Функции cos а и sin а | ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Функции cos а и sin а: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

§ 2.2. Функции cos а и sin а

Рассмотрим в системе координат хОу единичную окружность
и на ней произвольную точку а (см. рис. 23). Косинусом
числа а называется абсцисса точки а и обозначается
cos а . Синусом числа а называется ордината точки а и
обозначается sin a.

Формулы x = c o s a , у — sin а определяют функции от а.
Так как а — произвольное действительное число, то эти
функции определены на интервале (— оо, оо). Перечислим
некоторые свойства функций cos а и
sin а , которые помогут понять, как
выглядят графики этих функций.

1. Функции cos а и sin а непрерывны.
Ведь из геометрических соображений
видно, что при непрерывном
изменении числа а в свою очередь
непрерывно изменяются х и у.
2. Функции cos а и sin а имеют
период 2 я, т. е. для любого значения
а выполняются равенства
sin (а + 2 л) = sin а , cos ( а -f 2 я) = cos а.
Это следует из того, что точки а и а 4 — 2л геометрически
совпадают, таким образом, совпадают также их абсциссы
и ординаты.
3. Функция cos а четная, т. е. для любого а выполняется
равенство
co s(— a) = cos а. (2 )
4. Функция sin а нечетная, т. е. для любого а выполняется
равенство
sin (— a) = — sin a . (3)
Свойства 3 и 4 следуют из того (рис. 24), что для
любого а точки а и —а симметричны относительно оси х.
(1)
поэтому их абсциссы равны между собой, а ординаты
равны по абсолютной величине, но противоположны по
знаку.

5. Для любого а выполняются равенства!
sin ( у + « ) = sin ^ у — а) , (4)
cos ( у + а) = — cos ( у —а ) • ‘ (5)
Это следует из того, что точки у + а и | —а симметричны
относительно оси у и потому их ординаты равны,
а абсциссы равны по абсолютной величине, но противоположны
по знаку (рис. 25).
6 . Если а непрерывно возрастает от 0 до ^ , то sin а
непрерывно возрастает от 0 до 1 ^ sin 0 = 0 ; s i n y = l j , а
cos а непрерывно убывает от 1 до 0 ^ co s0 = l, c o s y = 0 j .
Это свойство вытекает из геометрических соображений
(см. рис. 13).
Значения sin а для различных а из отрезка 10, y j
можно вычислить с любой степенью точности. Существуют
таблицы таких значений, но их можно получить и при
помощи микрокалькулятора. Например, чтобы вычислить
Sin 10° = Sin 10^ = Sin jg ,
надо выполнить такие операции (нажать на указанные
кнопки):
0 0 Е S in | | = | * 0 ,1 7 3 6 4 8 2 .
( зх \ Так как cos а = sin (^у—а ] , то вычисление косинуса
от а сводится к вычислению синуса от ^ у — .

УПРАЖНЕНИЯ

1 . Что называется косинусом и синусом числа а?
2 . На каком интервале определены функции ;c = co s a ,
у = sin а? Какие значения принимают эти функции?
3. Какая функция называется а) периодической с периодом
Т; б) четной; в) нечетной?
4. Сформулируйте свойства функций cos а и sin a.

5. Какие из функций
a) sin a; 6 ) cos a; в) sin a -co s a; r) sin a + cos a
являются четными, нечетными?
6 . Отметьте точки а на числовой окружности, определите
sin а и cos а при
а)a = 0, яТ ’ Зя л, -у;
б) я 3л 5я 7я ’ ~г ’ Т ’ т :
в)
я 2я 4л 5я
а = -з’ т ’ ~ ’ Т’
г) л 5я 7я 11л
а ~»б ’ т ’ ~6~’ ~1Г’
7. Сравните с нулем а)sin 1, sin 2 , sin 3, sin 4, sin 5,
б) cos 1, cos 2 ,, cos3, cos 4, cos 5,
8 . Сравните а) sin 2 и 2 ; 6 ) s i n £
в)
sin —Зл и COS—Згя ■ 4
cos 6 .
я
и о-;
9. Докажите тождества-
а) sin(n — a) = —sin(n -f a); 6 ) cos(n — a) = cos (л -f- a)
в)\ cos a = s■ in f(-ng -—a \j .
10. Вычислите a) cos 240°; 6 ) sin 390°; в) cos(—150°)
r) s in (—780°); д) cos 585°; e) cos 235°.
И . Вычислите a) cos ~ ; 6 ) sin ; в) sin ^ 13л
, / 17я \ . 23я . / 5я г) cos ( 0- 1 ; д) Sin — ; е) cos ( —-
12. Приведите к вычислению синуса или косинуса
наименьшего положительного угла ( от 0° до 45° или от 0
до jя радиан!\ : ‘
а) sin 173°; б) cos 121°; в) sin (— 127°);
г) cos(—185°); д) sin 417°; е) cos 284°;
и), sm. /^ ——1j2gя-
Л ( 1бя м) cos I —
13. Задайте формулой все точки а, отмеченные на числовой
окружности (рис. 28).
14. Укажите на числовой окружности точки а, для
которых верны следующие равенства:
а) s i n a = l ; б) c o s a = 0 ; в) s in a = — 1 ;
г) c o s a = l ; д) s i n a = 0 ; е) c o s a = — 1 .

16. Найдите все сс, для которых
a) sin2 a —3 s i n a = 0 ; б) sin2 oc—3 s i n a — f 2 = 0 ;
в) sin a -co s a = 0 ; r) cos2 a + 2 cos a ~j- 1 = 0 .
Запишите 3 решения каждого уравнения. Задайте формулой
все решения уравнений.

32

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

Околоadmin