дома » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

Главная страница Международные математические олимпиады..
Сборники Математики
 Скачать бесплатно

Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно). Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше. А тексты на страницах сайта Вам помогут находить нужные темы с помощью поисковой формы ниже:



ПЕРВАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

1. Докажите, что дробь ^ несократима ни при каких
натуральных значениях п. (Польша)
2. При каких действительных значениях х имеет место каждое
из равенств:
а) У . х + V 2х — 1 + У . х —\ г 2х — 1 =- ]/г2;
б) У х + У 2 х ^ 1 + У х—|/ 2 х ^ Т = 1 ;
в) У х + ]/2х —1 + У х —У 2х —1 = 2
(причем рассматриваются только положительные значения корня)?
(Румыния)
3.. Пусть х—угол и пусть четыре действительных числа а,
Ь, с и cos х удовлетворяют соотношению:
acoszx-[-b cosx + c = 0.
Составьте квадратичное соотношение относительно а, Ь, с и
cos2x. Сравните данное и составленное соотношения для случая
а = 4, Ь = 2, с = —1. (Венгрия)
4. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе
с, если известно, что медиана, проведенная к с, есть среднее
геометрическое его катетов. (Венгрия)
5. На плоскости дан отрезок АВ и внутри него произвольная
точка М. На отрезках AM и MB как на сторонах построены
квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну и ту же сторону
от АВ. Окружности, описанные около квадратов, с центрами Р
и Q пересекаются, кроме точки М, еще в точке N.
а) Покажите, что прямые AF и ВС проходят через точку N.
б) Покажите также, что при любом положении точки М прямая
MN проходит через одну и ту же точку 5.

25 ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

в) Найдите геометрическое место * середин отрезков PQ, когда
М перемещается по отрезку АВ. (Румыния)
6. Даны две плоскости Р и Q, пересекающиеся по прямой р.
В плоскости Р дана точка Л и в плоскости Q —точка С. Ни одна
из этих точек не лежит на прямой р. Постройте в плоскости Р
точку Д и в плоскости Q точку D, являющиеся вершинами равнобочной
трапеции ABCD (АВ )| CD), в которую можно вписать
круг. (Чехословакия

ВТОРАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

7. Определите все трехзначные числа, которые при делении
на 11 дают в частном число, равное сумме квадратов цифр исходного
числа. (Болгария)
8. Для каких действительных значений х справедливо нера-
венство —— 4х2 < 2х -р 9? (Венгрия)
В. Дан прямоугольный треугольник ЛВС, гипотенуза которого
равна а и разделена на п равных частей (п — нечетное число).
Пусть а есть угол, под которым виден из точки Л тот из равных
между собою отрезков, который содержит середину гипотенузы.
Докажите, что tg к = ^ -4′ ^ — , где h—высота треугольника.
(Румыния)
10. Постройте треугольник ABC, если известны ha, hb, та
(ha—высота, проведенная к стороне a, hb—высота, проведенная
к стороне Ъ, и та—медиана к стороне а). (Венгрия)
11. Дан куб ABCDA’B’C’D’ (см. рис. 9).
а) Найдите геометрическое место середин отрезков XY, где
X —любая точка отрезка АС и Y —любая точка отрезка B’D’.
б) Найдите геометрическое место точек Z отрезка XY, которые
удовлетворяют соотношению \ZY \ = 2\XZ\ . (Чехословакия)
12. Дана равнобочная трапеция с основаниями а и b и высотой
h.
а) На оси симметрии трапеции построить точку Р, из которой
обе боковые стороны трапеции видны под прямыми углами.
б) Определите расстояние точки Р от одного из оснований
трапеции.
в) При каких условиях возможно построение точки Р (рассмотрите
возможные случаи)? (Болгария)
13. В прямой круговой конус вписан шар. Около этого шара
описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит
* Под геометрическим местом понимается множество всех таких и только
таких точек, которые обладают указанным свойством.

26 ВТОРАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

в плоскости основания данного конуса. Vt—объем конуса и
V2—объем цилиндра.
а) Докажите, что равенство Vt = V2 невозможно.
б) Укажите наименьшее значение k , при котором имеет место
равенство V1 = kV2, и постройте для этого случая угол при вершине
осевого сечения конуса. (ГДР)

ТРЕТЬЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

14. Решить систему уравнений:
( x + t / + z = a
х2 + y z + z2 = b2
xy = z\
в которой а и b—данные числа. Каким условиям должны удовлетворять
а и Ь, чтобы решения системы были положительны и
различны? (Венгрия)
15. Даны длины а, Ь, с сторон треугольника, площадь которого
5. Докажите, что имеет место соотношение
a* + b*-\-c2^ 4 S V 3.
В каком случае имеет место равенство? (Польша)
16. Решите уравнение
cosKx—sin» х= 1,
где п—произвольное натуральное число. (Болгария)
17. Дан треугольник РгР2Р3 и внутри него произвольная
точка Р. Пусть точки пересечения прямых РгР\ Р2Р\ Р3Р с противоположными
сторонами Qjj Q2; Q3. Докажите, что среди
отношений
|Р»Р| . НУД . \Р*Р\ *
I PQi I ’ I.PQal ’ I PQsl
имеется по крайней мере одно, не большее числа 2, и по крайней
мере одно, не меньшее числа 2. (ГДР)
18. Постройте треугольник ABC, в котором даны \АС\ = Ъ,
\АВ\ = с и АА1В = (й (со < 90°), причем М—середина отрезка ВС.
Докажите, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда
b- < Ь.
В каком случае имеет место знак равенства?
(Чехословакия)
* Здесь и далее запись | Р 3Р | читается: „длина отрезка Р 3Р “.

27 ТРЕТЬЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

19. Дана плоскость е и не лежащие на одной прямой три
точки А, В, С, которые расположены по одну сторону от плоскости
е. Причем плоскость, проходящая через точки А, В, С,
не параллельна плоскости е.
На плоскости е взяты 3 произвольные точки Л’, В’, С’. Буквами
L, М, N обозначены середины отрезков АА’, ВВ’, СС’,
а буквой G—центр тяжести треугольника LMN (Здесь не рассматриваются
такие положения точек Л’, В’, С’, при которых
соответствующие им точки L, М, N не являются вершинами треугольника).
Найдите геометрическое место точек G, когда Л’,
В’, С’ перемещаются в плоскости е независимо друг от друга.
(Румыния)

ЧЕТВЕРТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

20. Найти наименьшее натуральное число п, обладающее
следующими свойствами:
а) его запись в десятичной системе заканчивается цифрой 6;
б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и перед оставшимися
цифрами написать эту цифру 6, то получится число, в 4 раза
большее исходного числа. (Польша)
21. Найдите все действительные числа х, удовлетворяющие
неравенству V 3—х—| / х + 1 > — ^ . (Венгрия)
22. Дан куб ABCDA’B’C’D’. ABCD и А’В’C’D’—соответственно
верхнее и нижнее основания и АА’ jj ВВ’ || СС’ \\DD’.
Точка X движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата
ABCD в направлении ABCDA, и точка У движется с той же
скоростью по сторонам квадрата В’С’С В в направлении В’С’СВВ’.
Точки X и У начинают двигаться в один и тот же момент из
исходных положений Л и В’ соответственно. Найдите и начертите
геометрическое место середин отрезков ХУ. (Чехословакия)
23. Решите уравнение:
cos2 х -f- cos2 2х + cos2 Зх = 1. (Румыния)
24. На окружности К заданы три различные точки Л, В, С.
Постройте (циркулем и линейкой) на окружности К четвертую
точку D так, чтобы в полученный четырехугольник ABCD можно
было вписать окружность. (Болгария)
25. Дан равнобедренный треугольник ABC, г — радиус описанной
окружности, р—радиус вписанной окружности. Докажите,
что расстояниеd между центрами окружностей есть d = | / r ( r— 2р).
(ГДР)
26. Тетраэдр SABC обладает следующим свойством: существуют
5 сфер, касающихся ребер 5Л; SB; SC; АВ\ ВС\ СА или
их продолжений.

28 ЧЕТВЕРТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

Докажите: а) что тетраэдр SABC правильный; б) что, обратно,
для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных
сфер.

ПЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

27» Найдите действительные корни уравнения
28. Найдите в пространстве геометрическое место вершин
прямых углов, одна сторона которых проходит через данную
точку А, а другая имеет по крайней мере одну общую точку
с отрезком ВС. (СССР)
29. Докажите, что если в выпуклом n-угольнике все углы
равны и последовательные стороны удовлетворяют соотношениям:
. .~^ап, то а 1 = а 2 = а 3= . . . =а„.
30. Найдите все решения х1У х2, х3, xt , хъ системы уравнений
32. Ученики А, В, С, D, Е участвовали в одном конкурсе.
Пытаясь угадать результаты соревнований, некто предполагал,
что получится последовательность А, В, С, D, Е. Но оказалось,
что он не указал верно ни места какого-либо из участников и
никакой пары следующих непосредственно друг за другом учеников.
Некто другой, предполагая результат D, А, Е, С, В,
угадал правильно места двух учеников, а также две пары (непосредственно
следующих друг за другом учеников). Каков был
на самом деле результат конкурса?

ШЕСТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

33. а) Найдите все целые положительные п, для которых
число 2″ — 1 делится на 7.

29 ПЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

б) Докажите, что ни при каком целом положительном п число
2″ + 1 не делится на 7. (Чехословакия)
34. Обозначим через а, Ь, с длины сторон некоторого треугольника.
Докажите, что
а2 (Ь+с— а) + Ь2 (с+ a—b) + с 2 (a + b—с) < 3abc.
(Венгрия)
35. В треугольник ABC со сторонами а, Ь, с вписан круг и
построены к нему касательные, параллельные сторонам данного
треугольника. Эти касательные отсекают от данного треугольника
ABC три новых треугольника. В каждый из таким образом
построенных треугольников вписан круг. Вычислите сумму площадей
всех четырех кругов. (Югославия)
36. Каждый из 17 ученых переписывается с остальными.
В их переписке речь идет лишь о трех темах. Каждая пара
ученых переписывается друг с другом лишь по одной теме.
Докажите, что не менее трех ученых переписываются друг с другом
по одной и той же теме. (Венгрия)
37. На плоскости даны 5 точек. Среди прямых, соединяющих
эти 5 точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих.
Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем
прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные
4 точки. Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данные 5 точек?
(Румыния)
38. Дан тетраэдр ABCD. Вершина D соединена с центром
тяжести основания точкой Dx. Через вершины треугольника ABC
проведены прямые, параллельные DD1 до пересечения с плоскостями
противоположных граней в точках Аи В1г Сг. Докажите,
что объем тетраэдра ABCD в три раза меньше объема тетраэдра
TKjBjCjDj. Будет лн верным результат, если точка Dx—произвольная
точка внутри треугольника ABC? (Польша)

СЕДЬМАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

39. Найдите все действительные х, принадлежащие отрезку
0 ^ х ^ 2 я и удовлетворяющие неравенству
2 c o sx < |V r l + s in 2х—У 1 — sin 2х| < :]/2 . (Югославия)
40. Дана система уравнений:
( ^11-^1 + ^12*2 ^13-^3
О’ггЧ ^22^2 «К ^23^3
а31х1 + а 32х2 + а 33х3 = О,
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

30 СЕДЬМАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

а) gu , а22, а33 положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
в) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что хг = х2 — х3 = 0 является единственным решением
данной системы. (Польша)
41. Дан тетраэдр ABCD. Пусть ребро АВ имеет длину а,
ребро CD имеет длину Ь; расстояние между скрещивающимися
прямыми АВ и CD равно d, величина угла между этими прямыми
равна to. Тетраэдр рассечен на две части плоскостью Р, параллельной
противоположным ребрам АВ и CD. Вычислите отношение
объемов обеих частей, если известно, что отношение расстояний
от АВ до Р к расстоянию от CD до Р равно k.
(Чехословакия)
42. Найдите четыре действительных числа хг, х2, х3, ха, таких,
что каждое, сложенное с произведением остальных, равно 2.
(СССР)
43. Пусть в треугольнике ОАВ величина угла АОВ равна а
(а < 90°). Через произвольную точку М, не совпадающую с О,
проведены перпендикуляры МР к О А и MQ к ОВ. Пусть И —
ортоцентр треугольника OPQ. Найдите геометрическое место
точек Н, если:
а) М пробегает отрезок АВ\
б) М пробегает внутреннюю область треугольника АОВ.
(Румыния)
44. В плоскости даны п ^ З точек. Пусть d—максимальное
расстояние между любыми двумя из этих точек. Назовем его
диаметром данной системы точек. Докажите, что этих диаметров
не больше п. (Польша)

ВОСЬМАЯ МЕЖДУНАРОД НАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

45. На олимпиаде были даны три задачи: А, В, С. 25 школьников
решили хотя бы одну задачу. Школьников, не решивших
задачу Л, но решивших В, в два раза больше, чем решивших С.
Школьников, решивших только задачу Л, на одного больше,
чем остальных школьников, решивших задачу Л. Сколько школьников
решили только задачу В, если среди школьников, решивших
только одну задачу, половина не решила задачу Л? СССР)
46. Докажите, что если стороны а, Ь, с и противолежащие
им углы а, р, у некоторого треугольника удовлетворяют соотношению
a+b = t g — | ( a tg a + fctgP),
то этот треугольник равнобедренный. (Венгрия)

31 ВОСЬМАЯ МЕЖДУНАРОД НАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

47. Докажите, что сумма расстояний от центра шара, описанного
около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше
суммы расстояний от любой другой точки до вершин тетраэдра.
(Болгария)
48. Докажите тождество:
где п—натуральное и (k = §, 1, К—целое).
(Югославия)
49. Решите систему:
I ^ 1 1 -^2 “ЬI I х 3 -f-1 а1 а 41 xt — 1,
< |а 2—at \х1-\-\а2—a3\xs -\-\a2—а41 = 1,
\a3- a l \x1 + \a3- a 2\xi + \as — a i \xi = 1,
, К —«11 Л-l + 1 а 4—а2|х 2 + |а4—а 3|х 3= 1,
*
где а1г а2, а3, а4—данные различные действительные числа.
(Чехословакия)
50. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты
соответственно точки М, К, В (не совпадающие с вершинами).
Докажите, что площадь хотя бы одного из треугольников MAL,
КВМ, LCK не превышает площади треугольника ABC.
(Польша)

ДЕВЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

51. В параллелограмме ABCD треугольник ABD остроугольный.
|Л Б | = а, \A D \ ~ \ и BAD* —а. Докажите, что четыре
круга Ка, Кя> Кс, Ко радиуса 1, центры которых в вершинах
А, В, С, D, тогда и только тогда, покрывают параллелограмм,
когда а ^ cos a -f ] / 3 sin а. (Польша)
52. В тетраэдре длина одного, и только одного, ребра больше 1.
Докажите, что объем тетраэдра не превосходит ~ .
(Чехословакия)
53. k, т, п—положительные целые числа и т |-& + 1 —
простое число, большее п -f-l. Пусть Cs = s(s-f-l). Докажите,
что произведение (Сст+1—СД-(С;л+2—СА) . . -(Ст+п—Ск) делится
на произведение Ct -C2- . . . — Сп. (Англия)
54. Даны два остроугольных треугольника А0В0С0 и Л1В1С1.
Постройте треугольник ABC, подобный треугольнику А,В1С1
(вершина А соответствует Аи В — Вг, С—С,), описанный около
* Здесь и далее запись BAD читается: „величина угла BAD»‘.

32 ДЕВЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

треугольника А0ВйСй, так, что С„ £ АВ, А0£ВС, Вй^СА. Постройте
такой треугольник ABC, имеющий максимальную площадь.
(Италия)
55. Рассматривается последовательность {Сп}:
С1 = а14-а2+ . . . + а 8
С2 — а, -f- а2 + + а !
С„ = а* + с” + + апв
где а,, . . . , о„—действительные числа, не все равные нулю. Среди
членов последовательности бесконечно много равных нулю. Найдите
все п, для которых С„ = 0. (СССР)
56. В спартакиаде, продолжавшейся п дней, было разыграно т
медалей. В I день были вручены 1 медаль и еще у- оставшихся
т—1 медалей. Во II день были вручены 2 медали и еще — оставшихся
после этого медалей и т. д. Наконец, в n-й последний
день были вручены оставшиеся п медалей. Сколько дней продолжалась
спартакиада и сколько медалей было вручено?
(Венгрия)

ДЕСЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 

57. Докажите, что существует единственный треугольник,
длины трех сторон которого—последовательные натуральные
числа, а один из углов вдвое больше одного из двух других
углов. (Румыния)
5 3 . Найдите все целые положительные числа х, произведение
цифр (в десятичной записи) которых равно х2—Юл:—22.
(Чехословакия)
5 9 . Дана система уравнений с переменными xv х2, . . . , хп:
ах\-\-Ьхг-\ -с=х2,
ах*+Ьх2+с = х3,
……………….. ‘ ‘ • • 9
ах%-г+Ьхп_1+с = хп,
ах„ -f- bxn -f с = хх,
где а, Ь, с—действительные числа, а ф 0. Докажите, что система:
а) не имеет действительных решений, если
ф— I)2—4ас < 0;
б) имеет единственное действительное решение, если
ф— I)2—4 ас = 0;

33 ДЕСЯТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

в) имеет более одного действительного решения, если
ф—I)2 — 4 а с> 0 . (Болгария)
60> Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина,
что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник. (Польша)
63. Функция /, определенная при всех действительных значениях
аргумента и принимающая действительные значения, при
всех х удовлетворяет условию
f (х + а) = 1 + V n ^ F 4 f W \
где а—-некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция f периодическая (т. е. существует
некоторое Ь > 0, такое, что f ( х b) = f (х) для всех х).
б) Приведите пример такой функции f, отличной от тождественной
константы, для а = 1. (ГДР)
6 2 — Пусть [х] означает целую часть числа х, т. е. наибольшее
целое число, не превосходящее х.
Вычислите сумму
[Ф ] + [ ^ ] + ••■+[£?]+•••
для каждого целого положительного п и докажите справедливость
полученной формулы. (Англия)

ОДИННАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

63. Докажите, что существует бесконечное множество натуральных
чисел а со следующим свойством: число z = n4- fa не
является простым ни для какого натурального п. (ГДР)
64. Пусть alt а2, . . . , ап—действительные постоянные, х —
действительное переменное и
/ M = cos(a,+ *) + 2 i& + d + 2 % ± i + . . . + 2 ^ i ± S .
Докажите, что из / (x’J = / (х.,) = 0 следует, что х1—х-2 = т л ,
где т —целое число. (Венгрия)
65. Для каждого &=1, 2, 3, 4, 5 найдите необходимые и
достаточные условия, которым должно удовлетворять число а > О,
для того, чтобы существовал тетраэдр, k ребер которого имеют
длину а, а остальные 6—k ребер—длину 1. (Польша)
66. Полуокружность у построена на диаметре АВ. Точка С
лежит на у и отлична от Л и В. Ортогональную проекцию С на АВ
обозначим через D. Рассмотрим три окружности yt, у.2, у3, имеющие

34 ОДИННАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

АВ в качестве общей касательной; из них у, вписана в треугольник
ABC, у2 и у3 обе касаются отрезка CD и у. Докажите, что у^
у2> Тз имеют вторую общую касательную. (Голландия)
67. В плоскости даны п > 4 точек, причем никакие три не
лежат на одной прямой. Покажите, что можно найти не менее
выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех данных
точках. (Монголия)
63. Докажите, что если хл > 0, х2 > 0 и х1у1— г* > О,
8 1 1
2J 2 2 ^ > ( *х + — * 2) (i/j -(- у 2) — (2 x + Z 2) 2 X ly t — г \ х 2у 2 — г 2
Установите необходимые и достаточные условия, при которых
в данном неравенстве имеет место равенство. (СССР)

ДВЕНАДЦАТ АЯ МЕЖД УНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

69. Дан треугольник ABC, М —внутренняя точка стороны АВ.
Пусть гх, г2, г—радиусы окружностей, вписанных соответственно
в треугольники АМС, ВМС, ABC; рх, р2 р—радиусы окружностей:
а) лежащих внутри угла АС В; б) являющихся вневписан-
ными соответственно для треугольников АМС, ВМС, ABC.
Докажите, что г-1^ 1 = — . (Польша)
P i•Р2 Р
70. Пусть а, Ь и п—натуральные числа, большие единицы.
Числа а ий являются основаниями двух систем счисления. Числа
Ап, Вп имеют одинаковое представление хпхп_г . . . ххх0 в системах
счисления с основаниями а и Ь, причем хпФО, х„_гФО. Числа,
получившиеся после вычеркивания первой цифры хп, будем называть
Д„_!, Вп_х.
Докажите, что а > b тогда и только тогда, когда —~ < —§~1 .
(Румыния)
71. Последовательность действительных чисел а0, ах ап, . . .
удовлетворяет условию
1 = а0 ах ^ ап . . . (1)
Последовательность Ьг, й2, . . . , Ъп, . . . определяется так:
‘-SM iO — i f c —

Докажите: а) 0 < й „ < 2 для всех п; б) для данного с, такого,
что 0 < с < 2 , существует последовательность а0, о„ . . . , ап, . . . ,
удовлетворяющая условию (1), такая, что Ьп > с для бесконечного
множества индексов п. (Швеция)

35 ДВЕНАДЦАТ АЯ МЕЖД УНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

72. Найдите все положительные целые числа п такие, что
множество {tv, п-\-1; п + 2; п + 3; н + 4; п + 5} можно разделить
на два множества так, что произведение всех элементов одного из
них равно произведению всех элементов другого. (Чехословакия)
73. В тетраэдре ABCD DB DC и основание перпендикуляра,
проведенного через точку D к плоскости треугольника ABC,
совпадает с ортоцентром этого треугольника. Докажите, что
( | АВ | + 1 ВС | -f-1 АС | )2 ^ б ( | AD |2 + 1 BD |2 + | CD |2). Для каких
тетраэдров имеет место равенство? (Болгария)
74. На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых
не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные
треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что среди
них будет не более 70% остроугольных треугольников. (СССР)

ТРИНАДЦАТАЯ М ЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

75. Докажите, что утверждение „Для любых действительных
чисел аи аг, а,, выполняется неравенство
(Oi— <*•) («х—«■) • • • (ах—ап) +
+ (о2—ах) (а2—а3) . . .(а2—а„) +
+ (а„—ах) (ап—а2) . . .(ап—an_t) > 0 ”
справедливо при п — 3 и п = 5 и несправедливо ни при каком
другом натуральном п > 2. (Венгрия)
76. Пусть имеется выпуклый многогранник Рх с девятью вершинами
Л1( Л2, . . . , Ав. Обозначим через Р2, Р3, . . . , Рд многогранники,
полученные из Рх параллельными переносами, которые
перемещают точку Ах соответственно в точки Л2, Л3, . . . , Л9.
Докажите, что по крайней мере два из многогранников Ри Р2, . . . Ря
имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку. (СССР)
77. Докажите, что последовательность {2″—3} (п — 2; 3; 4; . ..)
содержит бесконечное множество чисел, каждые два из которых
взаимно просты. (Польша)
78. Каждая грань тетраэдра ABCD—остроугольный треугольник.
Рассмотрим все замкнутые ломаные линии XYZTX,
определенные следующим образом: X—точка на ребре АВ, отличная
от Л и В. Аналогично Y, Z, Т—внутренние точки ребер
ВС, CD, DA соответственно. Докажите, что:
а) если DAB -\-BCD=A^ ABC -f- CD А, то среди этих ломаных нет
ни одной кратчайшей;
б) если DAB -f- BCD = ABC + CD Л, то существует бесконечно
много ломаных минимальной длины и эта длина равна
2 1 ЛС| s i n , где а — ВАС+CAD -\-DAB. (Нидерланды)

36 ТРИНАДЦАТАЯ М ЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

79. Докажите, что для любого натурального числа т существует
непустое конечное множество S точек плоскости, такое, что
для любой точки А из S имеется ровно т точек из S, которые
находятся на единичном расстоянии от А. (Болгария)
80. Рассмотрим квадратную таблицу
@П1@Г12 * * * &ПП 1
состоящую из неотрицательных целых чисел и удовлетворяющую
следующему условию: как только а,-у- = 0, так справедливо неравенство
а,-г + о/2 + . . . -f- ain +atJ- + a2J—f- . .. +o„y ^ n. Докажите,
что сумма всех элементов таблицы не меньше п2. (Швеция)

ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ МЕЖ ДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

81. Докажите, что из любых десяти различных двузначных
натуральных чисел можно выбрать две различные непересекаю-
щиеся группы чисел так, что сумма чисел в обеих группах будет
одинаковой. (СССР)
82. Докажите, что следующее утверждение справедливо для
любого п ^ 4: произвольный вписанный четырехугольник можно
разбить на п четырехугольников, вокруг каждого из которых
можно описать окружность. (Нидерланды)
83. Докажите, что для любых неотрицательных целых чисел
т и п число ^~гг является целым (полагаем 0! = 1).
m!n!(m+ n)’ (Англия)
84. Найдите все решения (лу, х2, х3, хв, хь) системы неравенств:
(хг х дхь) (х2 х3хъ) Д О,
(х2 хахх) (х| XeXj) ^ О,
(х1—хьх2) (xl—x6x2) < О,
(-‘■4 Ххх3) (л| — Аул’.,) < 0 ,
(х|—x2xt) (х1—х2х3) < О,
— положительные действительные числа.
(Нидерланды)
85. Пусть / и g—действительные функции, определенные на
всей прямой и удовлетворяющие уравнению
/ (* + У) + f (х—У) = 2/ (х) g (у)
для всех х, у. Докажите, что если / (х) не есть тождественный
нуль и если | / ( х ) |< 1 для всех х, то | g ( « / ) | ^ l для всех у.
(Болгария)

37 ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ МЕЖ ДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

8 а , Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите,
что существует правильный тетраэдр с вершинами на каждой
из этих плоскостей. (Англия)

ПЯТНАДЦАТАЯ М ЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

87. Точка О лежит на прямой 1\ ОРг,ОР2 0Рп—единичные
векторы, такие, что точки Р,, Р2, Рп лежат в одной
плоскости, содержащей I, и все по одну сторону от I. Докажите,
что если п нечетное, то | 0 P t + 0Рг + . . . -f 0Рп\ ^ 1 , где | ОМ | —
длина вектора ОМ. (Чехословакия)
88. Выясните, существует ли конечное множество М точек
в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для
любых двух точек А, В, принадлежащих М, найдутся две другие
точки С, D, принадлежащие М, такие, что прямые АВ и CD
параллельны и не совпадают. (Польша)
8Э. Найдите минимальное значение а2 + й2, где а и &—действительные
числа, для которых уравнение х* А- ах3 p b x 2 ах -f 1 = 0
имеет по крайней мере один действительный корень. (Швеция)
90. Солдат должен проверить отсутствие мин на участке,
включающем границу и имеющем форму равностороннего треугольника.
Радиус действия его детектора равен половине высоты
треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника.
Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее возможное
расстояние и выполнить задание? (Югославия)
91. Дано непустое множество G не равных постоянной функций
действительного аргумента х вида / (х) = ах -j-b, где а и b—действительные
числа, причем G удовлетворяет следующим условиям:
1) если /, gCG, то go/gG, где (go/) (х) = g (/ (х)), т. е. множество
G замкнуто относительно суперпозиции;
2) если /£G, где f (х) = ах-\-Ь, то обратная функция /~l £G,
где / (, х). = х—- b ;
3) для любой / С G существует xf , такое, что / (xf) = xf .
Докажите, что существует действительное к, такое, что / (k) = к
для всех / С G. (Польша)
92. Пусть a t, . . . , ап—данные п положительных чисел и q —
данное действительное число, причем 0 < q < 1. Найдите такие п
действительных чисел Ьи Ь2, . . . , Ьп, что
а) ak < bk при всех к от 1 до п\
б) Q < — < —ч при всех k от 1 до п—1;
в) bi + b2+ + а2 + . . . + а п). (Швеция)

38 ПЯТНАДЦАТАЯ М ЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

93. Имеется три карточки, на каждой из которых написано
одно из целых чисел. Эти числа р, q, г удовлетворяют условию
О < p < q < r .
Три игрока А, В и С играют в игру, один круг которой
состоит в следующем: карточки перемешиваются и раздаются
игрокам по одной; затем каждый игрок получает количество
шариков, равное числу, написанному на полученной им карточке;
потом карточки собираются, а шарики остаются у игроков. Игра
продолжается N кругов, N ^ 2. В конце игры у игрока А накопилось
20 шариков, у В—10 шариков, у С—9 шариков. Известно,
что в последнем круге игрок В получил г шариков. Требуется
установить, кто из игроков получил q шариков в первом
круге. (США)
94. В треугольнике ABC величины углов при вершинах
А, В и С равны соответственно а , р и у. Докажите, что неравенство
sin a-sin р ^ s i n 2^-
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
на отрезке АВ нашлась точка D, такая, что величина CD является
средним геометрическим величин AD и BD. (Финляндия)
95. Докажите, что для любого натурального числа п число
П
2 а*х\- 2з*
к=0
не делится на 5. (Румыния)
96. Рассмотрим разбиения шахматной доски 8×8 на р взаимно
непересекающихся прямоугольников, удовлетворяющие следующим
условиям:
1) каждый прямоугольник состоит из некоторого числа клеток
и содержит белых клеток столько же, сколько и черных;
2) если а,-—число белых клеток в t-том прямоугольнике, то
« 1 < «г < • • • < ар.
Найдите наибольшее значение р, при котором такое разбиение
возможно, и определите для этого значения р все последовательности
Оц а2, . . . , ар, для которых можно реализовать такое
разбиение. (Болгария)
97. Найдите множество значений суммы
a — \ — b — \ — d ‘a — \ — b — \ — c ‘ Ь + с + d а + с + d ’
где а, Ь, с, d—произвольные положительные действительные
числа. (Нидерланды)

39 ШЕСТНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

98. Пусть Р—многочлен с целочисленными коэффициентами,
не являющийся константой, и пусть п(Р) — число всех различных
целых чисел k, для которых (Р(£))2 = 1.
Докажите, что п (Р) — deg(/5) ^ 2 , где deg (Р) означает степень
многочлена Р.

40 ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД

УРАВНЕНИЯ  ВТОРОЙ  СТЕПЕНИ.
Кабинет математики.

,

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика