Задачи для самостоятельного решения

| Заочные Математические Олимпиады

Главная страница ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Основу книги составляют задачи, предлагавшиеся на Всесоюзных заочных
математических олимпиадах и конкурсах Всесоюзной
заочной математической школы для учащихся 7—10 классов.

Скачать или посмотреть эту книгу онлайн в формате PDF можете на странице
Учебники Скачать.

Ниже можете просто ознакомится с текстовым содержанием книги. Но здесь формулы отображаются не корректно. Если книга вам понравиться, можете скачать её бесплатно по ссылке выше.

2-23. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг
и по 160 кг. Нужно полностью загрузить ими грузовик
грузоподъемностью 3 тонны. Можно ли это сделать?

36

2-24. По окружности радиуса 40 см катится
колесо радиуса 18 см. В колесо вбит гвоздь, который,
ударяясь об окружность, оставляет на ней отметки.
а) Сколько всего таких отметок оставит гвоздь на
окружности?
б) Сколько раз прокатится колесо по всей окружности,
прежде чем гвоздь попадет в уже отмеченную
ранее точку?
2-25. На кольцевой дороге проводилась эстафета
мотоциклистов. Старт и финиш находились в одном и
том же месте. Длина кольцевой дороги 330 км, а длина
каждого этапа — 75 км (движение по дороге — одностороннее).
Сколько было пунктов, в которых передавалась
эстафета, и каково расстояние между соседними
пунктами?
2-26. Про некоторую фигуру на плоскости известно,
что при повороте вокруг точки О на угол 48° она переходит
в себя. Можно ли утверждать, что она переходит
в себя при повороте вокруг точки О на угол: а) 90°;
б) 72°?
2-27. Фигура на плоскости переходит в себя при
повороте вокруг точки О на угол 19°. Докажите, что
она переходит в себя при повороте на угол 86°.
2-28. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а ) 263— 1 и 291 — 1; б) 219+ 1 и 286 + 1.
2-29. От параллелограмма с острым углом 60° и
сторонами а > Ь (а и ծ — целые числа) прямой, проходящей
через вершину, отрезают равносторонний треугольник.
С оставшейся трапецией проделывают ту же
операцию — получается параллелограмм, из него —
трапеция и так далее, пока не получится ромб, а) Какова
будет сторона ромба, если а •= 1986, b — 1800?
б) Найдите какие-нибудь а и Ь, чтобы при таком разрезании
параллелограмма получились треугольники
восьми разных размеров.
2-30. Прямоугольник разбит на клетки 1 X 1 см.
Внутри каждой клетки написано число. Известно, что
сумма всех чисел в каждой горизонтальной строчке
равна 1, а в каждом вертикальном столбике равна
2. Может ли площадь прямоугольника равняться
1986 см2?
2-31. Верно ли, что:
а) из 100 целых чисел всегда можно выбрать два
таких, что их сумма делится на 7;
37

б) из 5 целых чисел всегда можно выбрать два таких,
разность квадратов которых делится на 7?
2-32. Пусть длины всех трех сторон прямоугольного
треугольника — целые числа. Могут ли длины
обоих катетов быть нечетными?
2-33. Найдите три таких простых числа, чтобы их
сумма была в 5 раз меньше их произведения.
2-34. Найдите все такие простые числа р, что
число
а) р2+ 13; б) р2 + 14
•— простое.
2-35. Докажите, что следующие числа составные:
а ) 2 з1987 + 1; б ) 2 3’987 — 1.
2-36. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие
уравнению:
а) * 2 = г/2 + 2ւ/ + 13; б) * а — Зху + 2г/2 «= 3.
2-37. Докажите, что следующие уравнения не
имеют решений в целых числах:
а) £2~=5%2 + 6; 6 ) 2 * — 1 = г/2 (* > 1).
2-38. Докажите, что если сумма нескольких целых
чисел делится на 6, то и сумма их кубов делится на 6.
2-39. Докажите, что при любых целых п я т число
т 5п — т п 5 делится на 30.
2-40. Докажите, что если число а — 1 делится на
km, то число a k — 1 делится на km+l (a, k,m — нату-.
ральные числа).
2-41. Найдите три последние цифры суммы
յ юо _]_ շւօօ 3ւօօ ц_ 4100 _|_ + 999 998100 + 999999100.
2-42. Найдите какие-нибудь четыре последовательных
натуральных числа, каждое из которых делится
на квадрат целого числа, большего единицы.
2-43. Напишите шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 по окружности
в таком порядке, чтобы для любых трех
чисел а, ծ, с, стоящих подряд, число Ь2 — ас делилось
на 7.
2-44. Укажите такое п, при котором число гг4 +
-Ь (1 + п)4 — составное.
2-45, Докажите, что при всех натуральных п > 1
число
а ) п4 -f- 4; б ) я5 + /г4 ֊ք՜ 1
— составное.

38

2-4Ց. — Разложите многочлен х9 + х4 — х — 1 на
5 множителей с целыми коэффициентами.
2-47. Докажите, что многочлен (х- \-1)2п— х2п—
•—2 х— 1 делится на многочлен х(х + 1) (2х + 1).
2-48. При каких значениях а и Ь многочлен
хп — ax’1՜ 1 4- b x— 1 делится на (х— 1 )2?
2-49. Известно, что многочлен f(x) при делении на
х — 1 дает остаток 3, а при делении на х — 2 — остаток
5. Какой остаток дает этот многочлен при делении
на ( х— 1 )(х — 2)?
2-50. Докажите, что если у многочлена f(x) с целыми
коэффициентами значения f(0) и /(1) нечетны,
то у него нет целых корней.
2-51. Докажите, что если f(x) — многочлен с целыми
коэффициентами и |/(3) | = |f (7) | = 1, то этот
многочлен не имеет целых корней.
2-52. Пусть f(x)— многочлен седьмой степени с целыми
коэффициентами. Докажите, что если его значения
при пяти различных целых значениях х по модулю
равны 1, то многочлен нельзя разложить в произведение
двух многочленов ненулевой степени с целыми
коэффициентами.
2-53. Существует ли такое натуральное п, что число
Зл + 1 делится на:
а ) 51000; б) 101000?
2-54. Имеется много карточек, на каждой из которых
написано одно из чисел 2, 3, 5, 7. Можно ли выложить
в ряд
վ 15; б) 16
карточек так, чтобы ни одно из произведений нескольких
подряд идущих чисел не было полным квадратом?
в) Какое наибольшее количество карточек, на которых
написано одно из первых п простых чисел,
можно выложить в ряд так, чтобы выполнялось это
условие?
2-55. Во всех целочисленных точках (х;у) координатной
плоскости Оху растут деревья. Какой наибольшей
ширины дорогу можно провести в этом лесу,
не задевая деревьев, если ее края должны быть прямыми,
параллельными прямой
а ) 3у — Ъх\ б) ах — by,
где а и b — заданные натуральные числа? (Толщиной
стволов пренебрегаем.)
39

2-56. а) Найдите четыре тройки (х; у, z) взаимно
простых чисел, удовлетворяющие уравнению х1 -4-,
+ 2 у2 = г2. ‘
б) Докажите, что существует бесконечно много таких
троек.
2-57. Натуральное число ti ^ 7 обладает тем свойством,
что все натуральные числа, меньшие п и взаимно
простые с ним, образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что число п — или степень двойки,
или простое.
2-58. а) Найдите двузначное число, если известно,
что две последние цифры его квадрата совпадают с
этим числом.
б) Докажите, что для всякого п существует п-знач-
ное число, совпадающее с последними п цифрами своего
квадрата (ռ-значное число может начинаться с
нуля).
2-59. а) Найдите десять троек (х\ у\ z) натуральных
чисел, удовлетворяющих уравнению x2+ y 2+ z 2= ;
= 3 xyz.
б) Докажите, что существует бесконечно много таких
троек.
2-60. Докажите, что число (д/3 — V 2 ) ’987 можно
представить в видеад/З — b -^2, где а и ծ — такие целые
числа, что За2 — 2Ь2 =- 1.
2-61. Рассмотрим множество М натуральных чисел,
представимых в виде х2 + ху + у2, где х и у — некоторые
целые числа.
а) Докажите, что произведение двух чисел из М
также принадлежит М.
б) Назовем базисным число из М, большее 1, которое
не делится ни на одно из чисел множества М,
кроме себя. Существует ли число из М, которое можно
двумя разными способами представить в виде произведения
базисных?
2-62. Найдите пять троек натуральных чисел (л;; г/;
г), удовлетворяющих уравнению х\у\ z\ (п\ —
= 1 ■ 2• … ■п — произведение всех натуральных -ш-
сел от 1 до п).

40

#Математика #математические_олимпиады

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Околоadmin