ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

И не забывайте поделиться этой статьёй в соц. сетях, если она Вам помогла. Возможно она нужна кому то ещё!

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 2.1. Числовая окружность

Величины cos a , sin а , tg а , ctg а изучались в 7 — 8 классах
на уроках геометрии и алгебры. Эти величины можно
рассматривать как функции от угла а или, отвлекаясь от
понятия угла, как функции от числового аргумента а.
Их называют тригонометрическими функциями. Здесь мы
рассматриваем графики этих функций. Чтобы понять как
они устроены, напомним определения тригонометрических
функций, которые, как мы знаем, даются из геометрических
соображений—при помощи единичной числовой
окружности. С нее и начнем.
Но прежде всего вспомним понятие радиана. Радианом
называется величина центрального угла окружности, опирающегося
на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Это определение не зависит от размеров окружности.
Поэтому можно еще сказать, что радиан есть вели-

чина центрального угла единичной
окружности, опирающегося на дугу
длины 1 .
Окружность радиуса 1 называют
единичной. Так как длина единичной
окружности равна 2 л, то
360° = 2 я радиана = 2я

В прямоугольной системе координат

хОу зададим окружность
радиуса 1 с центром в начале координат, называемую
числовой окружностью. Точку А ее пересечения
с положительной полуосью х будем называть начальной
точкой числовой окружности (рис. 17).
Будем поворачивать радиус ОА вокруг точки О в положительном
направлении (против часовой стрелки) и в отрицательном
направлении (по часовой стрелке). В отличие
от геометрии тригонометрия рассматривает углы поворота,

24

которые могут быть больше я, 2л радиан, а также любые
отрицательные углы, отложенные в отрицательном направлении.
Каждому действительному числу ос поставим в соответствие
точку В (рис. 17) числовой окружности, полученную
с помощью поворота радиуса О А на угол | а | радиан вокруг
точки 0 в положительном направлении, если а > 0 , и в отрицательном
направлении, если а < 0. Точку В, соответствующую
числу а , будем называть точкой а . На рис. 18
показаны точки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , —1, —2, —3, —4,
—5, —6 . Так как числовая окружность имеет радиус 1,
то угол | а | радиан равен длине дуги, на которую он
опирается.
Поэтому указанное соответствие можно определить и
следующим образом: каждому числу а соответствует такая
точка В числовой окружности, чтобы дуга wАВ имела
длину | ос | и была отложена в положительном направлении,
если а > 0, и в отрицательном, если а < 0. При этом
имеются в виду дуги какой угодно длины. То есть числовую
окружность можно рассматривать как окружность
радиуса 1 , на которую «намотана» числовая прямая.
Так как окружность радиуса 1 имеет длину 2я, то
в силу сказанного числа
а , а + 2 я , а -\-4 л , a -j-б л , . . . , а —2 я , а —4л, а—6 я , …
изображаются одной и той же точкой числовой окружности.
Короче, числа вида a — f 2 mt, где п — любое целое
число, изображаются одной и той же точкой числовой
окружности (рис. 19).
Так как числовая окружность имеет длину 2я, то на
пересечении ее с осями координат расположены точки

25

Но эти же точки могут соответствовать также числам
9тт — Зтт —
или числам
Q 3jt Jt
2 я, 2 ‘
З а м е ч а н и е . В приведенных рассуждениях число а
определяет величину угла, выраженную в радианах.
Бывает удобно эту величину выразить в градусах!
Р° = — ^ 360° « а • 57°.
П р и м е р 1. Какой четверти принадлежат точки 1-^ я,
гу 3 JT
Т я ’ ~ S ‘-
Р еше н и е . Так как я < 1-jl я < 4^-, то точка l-g-я
принадлежит III четверти. Так как 7 -3^ я = 3 6 я + 1-j- я и

26

принадлежит
IV четверти.
З а м е ч а н и е . В дальнейшем нам довольно часто придется
на числовой окружности отмечать числа, кратные
ЗТ JT ЗТ
Т * Т ’ Т •
Для построения соответствующих точек следует пом-
л д ЗТ 1
нить, что — j — половина у (рис. 2 0 ), cos у = у (рис. 2 1 );
sin l f = Y (рис‘ 2Т>-

УПРАЖНЕНИЯ

1 . Что такое радиан?

2 . Как определяется радиан при помощи окружности
а) радиуса 2 ? б) радиуса 1?
3. Запишите формулу перехода от градусов к радианам.
4. Как определяется точка а на числовой окружности,
если а заданное действительное число?
5. Как могут отличаться между собой числа а и Р,
определяющие одну и ту же геометрическую точку числовой
окружности?
6 . По какому закону каждому действительному числу
приводится в соответствие точка числовой окружности?
7. Точка В числовой окружности соответствует целому
числу а. Найдется ли такое целое число (отличное от а),
которому соответствует та же точка В ?
8 . Запишите все точки а , изображенные на числовой
окружности точкой
1) 0 ; 2 ) я; 3) f ; 4 ) ^ — .
9. Какой четверти принадлежат точки
1 \ 7я 19я о\ 17л … 15л
v 4- .
5 ) 6 ) — 4 р — ; 7) 20; 8 ) —100?
10. Запишите три числа, которые изображаются на
17я окружности той же точкой, ЧТО и — у .
. . л г \ л л 2я 5я гу 11. Выразите в градусах 0, у , у , — у , — , Зя,
7л я 9л
Т ‘ — з Г > 2“ р а д и а н —

27

12. Выразите в радианах 60°, 150°, 225°, 765°, 390°,
—30°, —45°, 240°, —300°.
It т г 13. На числовой окружности отмечена точка — j . Пере-
2я я Зя несите рис. 2 0 в тетрадь и отметите точки — j — == у , — ,
4я 5я 6я Зя 7я
я < ~ Т—~ ’
14. На числовой окружности отмечена точка у . Пере-
2я Зя несите рис. 2 ! в тетрадь и отметьте точки — , — = л,
4я 5я
X ’ Т ‘
15. На числовой окружности отмечена точка . Пере-
JX зт 2п несите рис. 2 2 в тетрадь и отметьте точки ,
5я 7я. 4я Зя 5я 5я 11я
— , П, — g — , у , — у — у , — .
16. Точка М числовой окружности имеет координаты
(0,8; 0,6). Определите координаты точек Ми М2, М3,
симметричных точке М относительно оси х, оси у, начала
координат соответственно.
17. На числовой прямой изобразите числовые промежутки
а) [0 , я]; г>) j ~ , 4 ^- j ; в) (л, 2 л);
г) ( $ — . — ¥ ■ ) ‘ д) [ — л . 0 ]; е) [ — f . f j .
18. Укажите один промежуток, для всех точек он
которого
а) абсцисса точки а положительна; отрицательна;
б) ордината точки а положительна; отрицательна.
19. Точка В соответствует целому числу а; найдется ли
такое рациональное число, отличное от а , которому соответствует
та же точка В ?

28

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ