Метод равных периметров
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Метод равных периметров
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
182. Вычисление тс. Метод равных периметров. Предыдущий
метод можно представить в несколько иной форме.
Действительно, задача состоит в вычислении отношения периметра р
правильного многоугольника к радиусу R описанного круга и к апофеме
а, или, что то же, к радиусу вписанного круга, причём это
вычисление должно быть выполнено для многоугольников, число сторон
которых неограниченно возрастает. Но совершенно безразлично,
будут ли многоугольники, которые мы последовательно рассматриваем,
вписанными в одну и ту же окружность или нет, так как отношения
и — зависят только от числа сторон многоугольника (п. 163). R а
Метод равных периметров заключается в рассмотрении правильных
многоугольников, число сторон которых неограниченно
удваивается и которые имеют один и тот же периметр. Таким образом,
мы должны сперва решить следующую задачу.
Задача. Зная радиус R и апофему а правильного многоугольника
*), вычислить радиус Rr и апофему аг правильного многоугольника
с удвоенным числом сторон, имеющего с первым равный периметр.
Пусть АВ (черт. 181) — сторона правильного многоугольника с
п сторонами, вписанного в окружность радиуса OA=R. Опустим на АВ
перпендикуляр О Н — а и продолжим его до встречи с окружностью
в точке С, середине дуги А В . Соединим точки А и В с точкой С и
*) Под «радиусом» правильного многоугольника здесь и далее понимается
радиус описанной около него окружности. Прим. ред. перевода.
171 Метод равных периметров.
пусть А’ и Вг будут середины этих двух отрезков, а отрезок ArBf
пусть пересекает ОС в точке Нг.
Отрезок А!ВГ есть сторона правильного многоугольника с 2п
сторонами, вписанного в окружность радиуса ОАг.
Действительно, так как угол АОВ отсекает на окружности радиуса
О А дугу, равную одной п-й части окружности, то угол АгОВ\
который равен его половине (так как
угол АгОС равен половине угла АОС
и угол В1 ОС — половине угла ВОС),
отсекает на окружности радиуса О А!
дугу, равную одной 2я-й части этой
окружности.
Этот многоугольник имеет тот
же периметр, что и данный.
Черт. 181. Действительно, сторона АГВГ этого
многоугольника, соединяющая середины
АС и ВС, равна половине первоначальной стороны АВ> в то
время как число сторон многоугольника удвоено.
Искомые длины Rr и а! суть, таким образом, О А! и ОН’.
Точка Н’ есть середина СН, так что имеем:
ОНТ — ОН = ОС — ОН\
Это можно переписать в виде
20Н’ = ОС -J- ОН или ОН’ = Щ™,
т. е. ОНг есть среднее арифметическое между ОС и ОН.
С другой стороны, прямоугольный треугольник ОАгС даёт
ОА’ = / ОС-ОН,
т. е. ОАт есть среднее геометрическое между ОС и ОН.
Таким образом, аг вычисляется по формуле
затем R’ по формуле
R’ = V№.
Повторяя эти две операции, получаем значения а и R для многоугольников
с числом сторон всё большим и большим. Отношения значений
этих двух величин к общему полупериметру многоугольников
дают примерные значения —1, — первые с недостатком, вторые с избытком,—
и при этом всё с большим и большим приближением.
Предположим для упрощения, что общий периметр многоугольников
равен удвоенной единице длины, и примем за первый из них квадрат.
Апофема этого многоугольника будет равна половине стороны,
172 Метод равных периметров.
т. е. -i-, а радиус — стороне, делённой на |/2, т. е. .Приняв
а = ~, а /? = > получим из предыдущих формул значения а’
и /?’, соответствующие правильному восьмиугольнику, и т. д.
Но если принять а-0 и ^у1), то эти формулы дадут
Таким образом, мы приходим к следующему
предложению (теорема Ш в а б а ) .
Теорема. Если составить ряд чисел, первые два числа которого
0 и ~ и каждый член которого попеременно является средним
арифметическим и средним геометрическим двух предыдущих,
то члены составленного таким образом ряда стремятся к -i- .
183. Так как числа а и R, последовательные члены предыдущего
ряда, представляют собой приближённые значения числа — первые
с недостатком, вторые с избытком, — то ошибка, которую мы
получим, если примем одно из них за приближённое значение
будет меньше, нежели R — а
Но мы имеем:
Чтобы это доказать, возьмём снова чертёж 181 и отложим на ОС
длину ОС =ОА’ — R’. Отрезок С’Н’ даёт Rr — а!. Но углы СА’Нг
и С AJC равны, так как они измеряются половиной равных дуг СТВТ
и А!СГ окружности О А! (один как вписанный угол, другой как угол,
образованный касательной и секущей). Теорема о биссектрисе (п. 115)
показывает, что отрезки Н’С’ и С’С относятся между собой, как
АГН’ и А’С. Следовательно, Н’СГ меньше половины отрезка Н’С,
а равной четверти СН, т. е. —j— .
_________________________ ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 173
*) Эти два числа соответствуют делению окружности на две равные
части. Если обозначить точки деления через А и В, то диаметр АВ можно
рассматривать как сторону правильного многоугольника, имеющего две
стороны, периметр которого равен 2АВ. Если принять этот периметр за 2,
то радиус R выразится числом у, а апофема (расстояние стороны от
центра) — числом 0.
173 Метод равных периметров.
Но первые два члена последовательности Шваба д а ю т / ? — а = у .
Таким образом, допущенная ошибка, если принять за приближённое
значение — член, который занимает в этой последовательности 2п-е
ТС
место, меньше
1 1
2 . 4^-1 22п~1
174 Метод равных периметров.
Околоadmin
