nhn > R. (Болгария)
173. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника, стороны которого являются корнями
квадратного уравнения х2—ах-{-Ь = 0. (Монголия)
174. Дан многочлен f (х) с целыми коэффициентами, значение
которого кратно 3 для трех целых значений: k; &+1; k + 2.
Покажите, что f (т) кратно 3 для любого целого т. (Польша)
175. Три положительных числа хг, х2, х3 удовлетворяют
условиям х1а-2х3 > 1 , x l + x2+ x 3 < J — + J — + — L .
Х 1 х 2 х 3
Докажите, что:
а) ни одно из этих чисел не равно 1;
б) ровно одно из них меньше 1. (Югославия)
I7S. Парк имеет форму выпуклого пятиугольника площади
5 = 5 1/»3 • 1002. Гуляющии в парке, находясь во внутренней точке О,
обнаружил, что он от каждой вершины удален не более чем
на 200 м. Докажите, что он удален от каждой точки на сторонах
пятиугольника не меньше, чем на 100 м. (Югославия)
177. klt k2, . . . , kn( n ^ 2) являются целыми неотрицательными
числами. Докажите неравенство
£,! k2\ . . . !)». где k = k1 + k2+ . . . + k n
([х]—целая часть числа х). (Чехословакия)
178. Докажите, что уравнение x3+ ^ 3 + z3= 19692 не имеет
решения в целых числах. (Болгария)
179. Найдите все функции f (х), определенные для каждого х
и удовлетворяющие уравнению
Xf (у) + yf М = (x + y) f (X) f (у)
для произвольных х и у. Докажите, что только две из них
непрерывные. (Болгария)
180. На квадрат со стороной 38 см наложены 100 выпуклых
многоугольников, площадь и периметр каждого из которых не
превышают соответственно я см2 и 2я см. Докажите, что в квадрате
останется круг радиуса 1 см, который не имеет общих точек ни
с одним из многоугольников. (Болгария)
181. Найдите сферу максимального радиуса, которую можно
поместить в каждый тетраэдр, все высоты которого больше или
равны 1. (Югославия)
£82. Пусть OX, OY, OZ—три луча и G—точка внутри телесного
угла OXYZ. Рассмотрим плоскость, проходящую через G и
пересекающую OX, OY, OZ соответственно в точках А, В, С.

49 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

Как построить эту плоскость, чтобы объем тетраэдра ОАВС был
наименьшим? (Румыния)
183. Я вляется ли число Y v b + 2 — Y v s — 2 рациональным
или иррациональным? (Франция)
184. Обруч радиуса 1 расположен в углу комнаты (т. е.
касается горизонтального пола и двух вертикальных, перпендикулярных
друг другу стен). Найдите множество центров обруча
при всевозможных его положениях.
Пр им е ч а н и е . Для решения этой задачи полезно знать
следующую теорему Монжа: «Множество точек, из которых
д-2
к эллипсу ^ 2 + f r = 1 можно провести перпендикулярные касательные,
является окружностью Монжа с уравнением x2 + t/2=
= а 2+Ь2». (Франция)
185. Дан шар /С. Найдите множество вершин А всех параллелограммов
ABCD, для которых диагональ A C ^ B D , причем
диагональ BD целиком содержится в шаре К- (Чехословакия)
186. Пусть Р, (*,«/,) ( i = l , . . . , 5) —точки с целочисленными
координатами. Докажите, что из всех треугольников с вершинами
в этих точках по крайней мере три имеют целочисленные
площади. (Болгария)
187. Дан тетраэдр ABCD. Пусть х=\ АВ \-\CD | , у=\ AC\-\BD\,
г = | AD ] • | ВС | . Докажите, что существует треугольник со сторонами
х, у, г. (Польша)
188. Пусть а—действительное число, отличное от нуля. Для
каждого целого п положим Sn = an-{-a~n. Докажите, что если
для некоторого целого k суммы Sk и Sft+1 являются целыми
числами, то для всех целых п S n равны целым числам. (ДРВ)
18Э. Докажите, что 2147— 1 делится на 343. (Финляндия)
198. Пусть х, у, z—действительные числа, абсолютная вели- 1 чина которых отлична от и которые удовлетворяют условию
х-\~у-\-г = х-у-г.
Докажите, что тогда выполняется равенство
1—3* 2 I 1 _ з ^ I 1 — 3z2 1—Зх2 1— Зу2 1—3г2* (Куба)
391. С помощью алфавита из трех букв строятся всевозможные
слова. При образовании слов некоторые буквосочетания (из
двух и более букв) считаются запрещенными. Известно, что все
запрещенные буквосочетания имеют различную длину. Докажите,
что найдется сколь угодно длинное слово, не содержащее запрещенных
буквосочетаний. (СССР)
192. Сумма квадратов пяти чисел а„ а2, а3, а4, а5 равна 1.
Докажите, что наименьшее значение величины (а,-—а )2 (1<л=£/^5)
I ^ г’ не превосходит ^ . (СССР)

50 ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

УРАВНЕНИЯ  ВТОРОЙ  СТЕПЕНИ.
Кабинет математики.

ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД